方程與實(shí)際問題應(yīng)用0001

1、實(shí)際問題與二元一次方程組（提高 要點(diǎn)一、常見的一些等量關(guān)系（二） 1. 行程問題 速度 時(shí)間=路程 . 順?biāo)俣?=靜水速度 +水流速度 . 逆水速度 =靜水速度 -水流速度 . 2存貸款問題 利息 =本金利率 期數(shù). 本息和（本利和）本金利息本金本金利率期數(shù)本金 （1利率 期數(shù)） . 年利率月利率 12. 月利率年利率 . 3. 數(shù)字問題 已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)， 三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如： 若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù) 字為 a，十位數(shù)字為 b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為 10 b+a 4方案問題 在解決問題時(shí)，常常需合理安排需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅

2、行社購(gòu)票 等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案 要點(diǎn)詮釋： 方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案 要點(diǎn)二、實(shí)際問題與二元一次方程組 1. 列方程組解應(yīng)用題的基本思路 2. 列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟 設(shè)：用兩個(gè)字母表示問題中的兩個(gè)未知數(shù)； 列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組） 解：解方程組，求出未知數(shù)的值； 驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形； 答：寫出答案 要點(diǎn)詮釋： （1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫 “答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理， 不符合題意的解應(yīng)該舍去； 2）“設(shè)

3、”、“答”兩步，都要寫清單位名稱； 類型一、行程問題 1. 某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時(shí) 50 千米的速度行駛，就會(huì)遲到 24 分鐘，如 果他以每小時(shí) 70 千米的速度行駛，則可提前 24 分鐘到達(dá)乙地，求甲乙兩地間的距離 . 【思路點(diǎn)撥】 本題中的等量關(guān)系為： 50 （規(guī)定時(shí)間 + ）兩地距離； 75 （規(guī)定時(shí)間 ）兩地距離算出規(guī)定時(shí)間和兩地距離后即可求得每小時(shí)多少千米的速度行駛可準(zhǔn) 時(shí)到達(dá) 【答案與解析】 解：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為 x 小時(shí)，甲乙兩地間的距離為 y千米 . 則由題意可得： 解得： 答：甲乙兩地間的距離為 140千米 . 【總結(jié)升華】 比較復(fù)雜的行程問題可以通

4、過畫 “線條 ”圖幫助分析，求解時(shí)應(yīng)分清相遇、追及、相向、同向等關(guān)鍵詞 變式】已知一鐵路橋長(zhǎng) 1000 米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測(cè)得火車從開始上橋到車身過完橋共用1 分鐘， 整列火車完全在橋上的時(shí)間為 40 秒，求火車的速度及火車的長(zhǎng)度 解：設(shè)火車速度為 x m/s ，火車長(zhǎng)度為 y m 根據(jù)題意，得： 解得: 答：火車速度是 20m/s ，火車的長(zhǎng)度是 200m 類型二、存貸款問題 2. 張叔叔 10 萬(wàn)元買一輛貨車跑運(yùn)輸，年利率為 5.49% ，計(jì)劃兩年還清貸款和利息他用貨車載貨平均每月 可賺運(yùn)輸費(fèi) 0.8萬(wàn)元，其中開支有兩項(xiàng)：油費(fèi)是運(yùn)費(fèi)收入的10% ，修理費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)和交稅是運(yùn)費(fèi)收入的

5、 20% ， 其余才是利潤(rùn) . 請(qǐng)你算一算，張叔叔跑 2 年的利潤(rùn)能否還清貸款和利息？ 解：設(shè) 10 萬(wàn)元貸款兩年后的本息和為 萬(wàn)元，而張叔叔跑 2年的總利潤(rùn)為 萬(wàn)元，則： 解得 ， 能還清 答：張叔叔跑 2年的利潤(rùn)能還清貸款和利息 【總結(jié)升華】 本題也可以不用方程組，直接列出代數(shù)式求值，比較大小得答案 【變式】 在銀行存款準(zhǔn)備金不變的情況下， 銀行的可貸款總量與存款準(zhǔn)備金率成反比例關(guān)系 當(dāng)存款準(zhǔn)備金率 為 7.5%時(shí)，某銀行可貸款總量為 400 億元，如果存款準(zhǔn)備金率上調(diào)到 8%時(shí)，該銀行可貸款總量將減少多少億 （） A.20 B.25 C.30 D.35 【答案】 B 類型三、數(shù)字問題 3

6、. 小明和小亮做游戲，小明在一個(gè)加數(shù)的后面多寫了一個(gè)0，得到的和為 242；小亮在另一個(gè)加數(shù)后面多 寫了一個(gè) 0，得到的和為 341.原來的兩個(gè)數(shù)分別為多少？ 【思路點(diǎn)撥】 在后面多寫一個(gè) 0，實(shí)際就是擴(kuò)大了 10倍兩個(gè)等量關(guān)系為： 10一個(gè)加數(shù) +另一個(gè)加數(shù) =242 ； 一個(gè)加數(shù) +10另一個(gè)加數(shù) =341 【答案與解析】 解：設(shè)原來的兩個(gè)數(shù)分別為 和 ，則： ， 解得 答：原來兩個(gè)加數(shù)分別是 21， 32 【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是弄清在后面多寫一個(gè)0，實(shí)際就是擴(kuò)大了 10倍 變式】 答案】 一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是這個(gè)兩位數(shù)的,用方程表示這一個(gè)數(shù)量關(guān)系是 填一個(gè)即

