高中數(shù)學(xué)新人教版選修2-2課時作業(yè)：第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1.1_1.1.2變化率問題導(dǎo)數(shù)的概念

1、 1.1.1 變化率問題1.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念明目標(biāo)、知重點1了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景2會求函數(shù)在某一點附近的平均變化率3會利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)1函數(shù)的變化率定義實例函數(shù) yf(x)從 x 到 x 的平均變化率為平均變平均速度；曲線割線的斜率12f x f x( ) ( )化率，簡記作：2121函數(shù) yf(x)在 xx 處的瞬時變化率是函數(shù)f(x)0瞬時速度：物體在某一時刻的速度；切線斜率從 x 到 x x的平均變化率在 x0 時的極限，00f x x f x ) ( )yx(即lim x0lim x000x2.函數(shù) f(x)在 xx 處的導(dǎo)數(shù)0函數(shù) yf(x)在 xx 處的瞬時變

2、化率稱為函數(shù) yf(x)在 xx 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f(x )或000yxf x x f x ) ( )(y|xx ，即 f(x )limlim x0.00x00 x0情境導(dǎo)學(xué)某市 2013 年 5 月 30 日最高氣溫是 33.4，而此前的兩天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高氣溫分別是 24.4和 18.6，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市 2013 年 4 月 28 日最高氣溫 3.5和 5 月 28 日最高氣溫 18.6進行比較，可以發(fā)現(xiàn)二者溫差為15.1，甚至超過了14.8，而人們卻不會發(fā)出上述感慨，這是什么原因

3、呢？顯然原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那么在數(shù)學(xué)中怎樣來刻畫變量變化得快與慢呢？探究點一 平均變化率的概念思考 1 氣球膨脹率 很多人都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢從數(shù)學(xué)的角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？33v答 氣球的半徑r(單位：dm)與體積v(單位：l)之間的函數(shù)關(guān)系是r(v)，4(1)當(dāng)空氣容量v從0增加到1 l時，氣球半徑增加了r(1)r(0)0.62 (dm)，r1 r0( )氣球的平均膨脹率為( )0.62(dm/l)10(2)當(dāng)空氣容量v從1 l增加到2 l時，氣球半徑增加了r(2)r(1)0.16 (d

4、m)，r2 r1( )( )0.16(dm/l)氣球的平均膨脹率為21可以看出，隨著氣球體積逐漸變大，它的平均膨脹率逐漸變小了rv rv( ) ( )結(jié)論 當(dāng)空氣容量從v 增加到v 時，氣球的平均膨脹率是.21vv2121思考2 高臺跳水人們發(fā)現(xiàn)，在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)4.9t6.5t10.2計算運動員在時間段0t0.5，1t2 內(nèi)的平均速度 v ，并思考平均速度有什么作用？答 在 0t0.5 這段時間里，h0.5 h0()0.50( )4.05(m/s)；v 在 1t2 這段時間里，h2 h1( )( )8.2(

5、m/s)v 21由以上計算體會到平均速度可以描述運動員在某段時間內(nèi)運動的快慢思考3 什么是平均變化率，平均變化率有何作用？思考1和思考2中的平均變化率分別表示什么？答 如果上述兩個思考中的函數(shù)關(guān)系用yf(x)表示，那么思考中的變化率可用式子fx fx( ) ( )表示，我們把這個式子稱為函數(shù)yf(x)從x 到x 的平均變化率，平均變化率可以21xx1221描述一個函數(shù)在某個范圍內(nèi)變化的快慢思考1 中的平均變化率表示在空氣容量從v 增加到1v 時，氣球半徑的平均增長率思考2 中的平均變化率表示在時間從t 增加到 t 時，高度 h212的平均增長率 yxyx思考 4 平均變化率也可以用式子 表示，

6、其中 y、 x 的意義是什么？ 有什么幾何意義？答 x 表示 x x 是相對于 x 的一個“增量”； y 表示 f(x )2112f(x ) x、 y 的值可正可負(fù)， y 也可以為零，但 x 不能為零1y觀察圖象可看出， 表示曲線 yf(x)上兩點(x ，f(x )、(x ，f(x )x1122連線的斜率小結(jié) 平均變化率為y f x f x( ) ( )，其幾何意義是：函數(shù) yf(x)的圖象上兩點(x ，f(x )、21xx x1121(x ，f(x )連線的斜率22例 1 已知函數(shù) f(x)2x 3x5.2yx(1)求當(dāng) x 4，x 5 時，函數(shù)增量 y 和平均變化率；12yx(2)求當(dāng) x

7、 4，x 4.1 時，函數(shù)增量 y 和平均變化率；12(3)若設(shè) x x x.分析(1)(2)題中的平均變化率的幾何意義21解 f(x)2x 3x5，2 yf(x x)f(x )112(x x) 3(x x)5(2x 3x 5)2211112( x) 2x x3 x212( x) (4x 3) x212( x) 19 x.2y 2 x 19 x( )22 x19.xx(1)當(dāng) x 4，x 5 時， x1，12yxy2( x) 19 x21921， 21.2(2)當(dāng) x 4，x 4.1 時 x0.1，12y2( x) 19 x0.021.91.92.2yx2 x1919.2.y f x f x

