《誤差理論與數(shù)據(jù)處理(第7版)》費(fèi)業(yè)泰習(xí)題解答

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理 （第七 版） 習(xí)題及參考答案 第一章緒論 1- 5測得某三角塊的三個(gè)角度之和為 180。0002” ,試求測量的絕對誤差 和相對誤差 解：絕對誤差等 于：相對誤差等18000 02 180 2 于： 2 2 180 180 60 60 0.000003086410.000031% 648000 20 m，試求其最大相對誤 1-8在測量某一長度時(shí)讀數(shù)值為2.31m，其最大絕對誤差為 差。 絕對誤差max 相對誤差max 100%測得值 20 106 100% -4 2.31 8.66 IO 13多級彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過O.lkm，優(yōu)秀射 手

2、能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm的靶心，試評述哪一個(gè)射 擊精度高？ 解： 多級火箭的相對誤差為： 01 0.00001 0.001% 10000 % 110檢定2.5級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？ 中、口主某量程最大示值誤差 取大引用誤差、耐冃卄審曰1% 測重氾圍上限 2 100 100%2% 2.5% 該電壓表合格 2用兩種方法分別測量L1=50mm， L2=80mm。測得值各為50.004mm， 80.006mm。試評定兩種方法測量精度的高低。 相對誤差 L 1:50mm I1I2 L 2：80

3、mm 所以L2=80mm方法測量精度高。 I 1 50 00450 100% 0.008% 1 50 80.006 80 k100% 0.0075% 2 80 射手的相對誤差為： 1cm 0.01m 0. 0002 0.002% 50m 50m 多級火箭的射擊精度高。 其測量誤差分別為 L2=150mm。 1-14若用兩種測量方法測量某零件的長度L1 =110mm 11 m和9m ；而用第三種測量方法測量另一零件的長度 其測量誤差為12m，試比較三種測量方法精度的高低。 相對誤差 11 m h 110mm 0.01% 9m h 110mm 12 m 0. 0 08 2% h 1 50mm 0.

4、00 8% bl 2h第三種方法的測量精度最高 第二章誤差的基本性質(zhì)與處理 26測量某電路電流共5次，測得數(shù)據(jù)(單位為mA)為168.41，168.54， 168.59，168.40，168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。 168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 x 5 168.488( mA) 5 v.2 i 1 0.082(mA) 51 0.082 0.037( mA) 或然誤差：R 0.6745 x 0.6745 0.037 0.025(mA) 平均誤差：T 0.7979 x 0.7979 0.037 0.030(mA) 在立式測長儀上

5、測量某校對量具，重量測量5次，測得數(shù)據(jù)(單位為mm)為 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試 以99%的置信概率確定測量結(jié)果。 20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011 X 5 20.0015( mm) I 5-1 正態(tài)分布P=99%時(shí)，t 2.58 t lim x x 0.00025 2.58 5 0.0003( mm) 測量結(jié)果：X x iimx (20.0015 0.0003)mm 2-9用某儀器測量工件尺寸，在排除系統(tǒng)誤差的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)差0.004mm，若 要求測量結(jié)果的置信限為

6、0.005mm，當(dāng)置信概率為 99%時(shí)，試求必要的測量次數(shù)。 正態(tài)分布P=99%時(shí)，t 2.58 lim x n 2.58 0.004 2.064 0.005 n4.26 2-9用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差O =0.001 mm，若要求測量的允許 極限誤差為士 0.0015mm，而置信概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測量多少次？解：根據(jù)極限誤差 的意義，有 txt 0.0015 根據(jù)題目給定得已知條件，有 t 0.0015 n 0.001 查教材附錄表E 有 若 n =5, v = =4, a= 0.05 ，有 t =2.78 , t 2.78 2.78 n 5 2.236 1.24 若 n

7、= 4, v = 二 3, a= 0.05 ，有 t =3.18 , t 3.183.18 石 42 1.59 即要達(dá)題意要求，必須至少測量5次。 212某時(shí)某地由氣壓表得到的讀數(shù)(單位為Pa)為102523.85，102391.30， 102257.97，102124.65 101991.33，101858.01，101724.69，101591.36， 其權(quán)各為5,7,8,6,4,2,試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 8 pi Xi xi18102028.34(Pa) i1 PiVxi2 xi1886.95(Pa) (8 1) Pi 2-13測量某角度共兩次測得值為124恢6 , 22413

