人教版九年級數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精品文檔 人教版九年級數(shù)學(xué)下冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第二十六章二次函數(shù) 1 261二次函數(shù)及其圖像 1 262用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程 6 263實(shí)際問題與二次函數(shù) 6 第二十七章相似 6 271圖形的相似 6 272相似三角形 7 273位似 8 第二十八章銳角三角函數(shù) 8 281銳角三角函數(shù) 9 282解直角三角形 10 第二十九章投影與視圖 12 291投影 12 292三視圖 12 第二十六章二次函數(shù) 261二次函數(shù)及其圖像 二次函數(shù)( quadratic function )是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函 數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于

2、 y 軸的拋物線。 般的，自變量 x 和因變量 y 之間存在如下關(guān)系： 般式 y=ax A 2;+bx+c（a 工 0,a、 b、c 為常數(shù)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a , -（4ac-b A 2)/4a); 頂點(diǎn)式 y=a(x+m) A 2+k(a 工 0,a、m k 為常數(shù))或 y=a(x-h) A2 +k(a 工 0,a、 h、 k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-m, k)對稱軸為x=-m，頂點(diǎn)的位置特征和圖像 的開口方向與函數(shù)y= ax A2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法 把一般式化成頂點(diǎn)式； 交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與 x 軸有交點(diǎn) A (x1 , 0)和 B (

3、x2 , 0)的 拋物線; 重要概念：a, b, c為常數(shù)，a0,且a決定函數(shù)的開口方向， a0時(shí), 開口方向向上，a0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)av0時(shí)，拋物線向下開口 |a|越大，則拋物線的開口越小。 決定對稱軸位置的因素 4. 一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置 當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab 0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊 則對稱軸小于 0，也就是 - b/2a0, 所以 b/2a 要小于 0，所以 a、b 要異號 可簡單記憶為左同右異，即當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab 0）,對稱軸在y 軸左；當(dāng) a 與 b 異號時(shí) （即 abv 0 ），對稱軸在 y 軸右。 事實(shí)上， b 有其自

4、身的幾何意義：拋物線與 y 軸的交點(diǎn)處的該拋物線切 線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的 斜率 k 的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。 決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)的因素 5. 常數(shù)項(xiàng) c 決定拋物線與 y 軸交點(diǎn)。 拋物線與 y 軸交于（ 0， c） 拋物線與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) 6. 拋物線與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) = bA2-4ac 0時(shí)，拋物線與 x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 = bA2-4ac=0 時(shí)，拋物線與 x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 = bA2-4ac v 0 時(shí)，拋物線與 x 軸沒有交點(diǎn)。 X 的取值是虛數(shù)（ x= -bVbA2- 4ac的值的相反數(shù)，乘上 虛數(shù) i ，整個(gè)式子除以 2a） 當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)在 x= -

5、b/2a 處取得最小值 f（-b/2a）=4ac-b/4a 在 x|x-b/2a 上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是 y|y 4ac -bA2/4a相反不變 當(dāng) b=0 時(shí)，拋物線的對稱軸是 y 軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變 形為 y=axA2+c（a 工 0） 特殊值的形式 7. 特殊值的形式 當(dāng) x= 1時(shí) y=a+b+c 當(dāng) x=-1 時(shí) y=a-b+c 當(dāng) x=2 時(shí) y=4a+2b+c 當(dāng) x=-2 時(shí) y=4a-2b+c 二次函數(shù)的性質(zhì) 8. 定義域： R 值域：(對應(yīng)解析式，且只討論 a 大于 0 的情況， a 小于 0 的情況請讀 者自行推斷)(4ac-bA2)/4

