圓錐曲線中點(diǎn)弦公式

1、圓錐曲線中點(diǎn)弦公式中點(diǎn)弦拋物線中點(diǎn)弦公式拋物線C: xA2 （這里 處2表示x的平方，下同）=2py上，過給定點(diǎn)P=（ a , B的中點(diǎn)弦 所在直線方程為：py- a x=p 3- a A2中點(diǎn)弦存在的條件：2p3 a人2（點(diǎn)P在拋物線開口內(nèi)）。中點(diǎn)弦橢圓中點(diǎn)弦公式橢圓C : 乂人2怡人2+丫人2巾人2=1上，過給定點(diǎn) P=（ a , 3的中點(diǎn)弦所在直線方程為：a x/aA2+ 3 y/bA2= a A2/aA2+3 人2。人2中點(diǎn)弦存在的條件：a A2/aA2+ 3 A2/bA20 （點(diǎn)P不在雙曲線、漸 近線上以及它們所圍成的區(qū)域內(nèi)）。中點(diǎn)弦二次曲線中點(diǎn)弦性質(zhì)與蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲線一個

2、著名定理，它充分體現(xiàn)了蝴蝶生態(tài)美與數(shù)學(xué)美”的一致性.不少中數(shù)專著或雜志至今還頻繁討論.本文揭示了它與中點(diǎn)弦性質(zhì)的緊密聯(lián)系，并給出統(tǒng)一而簡明的證明，指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式.引理：設(shè)兩條不同的二次曲線S: F（x , y）=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四個公共點(diǎn)，其中無三點(diǎn)共線，則過A、B、C、D四點(diǎn)的任意一條二次曲線S2必可唯一地表示成：（證明略）定理1設(shè)三條不同的二次曲線(S、S1、S2)有A、B、C、D四個公共點(diǎn)，其中無三點(diǎn) 共線；又直線L0被S、S1、S2各截得一弦若其中兩弦中點(diǎn)重合，則第三弦中點(diǎn)亦重合.證設(shè)S、S

3、1的方程為(1)、，則S2方程可表為(3).因直線L0(設(shè)斜率為k)關(guān)于二 次曲線S、S1、S2的共軛直徑分別為：L: (a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x, y)=0因L、L1都通過L0被S與S1所截得的弦PQ與EF的共同中點(diǎn)0,顯然L2也必通 過點(diǎn)0,故0也是L0被S2所截得的弦GH的中點(diǎn).注 兩直線AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲線 S1的特殊情形，甚 至E和F重合于0 .故本定理包括了蝴蝶定理眾多情形.定理2設(shè)AB / CD , S和S1是過A、B、C、D四點(diǎn)的任意兩條二次曲線.若平行于AB的任意直線與S、S1各有兩個交點(diǎn)，則夾在兩曲

4、線之間的兩線段相等.證 設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為 M、N，又AB / CD，故直線 MN就是AB關(guān)于S和S1 的共軛直徑，故若平行于 AB的任意直線被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中點(diǎn)0,故有 PE=QF，命題得證.注 由于PQ可為AB與CD之間任意平行弦， 皆有PE=QF ,故夾在S和S1之間的兩 曲邊區(qū)域厶1和厶2面積相等.1它酷似蝴蝶兩翼，不過并非軸對稱，而是沿AB方向共軛.如 果世上真有這樣的蝴蝶，飛行亦能平衡自如.定理1還可推廣得到更一般的結(jié)論.定理3若三條不同的二次曲線 S、S1、S2有無三點(diǎn)共線的四個公共點(diǎn)，沿某一確定方向的任意直線 L0被S、S1、S2各截得一弦 PQ、EF、

5、GH，則三弦中點(diǎn) 0、01、02之 間有向線段之比為常數(shù).證 不妨取坐標(biāo)系使確定方向?yàn)閤軸.于是該方向(k=0)關(guān)于S、S1、S2的共軛直徑分別為(參見定理1):L: a11x+a12y+a13=0L1 : b11x+b12y+b13=0L2 : (a11x+a12y+a 13)+ 入(b11x+b12y+b13)=0設(shè)直線 L0 方程為 y=yO, PQ、EF、GH 的中點(diǎn)為 0(x0, y0) , 01(x1 , y0) , 02(x2 , y0)，于是由直徑方程知：a11x0+a12y0+a13=0, b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+ 入(b11x2+b12y0+b13)=0故 a11(x2 - x0)=入 b11(x2 - x1) (4)即 002/0201= (a11 工0 時)(5)其中a入b11/a11是與y0無關(guān)的常數(shù)(由S、S1、S2三曲線確定.當(dāng) a1仁0時，L / L0可知L0與S無兩個交點(diǎn)，故不在本命題討論之列).(5)式意即：在指定順序0、02、01之下，兩有向線段之比不因L0平行移動而變化.推論 在定理3條件下，對任意直線L0