圓錐曲線知識點匯總[教學文書]

1、圓錐曲線與方程知識點匯總 1上課教育 2.1 2.1 橢圓橢圓 2上課教育 1、橢圓的定義、橢圓的定義： 1 F 2 F M 平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個定點個定點F1、F2的距離之的距離之和和等于等于 常數(shù)常數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做）的點的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢圓的焦點焦點，兩焦點間的距離，兩焦點間的距離 叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。 cFF2 21 為橢圓時,022 ca 2a2aMFMFMFMF 2 21 1 橢圓形成演示橢圓形成演示 橢圓定義橢圓定義.gsp 3上課教育 滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？滿足幾個條件的動點的軌跡叫做橢圓？

2、 v(1)平面上平面上-這是大前提這是大前提 v(2)動點動點 M 到兩個定點到兩個定點 F1、F2 的距離之和的距離之和 是常數(shù)是常數(shù) 2a v(3)常數(shù)常數(shù) 2a 要大于焦距要大于焦距 2c 12 22MFMFac 4 4上課教育 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上 平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等 于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡 12 - , 0 , 0，F(xiàn)cFc 1 2 0,-0,，F(xiàn)cFc 標準方程標準方程 相相 同同

3、點點 焦點位置的判斷焦點位置的判斷 不不 同同 點點 圖圖 形形 焦點坐標焦點坐標 定定 義義 a、b、c 的關系的關系 x y F1 1F2 2 P O x y F1 1 F2 2 P O a2-c2=b2 5上課教育 求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程 （1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型， （2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba, a2=b2+c2 典例分析典例分析 6上課教育 例例1橢圓的兩個焦點的坐標分別是（橢圓的兩個焦點的坐標分別是（4，0） （4，0），橢圓上一點），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10， 求橢圓的標準方程。求橢圓的標準方程。 1 2 y o

4、 FF M x . 解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上 設它的標準方程為設它的標準方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 925 22 yx 7上課教育 例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個個焦焦點點坐坐標標分分別別為為（- - 2 2，0 0）， 5 53 3 （2 2，0 0）并并且且經(jīng)經(jīng)過過點點（， - -），求求它它的的標標準準方方程程. . 2 22 2 2 22 2 2 22 2 解解 : :因因為為橢橢圓圓的的焦焦點點在在x

5、x軸軸上上，所所以以設設它它的的標標準準方方程程為為 x xy y + += =1 1( (a a b b 0 0) ). . a ab b 2 22 22 22 2 2 22 22 2 由由 橢橢 圓圓 的的 定定 義義 知知 5 53 35 53 3 2 2 a a = =+ + 2 2+ +- -+ +- - 2 2+ +- -= = 2 21 1 0 0 2 22 22 22 2 所所 以以 a a = =1 1 0 0 . . 又又 因因 為為 c c = = 2 2 , ,所所 以以 b b= = a a- - c c= = 1 1 0 0 - - 4 4 = = 6 6 . .

6、2222 2222 因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標標準準方方程程為為 xyxy +=1.+=1. 106106 8上課教育 1 111 11 變變式式引引申申：求求焦焦點點在在y y軸軸上上，且且經(jīng)經(jīng)過過點點A(,)A(,)、B(0,-)B(0,-)的的 3 323 32 橢橢圓圓的的標標準準方方程程. . 2 22 2 2 22 2 2 22 2 y yx x 解解 ： 設設 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 方方 程程 為為+ += = 1 1 , , a ab b 1 11 11 1 將將 A A ( (, ,) ), , B B ( (0 0 , , - -) )代代 入入 得得 ： 3

7、 33 32 2 2 22 2 1 11 1 3 33 3 + += = 1 1 2 22 2 a ab b , , 2 2 1 1 - - 2 2 = = 1 1 2 2 a a 1 1 2 2 a a= =, , 4 4 解解 得得 ： 1 1 2 2 b b= =. . 5 5 y yx x 故故 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 標標 準準 方方 程程 為為+ += = 1 1 . . 1 11 1 4 45 5 ？思考一個問題思考一個問題:把把“焦點在焦點在y軸上軸上”這句話去掉，怎么辦？這句話去掉，怎么辦？ 9上課教育 定義法定義法：如果所給幾何條件正好符合某 一特定的曲線（圓，橢圓等

8、）的定義，則可 直接利用定義寫出動點的軌跡方程. 待定系數(shù)法待定系數(shù)法：所求曲線方程的類型已知， 則可以設出所求曲線的方程，然后根據(jù)條件求 出系數(shù).用待定系數(shù)法求橢圓方程時，要“先定 型，再定量”. 求曲線方程的方法：求曲線方程的方法： 10上課教育 標準方程標準方程 圖象圖象 范圍范圍 對稱性對稱性 頂點坐標頂點坐標 焦點坐標焦點坐標 半軸長半軸長 離心率離心率 a a、b b、c c的關的關 系系 22 22 1(0) xy ab ab c e a c2=a2-b2 22 22 1(0) xy ab ba -axa, -byb -bxb, -aya 對稱軸為對稱軸為x軸、軸、y軸；對稱中心