6、a, 正無窮)：t，正無窮) 奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù)，當(dāng) b0時(shí)為非奇非偶函數(shù)。 周期性：無 解析式： y=axA2+bx+c 一般式 aM 0 a 0,則拋物線開口朝上；a v 0，則拋物線開口朝下； 極值點(diǎn)： (-b/2a ， (4ac-bA2)/4a)； 厶=bA2 -4ac, 0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： (-b- VA /2a，0 )和(卜 b+VA /2a，0); 二0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： ( -b/2a ， 0)； Av 0，圖象與 x 軸無交點(diǎn)； y=a(x-hF2+k頂點(diǎn)式 此時(shí)，對應(yīng)極值點(diǎn)為(h，k)，其中h=-b/2a ，k=(4ac-bA2)/4a; y=a(x-x1

7、)(x-x2) 交點(diǎn)式(雙根式)(aM 0) 對稱軸 X=(X1+X2)/2 當(dāng)a0且X (X1+X2)/2 時(shí)，丫隨X的增大而增大, 當(dāng) a0 且 X( X1+X2) /2 時(shí) Y 隨 X 的增大而減小 此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將 X、Y代入即可求出解析 式(一般與一元二次方程連 用)。 交點(diǎn)式是 Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個(gè) x 軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交 點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1 X2值。 262用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程 1. 如果拋物線與 x 軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ，那么當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的值是 0，因此就是方程的一個(gè)根。 2. 二次函數(shù)的圖象與 x

8、軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)， 有兩個(gè)公共點(diǎn)。 這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況： 沒有實(shí)數(shù)根， 有兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。 263實(shí)際問題與二次函數(shù) 在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問題，有些 可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。 第二十七章 相似 271 圖形的相似 概述 如果兩個(gè)圖形形狀相同 , 但大小不一定相等 , 那么這兩個(gè)圖形相似。 (相 似的符號：s) 判定 如果兩個(gè)多邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊 形相似。 相似比 相似多邊形的對應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形 全等。 性質(zhì) 相似多邊

9、形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長比等 于相似比。 相似多邊形的面積比等于相似比的平方。 27. 2相似三角形 判定 1. 兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等 2. 兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等 3. 三邊對應(yīng)成比例 4. 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的 三角形與原三角形相似。 例題 vZ A=Z A;/ B=Z B 性質(zhì) 1. 相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外 接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。 2. 相似三角形周長的比等于相似比。 3. 相似三角形面積的比等于相似比的平方 27. 3位似 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組

10、對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)， 對應(yīng)邊互相平行， 那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心, 這時(shí)的相似比又稱為位似比。 性質(zhì) 位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離 之比等于相似比。 位似多邊形的對應(yīng)邊平行或共線。 位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。 位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位 變而位變。 根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形 這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè)，并且關(guān)于位似中心對稱。 1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定 是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形； 2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有

11、一個(gè)； 3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一 側(cè)； 4、位似比就是相似比. 利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似; 5、平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三 角形位似。 第二十八章銳角三角函數(shù) 281銳角三角函數(shù) 銳角角A的正弦(sin ),余弦(cos)和正切(tan ),余切(cot )以及正 割(sec),(余割csc )都叫做角 A的銳角三角函數(shù)。 正弦( sin )等于對邊比斜邊， 余弦( cos )等于鄰邊比斜邊 正切( tan )等于對邊比鄰邊； 余切( cot )等于鄰邊比對邊 正割( sec) 等于斜邊比鄰邊 余割 (csc

12、) 等于斜邊比對邊 正切與余切互為倒數(shù) 互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。 sin (90 - a )= cos a , cos(90 - a )=sin a , tan (90 - a )=cot a , cot(90 - a )=ta n a. 同角三角函數(shù)間的關(guān)系 平方關(guān)系： sinA2( a )+cosA2( a )=1 tanA2( a )+仁secA2( a ) cotA2( a)+1=cscA2( a) 積的關(guān)系： sin a=tana cosa cosa=cota sin a tana=sina seca cota=cosa csca seca=tana csca csc a =sec

