直線與平面垂直的判定教案

1、2.3.1 直線與平面垂直的判定教學內(nèi)容分析本課取自普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學（必修2人民教育出版社a版）第二章2.3.1.本節(jié)內(nèi)容是直線和平面垂直的概念發(fā)現(xiàn)、直線和平面垂直的判定定理的探索過程，是在學習了空間的點、直線、平面之間的位置關(guān)系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)之后進行的空間的另一種重要位置關(guān)系的學習.垂直是立體幾何的核心概念之一.直線與平面垂直是直線與平面相交中的一種特殊情況，它既是直線與平面位置關(guān)系的深化，又是研究面面垂直、線面角、面面角的基礎(chǔ)，在教材中起到了承上啟下的作用，具有相當重要的地位.教學重難點教學重點：直觀感知、操作確認，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理.教學難

2、點：操作確認并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運用.教學目標解析知識與技能：1 經(jīng)歷對實例、圖片的觀察，提煉直線平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；2 通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.過程與方法：1、 類比空間的平行關(guān)系，提高提出問題、分析問題的能力.2、 在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同事感悟和體驗“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無線轉(zhuǎn)化為有限”等劃歸的數(shù)學思想.3、 嘗試用數(shù)學語言（文字、符號、圖形語言）對定義和定理進行準確表述和合理轉(zhuǎn)換.情感、態(tài)度與價

3、值觀：經(jīng)歷線面垂直的定義和定理的探索過程，提高嚴謹與求實的學習作風，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度.教學過程教學過程教學過程教學過程一、直線與平面垂直定義的建構(gòu)（本環(huán)節(jié)是教學的第一個重點，是后面探究活動的基礎(chǔ)，分三步進行：）（1）創(chuàng)設(shè)情境感知概念多媒體展示圖片：觀察圖片，引導學生尋找出其中線面垂直的位置關(guān)系.（旗桿與地面、橋墩與水面）師生活動：引導學生舉出身邊更多類似的例子.（如教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系，桌子的四只腳與地面的位置關(guān)系等）（2）觀察歸納形成概念思考：從直線與直線垂直、直線與平面平行的定義過程得到啟發(fā)，能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線來定義這條直線與這個平面垂直呢？

4、結(jié)合問題(1)和(2)觀察動畫演示：在陽光下直立于地面的旗桿ab及它在地面的影子bc的位置變化.問題(1)：旗桿所在的直線ab與影子所在的直線bc的位置關(guān)系是什么？問題(2)：旗桿ab與地面內(nèi)任意一條不過旗桿底部b的直線b1c1的位置關(guān)系又是什么？由此可以得到什么結(jié)論？（師生活動：在多媒體演示時，先展示動畫1使學生感受到旗桿ab所在直線與過點b的直線都垂直.再展示動畫2引導學生根據(jù)異面直線所成角的概念得出旗桿ab所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點b的直線b1c1也垂直.）引導學生歸納直線與平面垂直的定義、介紹相關(guān)概念，并引導學生用符號語言表示.定義：如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說

5、直線l與平面互相垂直，記作：直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面直線與平面垂直時，它們唯一的公共點p叫做垂足.l. 用符號語言表示為：（師生活動：學生以小組為單位討論交流，互相補充，并派代表作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，同時給出直線與平面垂直的記法，并引導學生用符號語言表示.）學生畫圖：引導學生將地面看成平面，旗桿看做直線畫出旗桿與地面位置關(guān)系的幾何圖形.（師生活動：學生練習本上畫圖，教師針對學生出現(xiàn)的問題，如不直觀、不標字母等加以強調(diào).）（3）辨析討論深化概念辨析1：下列命題是否正確，為什么？（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么

6、這條直線與這個平面垂直.（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線.（師生活動：命題（1）判斷中引導學生利用手中的筆和三角板，筆表示直線，三角板兩直角邊表示兩垂直直線，桌面表平面，將三角板的一條直角邊ac放在桌面上，這時另一條直角邊bc就和桌面內(nèi)的一條直線（即三角板與桌面的交線ac）垂直，在此基礎(chǔ)上在桌面內(nèi)放一只和ac平行的筆ef并平行移動，那么bc始終和ef垂直，但bc不一定和桌面垂直，最后教師給出反例的直觀圖1.）圖1由（2）給出下列常用命題：指出它是判斷直線與直線垂直的常用方法，它將直線與直線垂直的問題轉(zhuǎn)化為判定一條直線垂直于另一條直線所在的平面.設(shè) 計 意