7、可） 類型四、方案選擇問題 4. （ 嘉興）一個(gè)農(nóng)機(jī)服務(wù)隊(duì)有技術(shù)員工和輔助員工共15人，技術(shù)員工人數(shù)是輔助員工人數(shù)的2倍服務(wù)隊(duì)計(jì) 劃對(duì)員工發(fā)放獎(jiǎng)金共計(jì) 20000 元，按 “技術(shù)員工個(gè)人獎(jiǎng)金 ”A（元 ）和“輔助員工個(gè)人獎(jiǎng)金 ”B（元）兩種標(biāo)準(zhǔn)發(fā)放，其 中AB800 ，并且 A，B都是100的整數(shù)倍 （注：農(nóng)機(jī)服務(wù)隊(duì)是一種農(nóng)業(yè)機(jī)械化服務(wù)組織，為農(nóng)民提供耕種、 收割等有償服務(wù) ） （1）求該農(nóng)機(jī)服務(wù)隊(duì)中技術(shù)員工和輔助員工的人數(shù)； （2）求本次獎(jiǎng)金發(fā)放的具體方案 【思路點(diǎn)撥】 （1）有兩個(gè)等量關(guān)系： 技術(shù)員工的人數(shù) +輔助員工的人數(shù) 15 人； 技術(shù)員工人數(shù)輔助員工人數(shù)2由此，可以設(shè)未知數(shù)列出方程

8、組求解 （2）有一個(gè)等量關(guān)系：兩種標(biāo)準(zhǔn)發(fā)放的獎(jiǎng)金和為 20000 元，結(jié)合 AB800 ，且 A，B 都是100的整數(shù)倍，從 而分類求解 【答案與解析】 解： （1） 設(shè)該農(nóng)機(jī)服務(wù)隊(duì)有技術(shù)員工 x 人，輔助員工 y 人 根據(jù)題意，得 ，解得 即該農(nóng)機(jī)服務(wù)隊(duì)有技術(shù)員工 10人，輔助員工 5人 （2）由（1） ，可得 10A+5B 20000 因?yàn)?AB800，且 A， B 都是 100的整數(shù)倍， 所以當(dāng) B800時(shí)， A 1600； 當(dāng) B900時(shí)， A 1550（A 不是 100的整數(shù)倍，舍去 ）； 當(dāng) B1000時(shí)， A 1500； 當(dāng) B1100時(shí)，A1450（A 不是 100的整數(shù)倍，舍

9、去 ）； 當(dāng) B1200時(shí)， A 1400； 當(dāng) B1300時(shí)， A 1350（A 不足 100的整數(shù)倍，舍去 ）； 當(dāng) B1400時(shí)， A 1300（A y，依題意列方程組為 9. 甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后立即下山，在山腳和山頂之間不斷往返運(yùn)動(dòng)，已知山 坡長(zhǎng)為 360m ，甲、乙上山的速度比是 6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5 倍，當(dāng)甲第三次到 達(dá)山頂時(shí)，則此時(shí)乙所在的位置是距離山腳下 m 10. 甲乙兩人的年收入之比是 4： 3，支出之比是 8： 5，一年內(nèi)兩個(gè)人各儲(chǔ)蓄 2500 元，則兩人的年收入分 11. 在矩形 ABCD 中，放入六個(gè)形狀、大小相

10、同的長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積 是 _cm 2 12一個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為 7，若將這兩個(gè)數(shù)字都加上 2，則得到的數(shù)是原數(shù)的 2倍少 3， 則這個(gè)兩位數(shù)是 . 三、解答題 13 某城市規(guī)定：出租車起步價(jià)允許行駛的最遠(yuǎn)路程為3千米，超過 3千米的部分按每千米另收費(fèi)，甲說： “我乘這種出租車走了 11千米，付了 17元”；乙說： “我乘這種出租車走了 23 千米，付了 35元”.請(qǐng)你算一算這種 出租車的起步價(jià)是多少元？以及超過3 千米后，每千米的車費(fèi)是多少元 ? 14. 某公司計(jì)劃 2012 年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)播放總時(shí)長(zhǎng)為300分鐘的廣告，已知甲、乙兩電視臺(tái)的廣告

