高一數(shù)學(xué)下第5章解斜三角形解析及答案

1、高一數(shù)學(xué)下第5章解斜三角形解析及答案鞏固基礎(chǔ)一、自主梳理 1.正弦定理：=2r，其中r是三角形外接圓半徑. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosa,b2=a2+c2-2accosb,cosa=. 3.sabc=absinc=bcsina=acsinb,s=sr(s=,r為內(nèi)切圓半徑)=(r為外接圓半徑). 4.在三角形中大邊對大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosc+ccosb,b=acosc+ccosa,c=acosb+bcosa. 6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式 (1)sin(a+b)=sinc,cos(a+b)=-cosc,tanc=-tan(a+b),cos=sin, sin=

2、cos 在abc中，熟記并會證明tana+tanb+tanc=tanatanbtanc; (2)a、b、c成等差數(shù)列的充要條件是b=60； (3)abc是正三角形的充要條件是a、b、c成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列. 7.解三角形常見的四種類型 (1)已知兩角a、b與一邊a,由a+b+c=180及=，可求出角c，再求b、c. (2)已知兩邊b、c與其夾角a，由a2=b2+c2-2bccosa，求出a，再由余弦定理，求出角b、c. (3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角a、b、c. (4)已知兩邊a、b及其中一邊的對角a，由正弦定理=，求出另一邊b的對角b，由c=-(a+b)，求出c，再

3、由=求出c，而通過=求b時，可能出一解，兩解或無解的情況，其判斷方法，如下表：a90a=90ab一解一解一解a=b無解無解一解absina兩解無解無解a=bsina一解absina無解 8.用向量證明正弦定理、余弦定理，關(guān)鍵在于基向量的位置和方向. 9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.二、點擊雙基1.在abc中，a=60，a=43,b=4，則b等于( )a.45或135 b.135 c.45 d.以上答案都不對解析：sinb=,又ba,ba.0b60.故b=45.答案：c2.abc中，a=2bcosc，則此三角形一定是( )a.等腰三角形 b.直角三角形c.等腰直角三角形

4、 d.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得sina=2sinbcosc, 即sin(b+c)=2sinbcosc. sin(b-c)=0. 又-b-c，b-c=0.答案：a3.設(shè)a是abc最小內(nèi)角，則sina+cosa的取值范圍是( )a.(-，) b.-, c.(1，) d.(1,解析：0a60,45時，pq2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120. 由綜合得pq2=48t2-24t+7,即pq=. (3)pq2=48t2-24t+7=48(t-)2+4, 當t=時，即在第15分鐘時他們兩人的距離最短.鏈接拓展 本題還可以轉(zhuǎn)化為坐標運算，從而避免分類討論. 提

5、示：以o為坐標原點，oe所在直線為x軸建立坐標系，則t時刻p(3-4t,0),q(1+4t), (1+4t).狀元訓(xùn)練復(fù)習(xí)篇10.在abc中，下列三式0,0,0中能夠成立的不等式個數(shù)( )a.至多1個 b.有且僅有1個 c.至多2個 d.至少2個解析：原條件可轉(zhuǎn)化為cosa0,cosb0,cosc0.而a、b、c是三角形的內(nèi)角，a+b+c=最多一個鈍角.答案：d11.在abc中，a=80,b=100,a=45，則此三角形解的情況是( )a.一解 b.兩解 c.一解或兩解 d.無解解析：bsina=50,absina.答案：b12（理）在abc中，若a=60,b=1,sabc=，則的值為( )a

6、. b. c. d.解析：sabc=bcsina,bcsina=. c=4.a2=b2+c2-2bccosa=13.a=. =.答案：b13、(文)(2004浙江高考)在abc中,“a30”是“sina”的( )a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件c.充分必要條件 d.既不充分也不必要條件解析：在abc中,a300sina1sina;sina30a150a30.答案：b14.在abc中,角a、b、c所對的邊分別是a、b、c,若三角形的面積s=(a2+b2-c2),則c的度數(shù)是_.解析：由s=(a2+b2-c2)得absinc=2abcosc.tanc=1.c=45.答案：4515.在ab

7、c中,若c=60,則+=_.解析：+= =. (*) c=60,a2+b2-c2=2abcosc=ab.a2+b2=ab+c2. 代入(*)式得=1.答案：116.在abc中，c=2,ab,c=,且有tanatanb=6,試求a、b以及此三角形的面積.思路分析：由已知可求出tana+tanb,這樣便可求得tana和tanb的值，只要求出sina、sinb利用正弦定理可求得a、b.解：tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb) =-tanc(1-tanatanb) =-tan(1-6)=5, 又tanatanb=6且ab,則tanatanb.tana=3,tanb=2. 而0a