7、 圖從實例到圖片再到實際生活，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，從而建立初步印象，為下一步的數(shù)學抽象做準備引導學生用“平面化”與“降維”的思想來思考問題，直線和平面垂直的問題同樣可以轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線的關(guān)系通過觀察思考，感知直線與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵 充分發(fā)揮學生的主觀能動性，提高抽象概括能力，讓學生體驗成功的喜悅從具體到抽象，引導學生完成抽象與具體之間的相互轉(zhuǎn)換通過問題辨析與討論，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性.由（1）使學生明確定義中的“任意”和“無數(shù)”的不同.由（2）使學生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，“直線與直線垂直”和“直線與平面垂直”可以相互轉(zhuǎn)化.一、直

8、線與平面垂直的判定定理的探究（1）動手操作得出定理問題：如何將一張長方形賀卡直立于桌面？a.折紙實驗：如圖，讓學生拿出準備好的一塊（任意）三角形的紙片，做一個實驗：過abc的頂點a翻折紙片，得到折痕ad，再將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（bd、dc與桌面接觸），進行觀察并思考：問題折痕ad與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕ad與桌面所在的平面垂直？（師生活動：在折紙試驗中，學生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導這兩類學生進行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因.學生再次折紙，經(jīng)過討論交流，發(fā)現(xiàn)當且僅當折痕ad是bc邊上的高，即adbc，翻折后折痕ad與桌面垂直.）問題由折痕a

9、dbc，翻折之后垂直關(guān)系發(fā)生變化嗎？（即adcd，adbd發(fā)生變化嗎？）由此你能得到什么結(jié)論？（師生活動：師生共同分析折痕ad是bc邊上的高時的實質(zhì)：ad是bc邊上的高時，翻折之后垂直關(guān)系不變，即adcd，adbd.這就是說，當ad垂直于桌面內(nèi)的兩條兩條相交直線cd、bd時，它就垂直于桌面.）b多媒體演示翻折過程.c歸納出直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.用符號語言表示為： （師生活動：在歸納直線與平面垂直的判定定理時，先讓學生交流討論不完善的地方教師引導、補充完整，歸納出線面垂直的判定定理.然后要求學生試用圖形語言與符號語言來表示定理，

10、指出定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.）（2）嘗試練習，鞏固定理例1如圖2.3-1，已知ab，a，求證：b.(課本中的例1)(師生活動：此題是課本中的例1，有一定難度，教師引導學生分析思路，可用判定定理證，也可利用定義證，提示輔助線的添法，學生練習本上完成，對照課本例1,完善自己的解題步驟，讓學生用文字語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.指出：命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果可以作為直線和平面垂直的又一個判定方法.)（2.3-1） （2.3-2）練習：如圖2.3-2，在正方體abcd-abcd中，1.

11、列舉與平面abcd垂直的直線.2.列舉與直線aa垂直的平面.3.找出一條與對角面aacc垂直的直線.考慮直線bd與ac的關(guān)系.通過實驗操作，引導學生發(fā)現(xiàn)折痕ad與桌面垂直的條件：ad垂直桌面內(nèi)兩條相交直線.問題吸引學生注意力，為推出重點做準備.b增設(shè)動態(tài)演示模擬實驗，讓學生更加清楚看到“平面化”的過程，在已有數(shù)學知識的基礎(chǔ)上加以確認定理c讓學生在自己的實踐中感受數(shù)學探索的樂趣，增強學習數(shù)學的興趣，在討論交流中激發(fā)學生的積極性和創(chuàng)造性例1使學生對線面垂直認識由感性上升到理性；同時，展示了平行與垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，給出判斷線面垂直的一種間接方法，為今后多角度研究問題提供思路.三、直線和平面所成的

12、角探究：課本p66如圖，直四棱柱abcd-abcd中，直線ac叫做平面abcd的什么呢？它們的位置關(guān)系如何刻畫呢？（師生活動：由探究引入平面的斜線以及直線和平面所成的角）例2正方體中，求直線ab和平面abcd所成的角. 師生共同探討解題方法.四、總結(jié)反思提高認識（1）通過本節(jié)課的學習，你學會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）線面角的概念及范圍；（3）本節(jié)課涉及到哪些數(shù)學思想和方法？（師生活動：學生發(fā)言，互相補充，教師點評完善，以知識結(jié)構(gòu)圖歸納出判斷直線與平面垂直的方法即可用定義，判定定理或例3的結(jié)論，說明本課蘊含著轉(zhuǎn)化、類比、歸納、猜想等數(shù)學思想方法，強調(diào)“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路.）通過小結(jié)使本節(jié)課的知識系統(tǒng)化，使學生深刻理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，培養(yǎng)學生認真總結(jié)的學習習慣.五、布置作業(yè)自主探究必做題：1.課本p74 練習2；2.課本p87 b組 2題.選