菲涅耳公式與半波損失3

1、菲涅耳公式與半波損失 摘 要 本文從電磁場的邊值關(guān)系推導(dǎo)出菲涅耳公式，從而確定電矢量的方向，在此基礎(chǔ)之上對半波損失問題作詳細分析。關(guān)鍵詞 菲涅耳公式 電矢量 半波損失 相位突變1 引言一列光波射到兩種不同介質(zhì)界面之上時，將分成反射光波和折射光波，根據(jù)電磁場理論和邊值關(guān)系，可以得到菲涅耳公式，從而確定反射光波、折射光波和入射光波之間的振幅關(guān)系，據(jù)此對半波損失作出解釋。本文將根據(jù)菲涅耳公式，對半波損失問題作詳細的分析。1.1 菲涅耳公式由電磁場理論和實驗指出，電磁波入射到兩種各向同性媒介的分界面上時，存在反射波和折射波，設(shè)入射波為單色平面波（在很多實際情況之下，電磁波的激發(fā)源往往以大致確定的頻率作

2、正弦振蕩，因而輻射出來的電磁波也以相同的頻率作正弦振蕩。在一般情況之下，即使電磁波不是單色波，也可以用傅里葉分析（頻譜分析）方法分解為不同頻率的正弦波的疊加）。 電磁場的邊值關(guān)系： nn式中，分別表示介質(zhì)2，介質(zhì)1中的電場強度；h，分別表示磁場強度；d，d分別表示兩種介質(zhì)的電位移矢量；b，b分別表示兩種介質(zhì)的磁感應(yīng)強度；，分別表示兩種介質(zhì)的面自由電流、電荷密度。在絕緣介質(zhì)界面之上：= 0 ，= 0 。因為第一、二式是相對獨立的，則只考慮 ,由于對每一波矢k ( k = eh )有兩個獨立的偏振波，所以需分別討論電矢量e垂直于入射面和e平行于入射面兩種情形。設(shè)入射光波，反射光波和折射光波的電場強

3、度分別為：e，e和e；磁場強度分別為： h，h和h ；波矢量分別為：k，k和k；入射角，反射角和折射角分別為：，和。（1） e入射面 如圖a由邊值關(guān)系可得： eeehcoshcoshcos圖a：e入射面hkhkhkjeeek圖b：e入射面 且據(jù)， ， ，得到所以： r= t= （2） e入射面 如圖b由邊值關(guān)系可得： hhh ecosecosecos同理得到： r= t= -式被稱為菲涅耳公式。式中的r和r分別稱為垂直分量和平行分量的振幅反射比，t和t分別稱為垂直分量和平行分量的振幅透射比。其中e，e，e，h，h，h以及 e，e，e，h，h，h僅僅為區(qū)分e入射面和e入射面兩種情況，只是一種記號

4、。1.2 反射光波和折射光波e各分量方向的確定我們規(guī)定各平行分量、垂直分量和相應(yīng)的光波的傳播方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。此時則為正方向。（1）e和e 方向的確定若r 0 即 0 ，則e與其正方向相同；若r 0 即 0 即 0 ，則e與其正方向相同； 若r0 即 0且t0，則分別與其規(guī)定方向相同。例如圖c：（各平行分量、垂直分量和相應(yīng)的光波的傳播方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系）e圖d：e的垂直和平行分量的合成eeeee圖c：各分量的正方向的規(guī)定方向ekeeeeekk根據(jù)上面的方法，我們可以得到反射光波和入射光波e的各個分量的方向，若反射光波的合矢量方向與入射光波的合矢量方向恰好相反 ，即反射光波振動方向相對于入

5、射光波發(fā)生了位相為的突變，這就好象是反射光波多走或少走了半個波長，故稱為半波損失。需要特別指出的是，通過r，r的正負只能得到各個分量的方向，即使反射光波與入射光波相應(yīng)的分量的方向相反，也不能以此說明反射光波發(fā)生了半波損失。根據(jù)矢量疊加原理，合矢量的方向相反，并且在同一條直線之上，必須滿足其變化率相等即。若則其合矢量不會在同一條直線之上而是發(fā)生了一定角度（非180）的旋轉(zhuǎn)如圖d，這種旋轉(zhuǎn)的效果是不可以用光波多走了或是少走半個波長來替代的，也就沒有所謂的半波損失。2 光波在媒介分界面上反射時的相位突變2.1 近于正入射的外反射（n n , 0）由式：r= ，r= 則r 0 , ，由e，e，e，e方