8、,0b, sina=,sinb=. 由正弦定理得a=, b=, sabc=absinc=.17.(2006北京海淀模擬)(理)abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，2sin2c=3cosc,c=,又abc的面積為.求：(1)角c的大小；(2)a+b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2c)=3cosc, cosc=或cosc=-2(舍), 在abc中，c=60. (2)sabc=absinc=, absin60=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosc, ()2=a2+b2-2abcosc. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5.18(文)abc中，角a、b、

9、c的對邊分別為a、b、c，abc的面積為,且c=,3cosc-2sin2c=0.求：(1)角c的大??；(2)a、b的值.解：(1)由已知得2(1-cos2c)=3cosc, cosc=或cosc=-2(舍), 在abc中，c=60.(2)sabc=absinc=, absin60=.ab=6. 又c2=a2+b2-2abcosc, ()2=a2+b2-2abcosc. a2+b2-ab=7.a2+b2=13. a+b=5. a=2,b=3或a=3,b=2.加強篇19、在abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c,依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.解：b2=ac, cosb= =(+)-.0

10、b, y= =sinb+cosb=sin(b+). b+,sin(b+)1.故1y.20.(全新創(chuàng)編題)某城市有一條公路,自西向東經(jīng)過a點到市中心o點后轉(zhuǎn)向東北方向ob,現(xiàn)要修建一條鐵路l,l在oa上設(shè)一站a,在ob上設(shè)一站b,鐵路在ab部分為直線段,現(xiàn)要求市中心o與ab的距離為10 km,問把a、b分別設(shè)在公路上離中心o多遠處才能使|ab|最短?并求其最短距離.(不要求作近似計算)解：在aob中,設(shè)oa=a,ob=b. 因為ao為正西方向,ob為東北方向, 所以aob=135. 則|ab|2=a2+b2-2abcos135=a2+b2+ab2ab+ab=(2+)ab,當且僅當a=b時,“=”

11、成立.又o到ab的距離為10,設(shè)oab=,則oba=45-.所以 a=,b=, ab= = = =, 當且僅當=2230時,“=”成立. 所以|ab|2=400(+1)2, 當且僅當a=b,=2230時,“=”成立. 所以當a=b=10時,|ab|最短,其最短距離為20(+1),即當ab分別在oa、ob上離o點10km處,能使|ab|最短,最短距離為20(-1).教學(xué)參考 一、教學(xué)思路 1.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩條途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊.具體有如下四種方法：通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；通過三角變換找出角之間的關(guān)系；通過三角函數(shù)值符號的判斷以

12、及正、余弦函數(shù)有界性的討論. 2.用正弦(余弦)定理解三角形問題時可適當應(yīng)用向量數(shù)量積求三角形內(nèi)角與應(yīng)用向量的模求三角形邊長等. 3.在判斷三角形形狀或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件. 4.用向量的數(shù)量積求三角形內(nèi)角時，需通過向量的方向判斷向量的夾角與三角形內(nèi)角是相等還是互補. 二、注意問題 1.一方面要讓學(xué)生體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用,另一方面要讓學(xué)生體會解三角形是重要的測量手段,通過數(shù)值計算進一步提高使用計算器的技能技巧和解決實際問題的能力. 2.要加大以三角形為背景,以三角恒等變換公式、向量等為工具的小型綜合題的訓(xùn)練. 三、參考資料21已知a、b、c是abc

13、的三個內(nèi)角,y=cota+.(1)若任意交換兩個角的位置,y的值是否變化?試證明你的結(jié)論.(2)求y的最小值.解：(1)y=cota+ =cota+ =cota+ =cota+cotb+cotc, 任意交換兩個角的位置,y的值不變化. (2)cos(b-c)1, ycota+=+2tan=(cot+3tan)=. 故當a=b=c=時,ymin=.講評：本題的第(1)問是一道結(jié)論開放型題,y的表達式的表面不對稱性顯示了問題的有趣之處.第(2)問實際上是一道常見題:在abc中,求證:cota+cotb+cotc.22、在abc中,sina=,判斷這個三角形的形狀.剖析：判斷一個三角形的形狀,可由三個內(nèi)角的關(guān)系