線性代數(shù)復習要點同濟五版

1、學習好資料歡迎下載 概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計算必須準確 A可逆 r（A） = n A的列（行）向量線性無關(guān) A的特征值全不為0 Ax = o只有零解二 Wx式o, Ax豐。 內(nèi)=0=仃P(guān)R n,Ax = B總有唯一解 ata是正定矩陣 A三E A=P2Ps Pi是初等陣 存在n階矩陣B,使得AB二E或AB二E 注：全體n維實向量構(gòu)成的集合 Rn叫做n維向量空間 A不可逆 r（A） n A =0= A的列（行）向量線性相關(guān) 0是A的特征值 Ax二二有非零解,其基礎(chǔ)解系即為A關(guān)于=0的特征向量 r(aE bA) : n 注 aE +bA (aE +bA)x = o有非零解

2、向量組等價 矩陣等價（蘭）_具有 矩陣相似（廠 反身性、對稱性、傳遞性 矩陣合同（L）, V 關(guān)于 e,e2,en: 稱為Ln的標準基，L n中的自然基，單位坐標向量p教材87 ； e ,e2,e線性無關(guān); ec,e =1 ； trE= n ； ai1 a21 * a12 II a22 II 14n 1 a2n 行列式的定義 6 = =瓦（_1）皿%忌2映可 r * jjlHjn an1 an2H 1ann 任意一個n維向量都可以用 e,2,en線性表示 學習好資料歡迎下載 i i i 行列式的計算: 行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和

3、推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 若A與B都是方陣（不必同階），則 O （拉普拉斯展開式） = (-i)mn A B *ain O ain 關(guān)于副對角線： a2n = a2n * aniO ani O 上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積 同列的n個元素的乘積的代數(shù)和） n(n 1) = （-i）Faina2n|l|ani （即:所有取自不同行不 范德蒙德行列式: 矩陣的定義 伴隨矩陣A Xi 2 Xi X2 2 X2 III III III Xn 2 Xn n -1 Xi n i X2 III n Xn aii ai2 由m n

4、個數(shù)排成的 m行n列的表a =. a2i a22 am2 AI2 A2i A22 III III Ani An2 A2n III Ann ./ V逆矩陣的求法： A a=a 注: （A：E）初等行變換（EAJ） ai i ai a2 a3 a2 III III Ill ain a2n amn 稱為m n矩陣.記作：Am.ajj皿“或Am n ,Aj為A中各個元素的代數(shù)余子式 ad be J -c -b主換位 a副Hl變號 ai a3 a2 a2 a3 學習好資料歡迎下載 V方陣的幕的性質(zhì)：AmAn =Am “(Am)n =(A)mn V設(shè)Am n，Bn s，A的列向量為 冷，2 ,，n , B

5、的列向量為 bi 則 AB 二Cms b21 呂(,C(2,2n)* bi2HI b22 -ci,c2I , cs= (i = 1,2，H I, s) ：=: i 為 02 山bns y Ax 的解二 A，嚴屮+，A。,A 7=：宀22，川鳥 =GSl山可由r,八n線性表 示即：C的列向量能由 A的列向量線性表示，B為系數(shù)矩陣 同理：C的行向量能由 B的行向量線性表示, AT為系數(shù)矩陣 即: aii a21 lan1 ai2 a22 an2 III III III ainYPi) a2n Bn丿 aii中耳2駡中川+耳2 = C a2i 附 + 比2 2 +| I i + a2n 卩2 = C

6、2 | III III III am/：i - am2 -1 - amnJ =C V用對角矩陣 上直乘一個矩陣，相當于用上的對角線上的各元素依次乘此矩陣的 行向量; 用對角矩陣 上右乘一個矩陣，相當于用上的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量. V兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘 V分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣: 廣AB、 ,zatct 9 D bt dt fA、 4 A / A、 J 、B B J A， ) / -冷 4 / A_4 - 4、 -、二 f- 4_、 A C AA CB A O A O Q B OB J C B, -BCA B 分塊矩陣的逆矩陣: 分塊對角陣相乘: 分塊對

7、角陣的伴隨矩陣: B Bii A22 .丿 * A B fl - AB AiBii A22B22 丿 A；i IA22 丿 X / / A 1 B =1 J I * B A 丿 B A n m 1 - * A B mn 矩陣方程的解法(A =0):設(shè)法化成(I) AX二B 或 (II) XA二B (I)的解法：構(gòu)造(AE)初等行變換(EX) (II)的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為atxt二bt, 用(I)的方法求出XT，再轉(zhuǎn)置得X 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交 單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān) 部分相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無關(guān)，部分必無關(guān)(向量個數(shù)變動) 原向量組無

