數(shù)列求和的七種基本方法

1、數(shù)列求和的七種基本方法 甘志國(guó)部分內(nèi)容(已發(fā)表于數(shù)理天地(高中)，2014(11) : 14-15) 數(shù)列求和是數(shù)列問題中的基本題型， 但具有復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、 解法靈活等特點(diǎn)，本 文將通過例題(這些例題涵蓋了 2014年高考卷中的數(shù)列求和大題 )簡(jiǎn)單介紹數(shù)列求和的七種 基本方法. 1運(yùn)用公式法 很多數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的求法，就是套等差、等比數(shù)列Sn的公式，因此以下常用公式 應(yīng)當(dāng)熟記: L 1 1 2 3 n n(n 2 1) 1 3 5 L (2n 1) n 2 1 2 22 L 2n 1 2n 1 1 1 1 L 1 1 1 2 22 23 2n 2 還要記住一些正整數(shù)的幕和公式： 2

2、2 2 2 1 1 23n n(n 1)( 2n 1) 6 小3小3312“八2 123n n (n 1) 4 例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 32n n2，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn. (1) 所以 2 由Sn 32n n ,可得an 16 時(shí),Tn=Sn 17時(shí)， Tn Tn 求Sn1 33 2n, an 0 16，所以: 32n a1 (a1 S6 2S16 2 n 32 n 2 n a2 a2 (Sn Sn 32n n2 32n 2 (n 1) an a S6) 512 512 3 (n 2) (ai7 a18 an) (n (n 1,2,L 17,且 n N ) ,16) 解設(shè)ak k

3、(n 1 k) k(n 1) k2，本題即求數(shù)列a/的前n項(xiàng)和. Sn(12 3 n)(n 1) (122232n2) 11 n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1 ：n(n 1)(n 2) 6 高考題1 （2014年高考浙江卷文科第 19題（部分）求數(shù)列2n 1的前n項(xiàng)和Sn. 答案：Sn n2. 高考題2 （2014年高考四川卷理科第 19題（部分）求數(shù)列2n 4的前n項(xiàng)和Sn. 答案：Sn n 3n. 咼考題3（2014年咼考福建卷文科第 17題）在等比數(shù)列an中，a23,a581. (1)求 an ； 設(shè)bh log3an，求數(shù)列bj的前n項(xiàng)和Sn. 答案：（1

4、） 2 n 1n n an3； (2) Sn2. 咼考題4 （2014年高考重慶卷文科第16題）已知an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù) 列，Sn表示an的前n項(xiàng)和. (1)求 an 及 Sn ； 2 （2）設(shè)bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比 q滿足q 4 1）q S4 0，求bn的通 項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn. 答案：（1） an 2n 1,Sn n2 ； （2） bn 22n1,Tn 2（4n 1）. 3 2倒序相加法 事實(shí)上，等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和Sn的公式推導(dǎo)方法就是倒序相加法 例3 求正整數(shù) m與n（m n）之間的分母為3的所有既約分?jǐn)?shù)的和 S. 解顯然，這些既約分?jǐn)?shù)為： 124421 m ,

5、m ,m , ,n ,n ,n 3 33333 有 1 2 4 4 2 S (m 3) (m 3) (m 3 (n3) (n (n 也有 S (n 2 (n才 4 (n 3) 4 (m 3) (m 1) (m 所以 2S (m n) 2(n m) 2(n 2 2 m ),S 2 n m 2 例4設(shè)f (x) 4x 4x ，求和 2 1 2002 2 f 3 L f 2001 2002 2002 2002 解可先證得f (x) f(1 x) 1，由此結(jié)論用倒序相加法可求得答案為 2001 2 3裂項(xiàng)相消法 例5若an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列, 1 1 1 n 求證： aa2a?a3 anan 1