8、.4-,其標(biāo)準(zhǔn)差分別為1 - 2 -,試求加權(quán) 算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。 2 19044: 961 22 24 1335 19044 16” 961 4” 19044 961 19044 19044 961 3.0” 214甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角各重復(fù)測量5次，測得值如下： 甲：7 220 ,7 30 ,7 235 ,7 220 ,7215 ； 乙：7 225 ,7 225 ,7 2 20 ,7 2 50 ,7 2 45 ； 試求其測量結(jié)果。 甲：x甲7 2* 20” 60” 35” 20” 15”_ 一 - 7 2,30 V,2 i1 !-10H ) 2 ( 30 ) 2 5 2

9、 (-10”)2) 2 51 18.4” 甲 18.4 乙：X 乙 7 2 25 25“ 20“ 50” 45“ y 2,33，* 5 12：123648:6773 p甲：p乙2：28.232 6.042 ，甲 p 甲 x 甲 p 乙 x 乙 3648 30” 6773 33” 7 2*7 2,32H P甲P乙 3648 6773 P甲 8.233648 4.87 P甲P乙 3648 6773 2 16重力加速度的20次測量具有平均值為9.811m/s、標(biāo)準(zhǔn)差為 0.014m/s2 o另外30次測量具有平均值為9.802m/s2 標(biāo)準(zhǔn)差為 x 242 9.811 147 9.802 9.808

10、(m/s2) 0.014 稔 47 20 242 147 2 0.002(5 m/s2) 0.022m / s 2 。假設(shè)這兩組測量屬于同一正態(tài)總體。試求此50次測量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。 0.0142o.O222242：147 20 30 2- 19對某量進(jìn)行10次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7，15.0， 15.2，14.8，15.5， 14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。 X 14.96 按貝塞爾公式1 0.2633 10 Vi 按別捷爾斯法 2 1.253 j 1 0.2642 10(10 1) 由 2 1 u 得 u 2 1 0.0034 11

11、u 2 0.67所以測量列中無系差存在。 n1 2-18對一線圈電感測量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后6次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得 到的，測得結(jié)果如下(單位為mH): 50.82，50.83，50.87，50.89 ； 50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統(tǒng)誤差。 使用秩和檢驗(yàn)法： 排序: 序號 1 2 3 4 5 第一組 第二組 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 序號 6 7 8 9 10 第一組 50.82 50.83 50.87 50.89 第二組 50.85 T=5.5+7

12、+9+10=31.5 查表 T 14 T 30 T T所以兩組間存在系差 2- 21對某量進(jìn)行兩組測量，測得數(shù)據(jù)如下： X. 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：按照秩和檢驗(yàn)法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成 下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xi 0.62 0.86 1.13 1.

13、13 1.16 1.18 1.20 yi 0.99 1.12 1.21 T 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Xi 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 yi 1.25 1.31 1.31 1.38 T 21 22 23 24 25 26 27 28 Xi 1.57 yi 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 現(xiàn)nx= 14，ny=14，取為的數(shù)據(jù)計(jì)算T，得T= 154。由 12 a( nin2(ni n21) )詼1 -)474求出: 匸 0.1 )203 ; 12 現(xiàn)取概率2 (t) 0.95，即(t) 0.4

14、75，查教材附表1有t 1.96 o由于11，因此，可 以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間沒有系統(tǒng)誤差。 第三章誤差的合成與分配 3- 1相對測量時(shí)需用54.255mm的量塊組做標(biāo)準(zhǔn)件，量塊組由四塊量塊研合而成， 它 們的基本尺寸為h 40mm，h 12mm， *3 125mm , 14 1.005mm o經(jīng) 測量，它 們的尺 寸 偏差及其測量極限誤差分別為 h 0.7 m, 12O.5 m, h0.3 m, 140.1 m, iimh 0.35 m, limh0.25 m, iiml3 0.20 m, lim-4。試求量塊組按基本尺寸使用時(shí)的修正值及給相對測量 帶來的測量誤差。 修正值=(1訂2丨3丨4) =

15、 (0.7 0.5 0.3 0.1) =0.4 ( m) 測量誤差： I = 2lim li 2lim l2 2lim l3 2lim l4 =(0.35) 2 (0.25) 2 (0.20) 2 (0.20)2 = 0.51( m) 32為求長方體體積V，直接測量其各邊長為a 161.6mm ， b 44.5mm , c 11.2mm，已知測量的系統(tǒng)誤差為a 1.2mm， b 0.8mm c 0.5mm 測量的極限誤差為a。呎, 0.5mm, ,試求立方體的體積及其體積的極限誤差。 V abc V f (a,b,c) Vo abc 161.6 44.5 11.2 80541.44( mm3)