9、為原點軸；對稱中心為原點 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a) (c,0)、(-c,0)(0 , c)、(0, -c) 長軸長為長軸長為2a,短軸長為短軸長為2b. 焦距為焦距為2c (0e1) 2、橢圓的簡單幾何性質、橢圓的簡單幾何性質： x y F1 1F2 2 P O x y F1 1 F2 2 P O 11上課教育 橢圓離心率的取值范圍？離心率變橢圓離心率的取值范圍？離心率變 化對橢圓的扁平程度有什么影響？化對橢圓的扁平程度有什么影響？ e(0(0，1).1). e越接近于越接近于0，橢圓越圓；，橢圓越圓； e越接越接近于

10、近于1 1，橢圓越扁，橢圓越扁. . 12上課教育 2.2 2.2 雙曲線雙曲線 13上課教育 兩個定點兩個定點F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點焦點; |F1F2|=2c 焦距焦距. （1）2a0 ； 思考：思考： （1）若）若2a=2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ （2）若）若2a2c,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ 說明說明 （3）若）若2a=0,則軌跡是什么？則軌跡是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a ( (1) )兩條射線兩條射線 ( (2) )不表示任何軌跡不表示任何軌跡 1、雙曲線的定義、雙曲線的定義： 14上課教育 看看 前的系數(shù)，哪一個為正，則在哪一個軸上前的系

11、數(shù)，哪一個為正，則在哪一個軸上 平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個定點與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的距離的差的絕對值的絕對值等于常數(shù)等于常數(shù) （小于（小于F1F2)的點的軌跡叫做的點的軌跡叫做雙曲線雙曲線. 12 - , 0 , 0，F(xiàn)cFc 1 2 0,-0,，F(xiàn)cFc 標準方程標準方程 相相 同同 點點 焦點位置的判斷焦點位置的判斷 不不 同同 點點 圖圖 形形 焦點坐標焦點坐標 定定 義義 a、b、c 的關系的關系 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab c2=a2+b2 22 , yx F 2 F 1 M x O y O M F 2 F 1 x y 1

12、5上課教育 16上課教育 17 x y o ax 或 ax ay ay 或 )0 ,( a ), 0(a x a b y x b a y a c e ) ( 222 bac 其中 關于關于 坐標坐標 軸和軸和 原點原點 都對都對 稱稱 性性 質質 雙曲線雙曲線 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 范圍范圍 對稱對稱 性性 頂點頂點 漸近漸近 線線 離心離心 率率 圖象圖象 2、雙曲線的簡單幾何性質、雙曲線的簡單幾何性質： 17上課教育 18 例例1 求雙曲線求雙曲線 9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、的

13、實半軸長和虛半軸長、 焦點坐標、離心率、漸近線方程焦點坐標、離心率、漸近線方程. 可得實半軸長可得實半軸長a=4，虛半軸長，虛半軸長b=3 焦點坐標為（焦點坐標為（0，-5）、（）、（0，5） 4 5 a c e離離心心率率 xy 3 4 線線方方程程為為漸漸近 解：把方程化為標準方程解：把方程化為標準方程 22 1 169 yx 18上課教育 19 例2 . 4 5 16 線和焦點坐標線和焦點坐標程，并且求出它的漸近程，并且求出它的漸近 出雙曲線的方出雙曲線的方軸上，中心在原點，寫軸上，中心在原點，寫焦點在焦點在 ，離心率離心率離是離是已知雙曲線頂點間的距已知雙曲線頂點間的距 x e 思考思

14、考:一個雙曲線的漸近線的方程為一個雙曲線的漸近線的方程為: ,它的它的 離心率為離心率為 . xy 4 3 55 43 或 xy 4 3 漸近線方程為 )0 ,10(),0 ,10( 21 FF 焦點 1 3664 22 yx 解：解： 19上課教育 定定 義義 方方 程程 焦焦 點點 a.b.c的關的關 系系 F（c，0）F（c，0） a0，b0，但，但a不一不一 定大于定大于b，c2=a2+b2 |MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢橢 圓圓 雙曲線雙曲線 F（0，c）F（0，c） 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1(0) yx ab ab 22 2

15、2 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab ab0，c2=a2-b2 20上課教育 21 漸近線漸近線 離心率離心率 頂點頂點 對稱性對稱性 范圍范圍 準線準線 |x| a,|y|b|x| a，y R 對稱軸：對稱軸：x軸，軸，y軸軸 對稱中心：原點對稱中心：原點 對稱軸：對稱軸：x軸，軸，y軸軸 對稱中心：原點對稱中心：原點 （-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 長軸：長軸：2a 短軸：短軸：2b (-a,0) (a,0) 實軸：實軸：2a 虛軸：虛軸：2b e = a c ( 0e 1 ) a c e=(e1) 無無 y = a b x c