11、收 費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為 500元/分鐘和 200元/分鐘該公司的廣告總費(fèi)用為 9萬(wàn)元，預(yù)計(jì)甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)播放該公司的 廣告能給該公司分別帶來 0.3萬(wàn)元/分鐘和 0.2萬(wàn)元/分鐘的收益，問該公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)播放廣告的時(shí)長(zhǎng) 應(yīng)分別為多少分鐘？預(yù)計(jì)甲、乙兩電視臺(tái) 2012 年為此公司所播放的廣告將給該公司帶來多少萬(wàn)元的總收益？ 15. 某電腦公司現(xiàn)有 A，B，C 三種型號(hào)的甲品牌電腦和 D，E 兩種型號(hào)的乙品牌電腦希望中學(xué)要從甲、 乙兩種品牌電腦中各選購(gòu)一種型號(hào)的電腦現(xiàn)知希望中學(xué)購(gòu)買甲、乙兩種品牌電腦共36 臺(tái)（價(jià)格如圖所示 ），恰 好用了 10萬(wàn)元人民幣，其中，甲品牌電腦為A 型號(hào)電腦，求購(gòu)買

12、的 A 型號(hào)電腦有幾臺(tái) ? 16. 某商場(chǎng)用 36000 元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，銷售完后共獲利 6000 元其中甲種商品每件進(jìn)價(jià) 120元，售 價(jià)138 元；乙種商品每件進(jìn)價(jià) 100元，售價(jià) 120 元 1）該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？ 2）商場(chǎng)第二次以原進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，購(gòu)進(jìn)乙種商品的件數(shù)不變，而購(gòu)進(jìn)甲種商品的件數(shù)是第 一次的 2 倍，甲種商品按原售價(jià)出售，而乙種商品打折銷售若兩種商品銷售完畢，要使第二次經(jīng)營(yíng)活動(dòng)獲利 不少于 8160 元， 乙種商品最低售價(jià)為每件多少元？ 【答案與解析】 一、選擇題 1. 【答案】 B； 解析】設(shè)輪船在靜水中的航速為 x 千米/時(shí)，水速為 y 千

13、米/時(shí)， 依題意，得 解得 故選 B 2. 【答案】 B ； 3. 【答案】 A ； 4. 【答案】 C； 【解析】本題的等量關(guān)系是：盈利 = 最后收入 -購(gòu)買股票成本 -買入時(shí)所付手續(xù)費(fèi) -賣出時(shí)所付手續(xù)費(fèi) 5. 【答案】 D； 【解析】根據(jù)題意可知：本題中的等量關(guān)系是 “黑白皮塊 32塊 ”和因?yàn)槊繅K白皮有 3條邊與黑邊連在一 起， 所以黑皮只有 3y 條邊，而黑皮共有邊數(shù)為 5x ，依此列方程組求解即可 6. 【答案】 D； 【解析】設(shè)小明 12 時(shí)看到的兩位數(shù)，十位數(shù)為 x，個(gè)位數(shù)為 y，根據(jù)兩位數(shù)之和為 6可列一個(gè)方程，再 根據(jù)勻 速行駛， 12-13 時(shí)行駛的里程數(shù)等于 13-14

14、 ：30 時(shí)行駛的里程數(shù)除以 1.5列出第二個(gè)方程，解方程組即 可. 二、填空題 7. 【答案】 1100 ； 【解析】 本題關(guān)系式為： 3個(gè)單人間和 6個(gè)雙人間共需 1020元，入住 1個(gè)單人間和 5個(gè)雙人間共需 700元， 據(jù)此得到一個(gè)單人間和一個(gè)雙人間各需多少錢，進(jìn)而相加后乘以5 即可得到所求 . 8. 【答案】 ； 9. 【答案】 240 ； 【解析】本題關(guān)系式為：路程 =速度 時(shí)間如果設(shè)甲上山速度為 6x，則乙上山速度為 4x首先求出甲 第三 次到達(dá)山頂時(shí)所用時(shí)間，然后根據(jù)二人所行時(shí)間相等及他們速度之間的關(guān)系求出乙所在的位置 10 【答案】 7500 元， 5625元； -支出 =2

15、500 ，乙的年收入 -支出 解析】通過理解題意可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系，即甲的年收入 =2500 根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組 11. 【答案】 4444 ； 【解析】設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為 xcm ，ycm ，根據(jù)圖示可以列出方程組 : ， 然后解這個(gè)方程組即可求出小長(zhǎng)方形的面積，接著就可以求出圖中陰影部分的 面積. 12. 【答案】 25. 三、解答題 13. 【解析】 解：設(shè)這種出租車的起步價(jià)是 x 元，超過 3千米后每千米收費(fèi) y 元， ，解得 根據(jù)題意得 所以這種出租車的起步價(jià)是 5元，超過 3千米后每千米收費(fèi) 1.5 元 14. 【解析】 解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為 x 分鐘和 y 分鐘，由題意得： 解得： 即該公司在甲電視臺(tái)做 100 分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做 200 分鐘廣告 此時(shí)公司收益為 100 0.3+200 0.2=70（ 萬(wàn)元） 答：該公司在甲電視臺(tái)做 100 分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做 200分鐘廣告，甲、乙兩電視臺(tái) 2012年為此公司所 播放 的廣告將給該公司帶來 70 萬(wàn)元的總收益 15. 【解析】 解： （1）當(dāng)選用方案 （A，D）時(shí)，設(shè)購(gòu)買 A型號(hào)、D 型號(hào)電腦分別為 x臺(tái)，y臺(tái) 根據(jù)題意，得 ， 解得 ，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意，舍去 （2）當(dāng)選用方案 （A，