13、 a cota 倒數(shù)關(guān)系： tan a cot a =1 sin a csc a =1 cos a sec a =1 直角三角形ABC中， 角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊， 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對邊比鄰邊 , 余切等于鄰邊比對邊 三角函數(shù)值 （1）特殊角三角函數(shù)值 （2）090的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。 （3）銳角三角函數(shù)值的變化情況 （i ）銳角三角函數(shù)值都是正值 （ii ）當(dāng)角度在 0 90間變化時(shí)， 正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?余切值隨著角度的增

14、大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?（iii ）當(dāng)角度在0a 90間變化時(shí)， 0 sin a COS a 0, 當(dāng)角度在0 a 0, cot a 0. 特殊的三角函數(shù)值 0 30 45 60 90 0 1/2 V2/2 V3/2 1 sin a 1 V3/2 V2/2 1/2 0 J cos a 0 V3/3 1 V3 None J tan a None V3 1 V3/3 0 J cot a 282解直角三角形 勾股定理，只適用于直角三角形（外國叫“畢達(dá)哥拉斯定理”） c 為斜邊 aA2+bA2=cA2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊, 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：

15、 5。他們分別是 3，4和5的倍數(shù)。 常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5； 6，8，10；等等. 直角三角形的特征 直角三角形兩個(gè)銳角互余； 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； 直角三角形中30所對的直角邊等于斜邊的一半； 勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即： 在 Rt ABC中，若/ C= 90，貝U a2+b2=c2； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的 平方和，則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在厶 ABC中，若a2+b2=c2, 則/ C= 90； 射影定理：AC=ADgAB BC=BDgAB CD=DAgDB 銳角三角函數(shù)的定義： 如圖，在

16、Rt ABC中，/ C= 90， / A,Z B，Z C所對的邊分別為a,b,c , abab 則 sinA=c , cosA=c , tanA=b，cotA=a sin cos tan cot 30 0 1 2 蚩 2 3 近 45 亞 1 1 0 2 2 60 0 魚 2 1 2 左 3 特殊角的三角函數(shù)值：(并會(huì)觀察其三角函數(shù)值隨 的變化情況) 1. 解直角三角形(Rt ABC / C= 90) 三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2. 邊角之間的關(guān)系： 品* = A=夕 兩銳角之間的關(guān)系：/ A+Z B= 90 A的對邊_ a A的鄰邊 b A的鄰邊_ b A的對邊a tanA= cotA=

17、 解直角三角形中常見類型: 已知一邊一銳角. 已知兩邊. 解直角三角形的應(yīng)用. 第二十九章投影與視圖 29. 1投影 一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影 子叫做物體的投影(projection ),照射光線叫做投影線，投影所在的平面 叫做投影面。 有時(shí)光線是一組互相平行的射線，例如太陽光或探照燈光的一束光中 的光線。由平行光線形成的投影是平行投影(parallel projectio n). 由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源發(fā)出的光線)形成的投影叫做中心投影(ce nter projecti on)。投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。 投影線平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。

18、 物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關(guān)。 29. 2 三視圖 三視圖是觀測者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形。 將人的視線規(guī)定為平行投影線，然后正對著物體看過去，將所見物體 的輪廓用正投影法繪制出來該圖形稱為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物 體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖一一能反映物體的前面形狀，從 物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖能反映物體的上面形狀， 從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖一一能反映物體的左面形 狀， 還有其它三個(gè)視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總 稱。 特點(diǎn)：一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié) 構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν粋€(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還 有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。 主視、俯視長對正 co 5 %八、 7 * .小J . 豆忑辱 物體的投影 主視、左視高平齊 左視、俯視寬相等 在許多情況下，只用一個(gè)投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達(dá) 和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖所示，三個(gè)形體在同一個(gè)方向的投影完 全相同，但三個(gè)形體的空間結(jié)構(gòu)卻不相同?？梢娭挥靡粋€(gè)方向的投影來表 達(dá)形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個(gè)方向投