8、f 5 f 4( ) ( ) ( ) ( )(3)在(1)題中，21xx x5421它表示拋物線上點 p (4,39)與點 p (5,60)連線的斜率01y f x f x( ) ( )f 4.1 f 4()4.14( )在(2)題中，21xx x21 它表示拋物線上點 p(4,39)與點 p(4.1,40.92)連線的斜率02反思與感悟 求平均變化率的主要步驟：(1)先計算函數(shù)值的改變量 yf(x)f(x)21(2)再計算自變量的改變量 xxx.21y fx fx( ) ( )(3)得平均變化率.21xxx21跟蹤訓(xùn)練 1 (1)計算函數(shù) h(x)4.9x6.5x10從 x1到 x1 x的平

9、均變化率，其2中 x的值為2；1；0.1；0.01.(2)思考：當(dāng)| x|越來越小時，函數(shù) h(x)在區(qū)間 1,1 x上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？解 (1) yh(1 x)h(1)4.9( x)3.3 x，2yx4.9 x3.3.當(dāng) x2時，y4.9 x3.313.1；x當(dāng) x1時，y4.9 x3.38.2；xy當(dāng) x0.1時， 4.9 x3.33.79；xy當(dāng) x0.01時， 4.9 x3.33.349.x(2)當(dāng)| x|越來越小時，函數(shù) f(x)在區(qū)間 1,1 x上的平均變化率逐漸變大，并接近于3.3.探究點二 函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)思考 1 物體的平均速度能否精確反映它的運動狀態(tài)？答 不

10、能，如高臺跳水運動員相對于水面的高度h與起跳時間 t的函數(shù)關(guān)系 h(t)4.9t26.5t10，65hh0( ) ( )6549易知 h( )h(0)， v 0，4965490而運動員依然是運動狀態(tài)y思考 2 觀察跟蹤訓(xùn)練 1，當(dāng) x0.000 01 時， ？這個平均速度能描述物體的運動狀x態(tài)嗎？ yx答4.9 x3.33.300 049，說明當(dāng)時間間隔非常小的時候平均速度約等于一個常數(shù)，這個常數(shù)就是 x1這一時刻的速度思考 3 什么叫做瞬時速度？它與平均速度的區(qū)別與聯(lián)系是什么？平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系如何？答 可以使用瞬時速度精確描述物體在某一時刻的運動狀態(tài)如求t2時的瞬時速度，可考h2

11、 th2 ) ( )(察在 t2附近的一個間隔 t，當(dāng) t趨近于 0時，平均速度v趨近于lim，t t0這就是物體在 t2時的瞬時速度類似可以得出平均變化率與瞬時變化率的關(guān)系，我們把函數(shù) yf(x)在 xx 處的瞬時變化率0fx xfx ) ( )yx(lim x0lim x0叫做函數(shù) yf(x)在 xx 處的導(dǎo)數(shù)00x0思考 4 導(dǎo)數(shù)或瞬時變化率反映函數(shù)變化的什么特征？答 導(dǎo)數(shù)或瞬時變化率可以反映函數(shù)在一點處變化的快慢程度小結(jié) 1.函數(shù)的瞬時變化率：函數(shù) yf(x)在 xx 處的瞬時變化率是0fx xfx ) ( )yx(lim x0lim x0.00x2函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)：我們稱函數(shù) yf

12、(x)在 xx 處的瞬時變化率為函數(shù) yf(x)在 x0x 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f(x)或 y|xx，即000fx xfx ) ( )yx(f(x)limlim x0.00x0 x0例 2 利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù) f(x)x3x在 x2處的導(dǎo)數(shù)2解 由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在 x2處的導(dǎo)數(shù) f(2)f2 xf2 ) ( )(lim x0，而 f(2 x)f(2)(2 x)3(2 x)(232)22x( x) x，2( x) x2于是 f(2)limlim ( x1)1.x x0 x0反思與感悟 求一個函數(shù) yf(x)在 xx 處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：0(1)求函數(shù)值的變化量 yf(x x)f(x)；00y

13、fx xfx ) ( )(2)求平均變化率(；00xxyx(3)取極限，得導(dǎo)數(shù) f(x)lim.0 x0跟蹤訓(xùn)練 2 求函數(shù) f(x)3x2x在 x1處的導(dǎo)數(shù)2解 y3(1 x)2(1 x)(31 21)22 3( x)4 x，2y 3 x 4 x( )2 3 x4，xxyy| lim lim (3 x4)4.xx1 x0 x0例3 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱如果在第 x h 時，原油的溫度(單位：)為 yf(x)x7x15(0x8)計算第 2 h 和第 6 h2時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義解 在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率

14、就是f(2)和f(6)y f2 xf2 ) ( )(根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義， xx(2 )2x 7 2 x15 27215( )()2x4 x( x) 7 x2 x3，xy所以，f(2)lim lim ( x3)3.x x0 x0同理可得，f(6)5.在第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率分別為3與5.它說明在第2 h附近，原油溫度大約以 3 /h 的速率下降；在第6 h附近，原油溫度大約以5 /h的速率上升反思與感悟 (1)本題中，f(x)反映了原油溫度在時刻x 附近的變化情況00(2)函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系：y fx xfx ) ( )(平均變化率 ，當(dāng) x 趨于 0 時，它所趨