16、 a x 2 21上課教育 2.3 2.3 拋物線拋物線 22上課教育 C M F l e=1 H 在平面內(nèi)在平面內(nèi),與一個定點與一個定點F 和一條定直線和一條定直線l(l不經(jīng)過點不經(jīng)過點F) 的的距離相等距離相等的點的軌跡叫的點的軌跡叫拋拋 物線物線. 點點F叫拋物線的叫拋物線的焦點焦點, 直線直線l 叫拋物線的叫拋物線的準線準線 d 為為 M 到到 l 的距離的距離 準線準線 焦焦 點點 d 1、拋物線的定義、拋物線的定義： 0p 是焦準距 2 2ypx 拋物線標準方程拋物線標準方程 23上課教育 準線方程準線方程焦點坐標焦點坐標標準方程標準方程圖圖 形形 x xF FO y y l x

17、xF FO y y l x x F F O y y l x x F O y y l )0, 2 p ( 2 p x )0, 2 p ( 2 p x ) 2 p 0( ， 2 p y ) 2 p 0(， 2 p y P的意義的意義:拋物拋物 線的焦點到準線的焦點到準 線的距離線的距離 方程的特點方程的特點: (1)左邊左邊是二次是二次 式式, (2)右邊右邊是一次是一次 式式;決定了決定了焦點焦點 的位置的位置. 24上課教育 （1）已知拋物線的標準方程是）已知拋物線的標準方程是 y 2 = 6 x ，求它，求它 的焦點坐標及準線方程的焦點坐標及準線方程 （2）已知拋物線的焦點坐標是）已知拋物線

18、的焦點坐標是 F（0，2），求），求 拋物線的標準方程拋物線的標準方程 （3）已知拋物線的準線方程為）已知拋物線的準線方程為 x = 1 ，求拋物，求拋物 線的標準方程線的標準方程 （4）求過點）求過點A（3，2）的拋物線的標準方程）的拋物線的標準方程 焦點焦點F ( , 0 ) 3 2 準線：準線：x = 3 2 x 2 =8 y y 2 =4 x y 2 = x 或或 x 2 = y 4 3 9 2 看圖 看圖 看圖 25上課教育 方程 圖 形 范圍 對稱性 頂點 離心率 y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） l

19、 F y x O l F y x O l F y x O x0 yRx0 yR xR y0y0 xR l F y xO 關于x軸對稱關于x軸對稱 關于y軸對稱 關于y軸對稱 （0,0） e=1 2、拋物線的簡單幾何性質、拋物線的簡單幾何性質： 26上課教育 補充補充（1）通徑：）通徑： 通過焦點且垂直對稱軸的直線，通過焦點且垂直對稱軸的直線， 與拋物線相交于兩點，連接這與拋物線相交于兩點，連接這 兩點的線段叫做拋物線的兩點的線段叫做拋物線的通徑通徑。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通徑的長度通徑的長度：2P P越大越大,開口越開闊開口越開闊 （2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任

20、意一點與焦點的線段叫做連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做 拋物線的拋物線的焦半徑焦半徑。 焦半徑公式：焦半徑公式： ),( 00 yx （標準方程中（標準方程中2p的幾何意義）的幾何意義） 利用拋物線的利用拋物線的頂點頂點、通徑的兩個、通徑的兩個端點端點可較準確畫出可較準確畫出 反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。 27上課教育 X Y 拋物線的基本元素 y2=2px 28上課教育 特點特點 1.拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無 限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線; 2.拋物線只有一條對稱軸拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心

21、沒有對稱中心; 3.拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線; 4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1; 5.拋物線標準方程中的拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響對拋物線開口的影響. P越大越大,開口越開闊開口越開闊 29上課教育 圖圖 形形方程方程焦點焦點準線準線 范圍范圍 頂點頂點 對稱軸對稱軸 e l F y xO l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） )0 , 2 ( p F )0 , 2 ( p F ) 2 , 0( p F ) 2 , 0( p F 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y x0 yR x0 yR y0 xR y 0 xR (0,0) x軸軸 y軸軸 1 30上課教育 變式變式: 頂點在坐標原點頂點在坐標原點,對稱軸是坐標軸對稱軸是坐標軸,并且過點并且過點 M(2, )的拋物線有幾條的拋物線有幾條,求它的標準方程求它的標準方程. 2 2 典型例題：典型例題： 例例1.已知拋物線關于已知拋物線關于x軸對稱，軸對稱，頂點在坐標頂點在坐標 原點原點,并且