8、關(guān)，接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān)，原向量組相關(guān)(向量維數(shù)變動) 兩個向量線性相關(guān)二對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān)P教材114 向量組:-2, ： n中任一向量:-i (1 2,，n線性無關(guān)r(A) = n. 若：1/2,n線性無關(guān)，而1,2,n線性相關(guān)，則可由1,2,n線性表示，且表示法唯一 矩陣的行向量組的秩二列向量組的秩二矩陣的秩行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù) 行階梯形矩陣|可畫出一條階梯線，線的下方全為0 ；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后 面的第一個元素非零當非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是0時，稱為行最簡形矩陣

9、? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線性關(guān)系； 矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關(guān)系 即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩 V矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系： 對A施行一次初等變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 左乘A ； 對A施行一次初等 砂變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 直乘A. A的秩為r 記作r(A) = r 矩陣的秩 如果矩陣A存在不為零的r階子式，且任意r+1階子式均為零，則稱矩陣 向量組的秩 向量組G 1，2卄，的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為這個向量組的秩 矩陣等價 A經(jīng)過有限次初等變換化為 B 記作：A帶B 向量組等價I碼耳，和01

10、，02，氏可以相互線性表示記作：仔幾叫洽 二A在矩陣乘法中有左消去律! AB=。二B = O AB = ACn B=C 若 r(Bn s)二 n = r(AB)二 r(B) B在矩陣乘法中有右消去律 r(A 一 B) r(A) r(B) max 1r(A),r(B)?2, 3線性無關(guān), 二 1 3 =：3 (5 T 1 (31)：”(-3, -2) 3, (-1, -1)1 ( -2, -2) 單位化：二1 - 單位化：1 技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方 1、 程，確定其自由變量. 例如：X1 +X2 X3 =0 取卩1 =

11、 1 ，卩2 = 1 、 正定二次型X1,X2，川,Xn不全為零，f（X1, X2，川，Xn） = 0. 正定矩陣 正定二次型對應(yīng)的矩陣 V f（x）=xTAx為正定二次型二（之一成立）： - x -? ， X Ax 0 ； A的特征值全大于0; f的正慣性指數(shù)為n ； A的所有順序主子式全大于 0 ； A與E合同，即存在可逆矩陣 C使得CTAC = E ； 存在可逆矩陣P，使得A = PT P ； 存在正交矩陣C，使得CtAC=CAC=S *（人大于0） * n丿 V合同變換不改變二次型的正定性 . V A為正定矩陣aii 0 ； A 0. V A為正定矩陣二AT,A；AM也是正定矩陣 V

12、A與B合同，若A為正定矩陣=B為正定矩陣 V代B為正定矩陣= A B為正定矩陣，但 AB, BA不一定為正定矩陣 行列式中出現(xiàn)的公式和要熟記的結(jié)論 1、行列式 1. n行列式共有n2個元素，展開后有 n!項，可分解為2n行列式； 2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、Aij和aij的大小無關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ； 3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij =（-1） ijAijA = （-1）ijMij 4. 設(shè)n行列式D : n （n 將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D1，則D =（-1） D ； n

13、（n 將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90，所得行列式為 D2，則D2 =（-1） D ； 將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3，則D3 = D ； 將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為 學習好資料 D4，貝y D4 = D ; 歡迎下載 5. 、 副對角行列式：畐U對角元素的乘積 上、下三角行列式(、I I i ) 匚和丄：副對角元素的乘積 n (n 丄) (-1)計; :主對角元素的乘積; n( n V) (-iL; 行列式的重要公式： 主對角行列式：主對角元素的乘積; 拉普拉斯展開式: 范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積; 特征值； n 6.對于n階行列式A,恒有：、E - A ：、(-1

14、)k Skn，其中氏為k階主子式; k 4 7. 證明A =0的方法： 、A A ; 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax =0，證明其有非零解； 、利用秩，證明r(A) n ; 、證明0是其特征值； 2、矩陣 1. A是n階可逆矩陣： A -0 (是非奇異矩陣)； :二r(A) =n (是滿秩矩陣) 二A的行(列)向量組線性無關(guān)； =齊次方程組Ax二0有非零解； = b Rn , Ax =b總有唯一解； =A與E等價； 二A可表示成若干個初等矩陣的乘積； u A的特征值全不為0; 二AtA是正定矩陣； 二A的行(列)向量組是 Rn的一組基； =A是Rn中某兩組基的過渡矩陣； 2. 對于n階矩陣

15、A : AA = A* A = A E無條件恒成立； 3. (A節(jié)-(A*)丄(A)T=(At )(A*)T=(At)* TTT* (AB)二B A(AB)=B A(AB)二B A 4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和； 5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、B可逆： 學習好資料歡迎下載 n、 、 、 、 、 ，則: A 二 AA2II|As| ； 1 A_ O B丄 ;（主對角分塊） ；（副對角分塊） ；（拉普拉斯） A丄 -B丄CA丄 ；（拉普拉斯） 3、矩陣的初等變換與線性方程組 1. 一個m n矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：