6、 a1an 1 要證結(jié)論顯然成立; 0,得 若 d 證明 設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d : 1 1 和 a a? a? a3 an a n 1 1 1 1 1 1 1 1 (- ) (- ) ( d a1 a2 a2 a3 an an 1 1 1 1 nd n d a1 an 1 d a1 a n 1 a1 an 1 1 TT 1 2 1 2 L 1 2(n N且n 2) 1 2 3 n 1 1 1 證明 -) 1 anan 1 anan 1 證明 1 1 2 1 -2 n 1 (n 1) n 高考題5(2014年高考全國(guó)大綱卷理科第 18題)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知 a1 10， a

7、2為整數(shù)，且5 S4. (1)求an的通項(xiàng)公式； 設(shè)bn ，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. anan 1 答案： an 13 3n ； Sn 10(10 3n) 高考題6 (2014年高考廣東卷文科第 19題)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為 Sn，且 Sn滿足 S； n2 n 3 6 3n2 0,n N (1)求ai的值; 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (3)證明：對(duì)一切正整數(shù) n ,有 答案： (1) a12 ； ag1) a2 1) 1 an(an1) an 2n ； (3)當(dāng) n 1時(shí)， 可得欲證成立.當(dāng)n 2時(shí)， 1 an(an 1) 1 2n (2 n 1) (2n 1)(2 n 1)

8、 2n 1 2n 1 1 1，再用裂項(xiàng)相消法可得欲 高考題 7(2014年高考山東卷理科第 19題)已知等差數(shù)列an的公差為2，前n項(xiàng)和 為 令bn=( 1)n1J,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和人. anan 1 答案：(1) an 2n ，Tn 2n 2 2n 1 2n 2n 1 n為奇數(shù) n為偶數(shù) 4分組求和法 例9求Sn 解設(shè)an ，得 an 所以本題即求數(shù)列2 丄 的前n項(xiàng)和: 2 Sn2 n 1 - - L 24 2n an 2n 2 2n 例10設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn an ，又bn (1)nSn，求數(shù)列bn 所以an是首項(xiàng)為 1公差為2的等差數(shù)列，得 的前n項(xiàng)和Tn. a 1

9、2 解在Sn an1中，令 n 1可求得a1 1 . 2 還可得 4Sn 2 (an 1) , 4Sn 1 (an 1 1)2 相減，得 4an 1 2 2 an 1an 2a n 1 2an (an 1an )(an 1a n2) 0 an 1 an an 2n 1 所以 Sn an 1 2 2 n2,bn (1)n 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Tn ( 12 22) ( 32 42) (n 1)2 n2 3 7 11 (2n 1) n(n 1) 2 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Tn Tn1 bn蟲(用以上結(jié)論) 2 2 總之，Tn ( 1廣P衛(wèi). 2 高考題8(2014年高考北京卷文科第 15題)已知an是等差數(shù)

10、列，滿足 a1 3， a4 12，數(shù)列bn滿足bi 4，b4 20，且bn an是等比數(shù)列 (1) 求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式; 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. 3 答案： an=3n,d=3n 2n 1 ； (2) n(n 1) 2n 1. 2 高考題9 (2014年高考山東卷文科第19題)在等差數(shù)列an中，已知公差d 2 , a2 是a1與a4的等比中項(xiàng) (1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 設(shè)bn an(n 1)，記 Tn 2 bib2 b3 b4(1)nbn , 求Tn . (n 1)2 n為奇數(shù) 答案： an 2n , Tn 2 n(n 1) 2 n為偶數(shù) 咼考題10 (2014年高考浙江卷理科第

11、 19題(部分)求數(shù)列 2n- 1 -的前n項(xiàng) n(n 1) 和Sn. 答案：2n1 2. n 1 5錯(cuò)位相減法 高考題11(2014年高考江西卷理科第17題)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列 an, bn(bn0, nM)滿足anbn1an1bn2bn 1bn0. a“ (1)令Cn，求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式； bn (2) 若bn3n 1，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn. 解(1) cn2n 1. 得 an bnCn (2n 1) 3n 1 .先寫出 Sn 的 勺表達(dá) 式: Sn1 1 3 315 32 7 33 (2n 1) 3n 1 把此式兩邊都乘以公比 3, 得 3Sn 1 31 3 32 5 33

