高等數(shù)學(xué)第六版下期知識(shí)點(diǎn)超詳細(xì)整理

1、高等數(shù)學(xué)（一）教案 期末總復(fù)習(xí)第八章 向量與解析幾何向量代數(shù)兩點(diǎn)間的距離公式：方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表示向量有大小、有方向. 記作或 模向量的模記作和差 單位向量，則方向余弦設(shè)與軸的夾角分別為，則方向余弦分別為點(diǎn)乘（數(shù)量積）， 為向量a與b的夾角叉乘（向量積） 為向量a與b的夾角向量與，都垂直定理與公式垂直平行交角余弦兩向量夾角余弦投影向量在非零向量上的投影 曲面、空間曲線及其方程1、 曲面及其方程 : F(x, y, z) = 0，旋轉(zhuǎn)曲面【繞誰不換誰，正負(fù)根號(hào)里沒有誰；作圖時(shí)先畫母線然后繞其軸旋轉(zhuǎn)之】，柱面【柱面三缺一，缺誰

2、母線就平行于誰；作圖時(shí)先畫準(zhǔn)線結(jié)合母線特點(diǎn)得柱面】，二次曲面【截痕法與伸縮變形法作圖】；要熟悉常見的曲面及其方程并會(huì)作2、旋轉(zhuǎn)曲面：面上曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周：繞軸旋轉(zhuǎn)一周：1、 柱面：表示母線平行于軸，準(zhǔn)線為的柱面2、 二次曲面:橢圓錐面： 橢球面：旋轉(zhuǎn)橢球面： 單葉雙曲面：雙葉雙曲面： 橢圓拋物面：雙曲拋物面（馬鞍面）： 橢圓柱面：雙曲柱面： 拋物柱面：空間曲線及其方程:一般方程： 參數(shù)方程：如螺旋線： 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影3:曲線（曲面或空間立體）在坐標(biāo)面上的投影：投誰便消去誰平面方程與直線方程平面直線法向量 點(diǎn)方向向量 點(diǎn)方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形

3、式及特征一般式一般式點(diǎn)法式點(diǎn)向式三點(diǎn)式參數(shù)式截距式兩點(diǎn)式面面垂直線線垂直面面平行線線平行線面垂直線面平行點(diǎn)面距離 面面距離 面面夾角線線夾角線面夾角 第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一） 基本概念距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無界集。1、 多元函數(shù)：，圖形：2、 極限：3、 連續(xù)：4、 偏導(dǎo)數(shù)：5、 方向?qū)?shù)： 其中為的方向角。6、 梯度：，則。7、 全微分：設(shè)，則（二） 性質(zhì)1、 函數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，

4、最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義： 2） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t 若，則 ，3） 隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組）（三） 應(yīng)用1、 極值1） 無條件極值：求函數(shù)的極值解方程組 求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，令， 若，函數(shù)有極小值，若，函數(shù)有極大值； 若，函數(shù)沒有極值； 若，不定。2） 條件極值：求函數(shù)在條件下的極值令： Lagrange函數(shù)解方程組 2、 幾何應(yīng)用1） 曲線的切線與法平面曲線，則上一點(diǎn)（對(duì)應(yīng)參數(shù)為）處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，則上一點(diǎn)處的切平面方程為： 法線方程為：空間曲線：切向量切“線”方程：法平“面”方程：切向量切“線

5、”方程：法平“面”方程：空間曲面：法向量切平“面”方程：法“線“方程：或切平“面”方程：法“線“方程：第十章 重積分重積分積分類型計(jì)算方法典型例題二重積分平面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積（1） 利用直角坐標(biāo)系X型 Y型 P141例1、例3（2）利用極坐標(biāo)系 使用原則(1) 積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2) 被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單( 含, 為實(shí)數(shù) ) P147例5（3）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性當(dāng)D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，（關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，有類似結(jié)論）P141例2應(yīng)用該性質(zhì)更方便計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)1 畫出積分區(qū)域2 選擇坐標(biāo)系 標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為

6、坐標(biāo)軸，被積函數(shù) 關(guān)于坐標(biāo)變量易分離3 確定積分次序 原則：積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙4 確定積分限 方法：圖示法 先積一條線，后掃積分域5 計(jì)算要簡(jiǎn)便 注意：充分利用對(duì)稱性，奇偶性三重積分空間立體物的質(zhì)量質(zhì)量=密度面積(1) 利用直角坐標(biāo)投影P159例1 P160例2有先一后二和先二后一之分（2） 利用柱面坐標(biāo) 相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo) 適用范圍:積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如 旋轉(zhuǎn)體被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離.如P161例3（3）利用球面坐標(biāo) 適用范圍:積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;如，球體，錐體.被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量易分離. 如，P

7、16510-(1)（4）利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性第十一章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分類型計(jì)算方法典型例題第一類曲線積分曲形構(gòu)件的質(zhì)量質(zhì)量=線密度弧長(zhǎng)參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（1） （2） （3）P189-例1P1903平面第二類曲線積分變力沿曲線所做的功（1） 參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）P196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（轉(zhuǎn)化為二重積分）條件：L封閉，分段光滑，有向（左手法則圍成平面區(qū)域D） P，Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：應(yīng)用：P205例4P214-5(1)(4)（3）利用路徑無關(guān)定理（特殊路徑法）等價(jià)條件： 與路徑無關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)具有原函數(shù)（特殊路徑

8、法，偏積分法，湊微分法） P211-例5、例6、例7（4）兩類曲線積分的聯(lián)系空間第二類曲線積分變力沿曲線所做的功（1）參數(shù)法（轉(zhuǎn)化為定積分）（2）利用斯托克斯公式（轉(zhuǎn)化第二類曲面積分）條件：L封閉，分段光滑，有向 P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：應(yīng)用：P240-例1第一類曲面積分曲面薄片的質(zhì)量質(zhì)量=面密度面積投影法： 投影到面類似的還有投影到面和面的公式P217-例1、例2第二類曲面積分流體流向曲面一側(cè)的流量（1）投影法：，為的法向量與軸的夾角前側(cè)取“+”，；后側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角右側(cè)取“+”，；左側(cè)取“”，：，為的法向量與軸的夾角上側(cè)取“+”， ；下側(cè)取“”，P226-例2（

9、2）高斯公式 右手法則取定的側(cè)條件：封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè) P，Q，R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 結(jié)論： 應(yīng)用：P231-例1、例2（3）兩類曲面積分之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)換投影法：P228-例3所有類型的積分：定義：四步法分割、代替、求和、取極限；性質(zhì)：對(duì)積分的范圍具有可加性，具有線性性；對(duì)坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章 級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)用收斂定義，存在常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 若級(jí)數(shù)收斂,各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂. 兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂.注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散.去掉、加上或改變級(jí)數(shù)有限項(xiàng), 不改變其收斂性. 若級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變。 推論: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來級(jí)數(shù)也發(fā)散. 注：收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后未必收斂.（必要條件） 如果級(jí)數(shù)收斂, 則萊布尼茨判別法若且，則收斂則級(jí)數(shù)收斂.和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且.若收斂，則也收斂；若發(fā)散，則也發(fā)散.比較判別法比較判別法的極限形式和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則若,與同斂或同散;若,收斂,也收斂；如果，發(fā)散，也發(fā)散。比值判別法根值判別法是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，,則時(shí)收斂；()時(shí)發(fā)散；時(shí)可能收斂也可能發(fā)散.收斂性和函數(shù)展成冪級(jí)數(shù),缺項(xiàng)級(jí)數(shù)用