16、f |Er 0； V0 0 .烏 等價類：所有與 A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣； 對于同型矩陣 A、B，若r（A） = r（B） ：= AL B ； 2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1 ； 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0; 3. 初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換） r 若（A, E）（E , X），則A可逆，且 X =A丄； c 、對矩陣（A, B）做初等行變化，當 A變?yōu)镋時，B就變成A丄B，即：（A, B） -（E, AB）； r 、求解線形方程組：對于 n個未知數(shù)n個

17、方程Ax =b，如果（A,b（ E, x），則A可逆，且x = A丄b ； 4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣； 、人=$，左乘矩陣A ,入乘A的各行元素；右乘，人乘A的各列元素； f 1 丫 f 1 、對調(diào)兩行或兩列，符號E（i, j），且E（i, j） = E（i, j），例如： 1 1 = 1 ； 1丿 I1丿 學習好資料歡迎下載 1 1 1 5. 6. 7. 8. 、倍乘某行或某列，符號 、倍加某行或某列，符號 矩陣秩的基本性質(zhì): 、 、 、 、 、 n、 E(i(k)，且 E(i(k)- = E(i E(i

18、j(k),且 E(ij(k)宀E (ij(-k)，如: 1、 丄( k b ，例如: 1 k 1k、 r f 1 = 0 _r(Am n) _min(m,n) r(At ) =r(A)； 若 A|_B，則 r (A)二 r (B)； 若P、Q可逆，則r(A) =r(PA) =r(AQ) =r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩) max( r (A), r (B) r (A, B ) r (A) - r (B);(探) r (A B ) r (A) r (B);(探) r (AB)乞 m in( r (A), r (B);(探) 如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB二0, 9:(探) B

19、的列向量全部是齊次方程組AX =0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)； r (A) r (B) nC；j ； 關(guān)于 、 、 A矩陣秩的描述： r(A) =n , A中有n階子式不為0, n 1階子式全部為 r(A) n , A中有n階子式全部為0; 0;(兩句話) 歡迎下載 學習好資料 、r（A） _n , A中有n階子式不為0; 9. 線性方程組：Ax二b，其中A為m n矩陣，則： 、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程； 、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax二b為n元方程; 10. 線性方程組 Ax=b的求解： 、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）； 、齊次解為對應(yīng)齊次方程

20、組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得； 11. 由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程: an人-a12X2amXn =b 、 a21 x a 22 X2 山 a 2 nXn =b2 . ； am1X1 am2X2 山 VnmXn =bh 1. 、 12 a22 X2 b2 1 人禺 1 0 J 川a1n I I a2n 二Ax=b （向量方程，A為mxn矩陣，m個方程, 、(a a? |) an ) X1、 X 2 =0 （全部按列分塊，其中 b、 鳥） am 1 、 山amn am 2 a1x1 a 2 X 2PnXn 二：（線性表出） 有解的充要條件：r（A）二r（A, ） n

21、 （ n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)） 4、向量組的線性相關(guān)性 m個n維列向量所組成的向量組A : ：-1-2|, : m構(gòu)成n m矩陣A二（冷，2,川，:m）； n個未知數(shù)） m個n維行向量所組成的向量組B :靑，舟,川，盅構(gòu)成mxn矩陣B=. 含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng); 2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)二Ax二0有、無非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出Ax=b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示=AX=B是否有解；（矩陣方程） 01 例 14) 3. 矩陣Am n與Bl n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax = 0和Bx = 0同解；（ 4. r （A

22、tA） =r（ A） ； （ P101 例 15） 5. n維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、 :-線性相關(guān) =:=0 ； 、 :，線性相關(guān) u，-坐標成比例或共線（平仃）； 、 :，線性相關(guān) =:,-，共面； 6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理： 若?1, ?2，: $線性相關(guān)，則 冷，2，川， s，:S1必線性相關(guān)； 若：1，2，1|， s線性無關(guān)，則 冷，2川I，s 4必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 學習好資料歡迎下載 若r維向量組A的每個向量上添上 n r個分量，構(gòu)成n維向量組B : 若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若

23、 B線性相關(guān)，則 A也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減) 簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定； 向量組A (個數(shù)為r )能由向量組B (個數(shù)為s )線性表示，且 A線性無關(guān)，則r乞s(二版P74定理7)； 向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)豈r(B) ； ( P86定理3) 向量組A能由向量組B線性表示 =AX二B有解； r (A)二r (A, B)( P$5 定理 2) 向量組A能由向量組B等價二r(A)工r(B)工r(A, B)( 充分性：反證法) 注：當r二s時，K為方陣，可當作定理使用； 、對矩陣Amn，存在Qn m，AQ=Em=r (A)=m、Q的列向量線性無關(guān)；(P87 ) 、對矩陣Amn，存在Rm , PA=En=r( A)F、P的行向量線性無關(guān)； ：1, ：2- s線性相關(guān) 存在一組不全為0的數(shù)ck2H,ks，使得人冷k2： 2 Hl ks： s= 0成立；(定義) 二(口 ,8 ,|),