6、向的判定，可得到圖e ?？梢娫诮谡肷涞耐夥瓷淝闆r之下，將反射光波和入射光波在入射點同時進行比較，顯然外反射時反射波e矢量的垂直和平行分量與入射光波相比都發(fā)生了方向反轉(zhuǎn)且變化率相等，則其反射光波合矢量的方向與入射光波合矢量的方向恰好相反，即反射光波在反射時發(fā)生相位突變。圖f：近于正入射的內(nèi)反射 圖e：近于正入射的外反射keeekee 2.2 近于正入射的內(nèi)反射（n n, 0）由式：r = ，r= 則r 0 , r 0 , 由e ，e，e，e方向的判定，可得到圖f 。可見，在近于正入射的內(nèi)反射情況之下，將反射光波和入射光波在入射點同時進行比較，顯然內(nèi)反射時反射波e矢量的垂直分量與入射光波相比相

7、同，則其反射光波合矢量的方向與入射光波合矢量的方向只發(fā)生了一定的偏轉(zhuǎn)，方向并沒有恰好相反，即反射光波在反射時不會發(fā)生相位突變。2.3 掠入射的外反射（n n , 90）圖g：近于掠入射的外反射由式：r 0 , r n，90）同理可以判斷出掠入射的內(nèi)反射不會產(chǎn)生半波損失。2.5 斜入射的外反射（nn）(1) 當 i（i為布儒斯特角）時k圖h ：，+90,則r0 ，所以可以得到圖h 。顯而易見反射光波與入射光波e 的各分量都反向，可是，所以反射光波與入射光波的振動方向是不在同一條直線之上，也就沒有所謂的半波損失。圖i ： i時，斜入射的外反射k (2) 當 i 時由式可以得到：，+ 90,則r 0

8、 , r n）不論是i 時，由式可以得r 0 因此反射光波的垂直分量總是與入射光波相同，也就不會產(chǎn)生半波損失。因此光波斜入射時，即使有反射光波e 的各分量與入射光波都反向，可是，所以反射光波與入射光波的振動方向是不在同一條直線之上，也就沒有所謂的半波損失。3透明薄膜上下表面兩束相干反射光束的附加光差圖j ： 且i時：薄膜上下兩表面反射光發(fā)生干涉32145上面我們討論了一般情況之下，從界面上反射光的相位突變，實際中，我們還要研究從薄膜上下表面反射光波的干涉問題。根據(jù)菲涅耳公式，得到以下所示的幾種圖形。圖k ：i 時：薄膜上下兩表面反射光發(fā)生干涉圖m ：且i 時：薄膜上下兩表面反射光發(fā)生干涉圖l

9、：且i 時：薄膜上下兩表面反射光發(fā)生干涉根據(jù)菲涅耳公式得到的上面四幅圖，只是給出了上下表面反射光波e矢量的垂直和平行分量的方向。根據(jù)菲涅耳公式可以推導(dǎo)出（請見附錄）： 顯而易見，兩束反射光的垂直分量和平行分量不成比例，即使e與e反向，同時 e與 e反向，上表面的反射光與下表面的反射光的振動面也不可能在同一個平面內(nèi)，即反射光的振動面發(fā)生了一定角度（非180）的旋轉(zhuǎn)，所以也就不存在傳統(tǒng)意義上的半波損失。但是在實際觀測之中，當（其中表示精確度，表示介質(zhì)i的折射率，表示介質(zhì)j的折射率，且）時（請見附錄），與相差不大，即cos2 ()1，則。因此上表面的反射光與下表面的反射光的振動面近似在一個平面內(nèi)，在