12、(2n 3) 3n1 (2n 1) 3n -，得 2Sn1 2 31 2 322 33 2 3n 1 (2n 1) 3n 2Sn (2 30 2 31 2 32 2 33 2 3n 1) (2n 1) 3n 1 由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得 2Sn 3n 1 (2n 1) 3n 1 2Sn3n 1 (2n 1) 3n 1 (2n 2) 3n 2 Sn(n 1) 3n 1 因?yàn)榇私獯鸫_實(shí)步驟多，且有三步容易出錯(cuò)：（1）等式右邊前n項(xiàng)的符號(hào)都是“ +”， 但最后一項(xiàng)是“一”；（2）當(dāng)?shù)仁接疫叺那皀項(xiàng)不組成等比數(shù)列時(shí)，須把第一項(xiàng)作微調(diào)，變 成等比數(shù)列（即等式），這增加了難度；（3）等式中最后一步的變

13、形（即合并）有難度但這 種方法（即錯(cuò)位相減法）又是基本方法且程序法， 所以備受命題專家的青睞，在高考試卷中頻 頻出現(xiàn)就不足為怪了 考生在復(fù)習(xí)備考中，應(yīng)徹底弄清、完全掌握，爭(zhēng)取拿到滿分 這里筆者再給出一個(gè)小技巧一一檢驗(yàn)： S, 5是否正確，若它們均正 （重點(diǎn)是檢查容易出錯(cuò)的三點(diǎn)） 算得了 Sn的表達(dá)式后，一定要抽出萬(wàn)忙的時(shí)間檢驗(yàn)一下 確，一般來(lái)說(shuō)就可以確定算對(duì)了，否則就算錯(cuò)了，需要檢查 或重算 對(duì)于本題，已經(jīng)算出了 Sn (n 1) 3n 1，所以 S11,S2 10.而由通項(xiàng)公式可知 1 S 1 1 1,S2 S1 3 3 10，所以求出的答案正確 高考題12（2014年高考課標(biāo)全國(guó)卷 I文科

14、第 17題）已知an是遞增的等差數(shù)列, 2 a2,a4是方程x5x 6 0的根. （1） 求an的通項(xiàng)公式; 求數(shù)列色的前n項(xiàng)和 2n 1 答案：(1) an n 1. 2 （2）用錯(cuò)位相減法可求得答案為 2n1 高考題13 年高考安徽卷文科第 18題）數(shù)列an滿足 a11, nan 1 (n 1)an n(n 1),n N*. （1）證明： 數(shù)列 On. 是等差數(shù)列； n 設(shè)bn 3n an， 求數(shù)列bn的前 n項(xiàng)和Sn 答案： 略 (2014 由(1)可求得ann2，所以bn3n n，再用錯(cuò)位相減 法可求得 高考題14 (2014年高考四川卷文科第19題)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ，點(diǎn)(a

15、n , bn ) 在函數(shù)f(x) 2x的圖象上(n N*). (1) 證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列; 若印1，函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(a2,d)處的切線在x軸上的截距為2 ，求數(shù) ln 2 列何嶄的前n項(xiàng)和Sn. 答案：(1)略. 可求得ann,bn2n，所以anb； n 4n，再用錯(cuò)位相減法可求得 n 1 又?jǐn)?shù)列3n 前n項(xiàng)和為 3 3.所以數(shù)列(2n 2 1) 3n 的前n項(xiàng)和為 高考題16 的兩邊對(duì) (sin 2x) 2 Sn 6 3 寧(n 1) 2 3n 13 (2008年高考江蘇卷第23題)請(qǐng)先閱讀：在等式 導(dǎo)，得(cos2x) (2cos x 1) 4cosx (sinx)，化簡(jiǎn)后得等式sin2x (1)利用上題的想法 (或其他方法 )，試由等式(1 x)n 整數(shù)n 2)證明：n(1 x)n1 1 n k k 1 kCn x 2 cos2x 2cos x 1(x .由求導(dǎo)法則， 2sin xcosx. c0 C；x C2x2 C：xn(x R, (2