15、于的一個常數(shù)就是函數(shù)在x 處00xx0的瞬時變化率，即求函數(shù)的瞬時變化率是利用平均變化率“逐漸逼近”的方法求解另外，它們都是用來刻畫函數(shù)變化快慢的，它們的絕對值越大，函數(shù)變化得越快跟蹤訓(xùn)練3 高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：65s)之間的關(guān)系式為h(t)4.9t6.5t10，求運動員在t s時的瞬時速度，并解釋此298時的運動狀況65解 令t ， t為增量980ht tht ) ( )(則00t656565 9865tt 4.9 6.5 104.9 6.5 1022989898t 654.9 t 6.5 tt496549 t4.9 6.5，tht t

16、ht65 tlim4.9 6.50，( ) ( )lim t000t49 t065即運動員在 t s時的瞬時速度為 0 m/s.980說明此時運動員處于跳水運動中離水面最高的點處1如果質(zhì)點 m按規(guī)律 s3t 運動，則在一小段時間 2，2.1中相應(yīng)的平均速度是( )2a4 b4.1 c0.41 d3答案 b(32.1)(32 )0.122解析 v 4.1.f xhfx()( )2函數(shù) f(x)在 x 處可導(dǎo)，則lim( )00h0h0a與 x、h都有關(guān)0b僅與 x 有關(guān)，而與 h無關(guān)0c僅與 h有關(guān)，而與 x 無關(guān)0d與 x、h均無關(guān)0答案 by3已知函數(shù) f(x)2x1的圖象上一點(1,1)及

17、鄰近一點(1 x,1 y)，則 等于( )2xa4 b4x c42 x d42( x)2答案 c解析 yf(1 x)f(1)2(1 x)112y2( x)4 x， 2 x4.2x14已知函數(shù) f(x) ，則 f(1)_.x1答案 2f1 xf1 ) ( )(解析 f(1)limx x0 1111 xlim x0x1 .2lim x01 x(1 1 x)呈重點、現(xiàn)規(guī)律利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)三步曲：(1)求函數(shù)的增量 yf(x x)f(x)；00y fx xfx ) ( )(2)求平均變化率(；00xxyx(3)取極限，得導(dǎo)數(shù) f(x)lim.0 x0簡記為一差，二比，三趨近y特別提醒 取極限前，要注

18、意化簡 ，保證使 x0 時分母不為 0.x函數(shù)在 x 處的導(dǎo)數(shù) f(x)只與 x 有關(guān)，與 x無關(guān)000導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率，應(yīng)用非常廣泛.一、基礎(chǔ)過關(guān)1函數(shù) yx2x1在 x2附近的平均變化率為()2a6c2答案 bb x6d x2解析 設(shè) yf(x)x2x1(x1)，22yf(2 x)f(2)(2 x1)(21)(3 x)9( x)6 x，2222yx所以 x6，所以函數(shù) yx2x1在 x2附近的平均變化率為 x6.22函數(shù) y1在 2,2 x上的平均變化率是(a0 b1 c2 d x答案 a)y 11解析0.xx3如果某物體的運動方程為 s2(1t)(s的單位為 m，t的單位

19、為 s)，那么其在 1.2 s末2 的瞬時速度為(a4.8 m/sc0.88 m/s答案 a)b0.88 m/sd4.8 m/s解析 物體運動在 1.2 s末的瞬時速度即為 s在 1.2處的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求得4一質(zhì)點按規(guī)律 s(t)2t 運動，則 t1時的瞬時速度為()3a4 b6 c24 d48答案 bsts1( ) ( )解析 s(1)limt1t12t23limt1lim2(tt1)6.2t1t11x5已知函數(shù) y2 ，當(dāng) x由 1變到 2時，函數(shù)的增量 y_.1答案 2 11解析 y 2 (21) .226.甲、乙兩廠污水的排放量 w與時間 t的關(guān)系如圖所示，治污效果較好的是

20、()a甲b乙c相同答案 bd不確定解析 在 t 處，雖然 w(t)w(t)，01020但是，在 t t處，w(t t)w(t t)，01020w t w t tw t w t t( ( )( ) ( ) ) 即，10102020t t所以，在相同時間 t內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率小所以乙廠治污效果較好7利用定義求函數(shù) y2x5在 x2處的瞬時變化率2解 因為在 x2 附近， y2(2 x)5(22 5)8 x2( x)，所以函數(shù)222y 8 x2 x( )2在區(qū)間 2,2 x內(nèi)的平均變化率為82 x.xx故函數(shù) y2x5在 x2處的瞬時變化率為2lim (82 x)8. x0二、能力提升8過曲線yx1上兩點 p(1,2)和 q(1 x,2 y)作曲線的割線，當(dāng) x0.1時，割線2的斜率 k_，當(dāng) x0.001時，割線的斜率 k_. 答案 2.1 2.001解析