10、e與e反向，同時在e與 e反向的條件之下可以近似的理解為多走或少走了半個波長，即發(fā)生了半波損失。因此在薄膜上下側(cè)媒介相同的情況之下，上下兩表面反射光束疊加時的相位差，除了光程差產(chǎn)生的相位差外，還應(yīng)附加的相位差。4 對幾個光學(xué)實驗的分析4.1 勞埃德鏡實驗在一平面鏡上方接近于平面鏡處放一點光源，直接從點光源發(fā)出的光和由平面鏡反射的光在空間相遇形成干涉，這就是洛埃鏡實驗如圖n。實驗結(jié)果表明，當垂直于平面鏡的接收屏與平面鏡接觸時，好似從兩個點光源發(fā)出的光經(jīng)過相等的光程到達接觸點，而在接觸處出現(xiàn)了暗條紋，說明反射光有半波損失。下面分析一下產(chǎn)生半波損失的原因。從實驗裝置上看，要觀測到明顯的干涉條紋，要求

11、光源很接近于平面鏡所在平面，這時點光源在平面鏡上的入射角接近于90，即掠射。根據(jù)本文前面的分析可知，當光掠射時，光由光疏媒質(zhì)到光密媒質(zhì)的反射中，反射光有半波損失。所以洛埃鏡實驗驗證了半波損失的存在。圖n：勞埃德鏡裝置示意圖dmmpssd4.2 牛頓環(huán)實驗一般做牛頓環(huán)實驗如圖o時，光是垂直入射的，從反射光觀看牛頓環(huán)，其中心是暗斑，表明有半波損失。根據(jù)本文前面的結(jié)論可知，在薄膜上下側(cè)媒介相同的情況之下，上下兩表面反射光束疊加時，存在相位突變。實際的實驗結(jié)果和以上的分析是一致的。圖p：白光牛頓環(huán)條紋圖q：黃光牛頓環(huán)條紋圖o：牛頓環(huán)裝置示意圖5 結(jié)論本文以菲涅耳公式為基本出發(fā)點，詳細闡述了半波損失現(xiàn)象

12、和應(yīng)用中的有關(guān)問題，可得到以下結(jié)論：（1）入射光波在光疏介質(zhì)中前進，遇到光密介質(zhì)的分界面時，在掠入射或正入射的兩種情況之下，反射光波的振動方向?qū)τ谌肷涔獠ǖ恼駝臃较驇缀跸喾?，將在反射過程中產(chǎn)生半波損失。（2）光波從光密介質(zhì)進入光疏介質(zhì)時，正入射或掠入射中反射光不會產(chǎn)生半波損失。（3）入射光波既非正入射也非掠入射，即斜入射時，反射光波的振動方向?qū)τ谌肷涔獠ǖ恼駝臃较虺梢欢ǖ慕嵌龋ǚ?80），不會在一條直線之上，則不會存在所謂的半波損失。（4）折射光波之中永遠不會產(chǎn)生半波損失。（5）在薄膜上下側(cè)媒介相同的情況之下，上下兩表面反射光束疊加時的相位差，除了光程差產(chǎn)生的相位差外，還應(yīng)附加的相相位差。參考

13、文獻1 郭碩鴻. 電動力學(xué)m. 北京:高等教育出版社，1979(2006重印)2 姚啟鈞. 光學(xué)教程m. 北京:高等教育出版社，2002(2006重印) 3 郭永康,鮑培諦. 光學(xué)教程m. 成都:四川大學(xué)出版社，2001.84 趙凱華，鐘錫華. 光學(xué)m. 北京大學(xué)出版社，19845 蔡履中，王成彥，周玉芳. 光學(xué)m. 濟南:山東大學(xué)出版社，2002.86 趙俊卿，蔡傳錦. 光波的半波損失現(xiàn)象及其應(yīng)用探析j. 山東建筑工程學(xué)院學(xué)報，2005.107 王華英，康山林. 關(guān)于半波損失問題的探討j. 河北建筑科技學(xué)院學(xué)報，2001.9fresnel formula and half-wave loss zhang you (physics and electronic engineering dept. chongqing three gorges university, wanzhou 404000)abstract: this paper will develop fresnel formulae and find out the way of determining the elect vectors direction according to the electromagnetic boundary conditi