16、 體積v系統(tǒng)誤差V為： V be a ac b ab c 2745.744(mm3) 2745.74(mm3) 立方體體積實(shí)際大小為：V Vo V 77795.70(mm3) (a( J b( J c limV (be) 2 a (ac)2 b(ab)2 c 3729.11 (mm3) 測量體積最后結(jié)果表示為 Wo V hmv (77795.70 3729.11)mm3 34測量某電路的電流I 22.5mA，電壓U 12.6V，測量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為i ，u o-iv ,求所耗功率 P III 及其標(biāo)準(zhǔn)差 p o P Ul 12.6 22.5 283.5(mw) Pf(U,l)U、I成線性尖系 =

17、 g-Gu=1% +UJ =22.5X0.1 +12.6 0.5 cUcl 8.55(mw) 3-12按公式Vw r2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm，h約為20cm，要使體積 的相對誤差等于1%，試問r和h測量時(shí)誤差應(yīng)為多少？ 解： 若不考慮測量誤差，圓柱體積為 Vr2h 3.14 22 2 0 251.2cm3 根據(jù)題意，體積測量的相對誤差為1%，即測定體積的相對誤差為： 1% V 即V 1% 251.2 1% 2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出測定r的誤差應(yīng) 為： 1 2.51 1 w c / / 4 八 c0.007cm 2 V / r 1.41 2 hr 測定h的誤差應(yīng)為：

18、2.51 1a 1 4120.142cm 314對某一質(zhì)量進(jìn)行4次重復(fù)測量，測得數(shù)據(jù)（單位g）為428.6 ，429.2 ， 426.5 ，430.8。已知測量的已定系統(tǒng)誤差 2劃測量的各極限誤差分 量及其相應(yīng)的傳遞系數(shù)如下表所示。若各誤差均服從正態(tài)分布，試求該質(zhì)量的最可信賴 值及其極限誤差。 序號 極限誤差/g 誤差傳遞系數(shù) 隨機(jī)誤差 未定系統(tǒng)誤差 1 2.1 1 2 1.5 1 3 1.0 1 4 0.5 1 5 4.5 1 6 2.2 1.4 7 1.0 2.2 8 1.8 1 428.6 429.2 426.5 430.8 x 4 428.775( g ) 428.8(g) 最可信賴值

19、 x x 428.8 2.6 431.4(g) X(x)ei2i4()2i2 ii Xi4 ii Xi 4.9(g) 測量結(jié)果表示為:x x x (431.4 4.9)g 第四章測量不確定度 4 1某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測量得ra= (3.132 0.005) cm，試求該圓球最大截 面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99%。 解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D 2 r其標(biāo)準(zhǔn)不確定 度應(yīng)為： u Dr2 2 2 r2 4 3.1415920.0052 r =0.0314cm確定包含因子。查t分布表to.oi ( 9) = 3.25，

20、及 K= 3.25故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為： U = Ku = 3.25x0.0314 =0.102求圓球的體積的測量不確定度 43圓球體積為：V r彳 3其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為： 2 u vr2 4r22r216 3.141592 3.1324某校準(zhǔn)證書說明，標(biāo)稱值10的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻R在20 C時(shí)為 10.000742 129(P=99%)，求該電阻器的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并說明屬 于哪一類評定的不確定度。 由校準(zhǔn)證書說明給定 屬于B類評定的不確定度 R 在10.000742 129，10.000742 +129范圍內(nèi)概率為 0.0052 0.616 確定包含因子。查t分布表to.0

21、1 ( 9) = 3.25，及K= 3.25最后確定的圓球的體積的測量不 確定度為 U = Ku = 3.25 x0.616 =2.002 99%，不為 100% 不屬于均勻分布，屬于正態(tài)分布 a 129 當(dāng) p=99% 時(shí)，Kp2.58a 129 Ur 50() RKP2.58 4- 5在光學(xué)計(jì)上用52.5mm的量塊組作為標(biāo)準(zhǔn)件測量圓柱體直徑，量塊組由 三塊量塊研合而成其尺寸分別是：H 40mm 210mm， 13，量塊按“級”使用，經(jīng)查手冊得其研合誤差分別不超過 0.45m、0.30 m , 0.25m (取置信概率p=99.73%的正態(tài)分布)， 求該量塊組引起的測量不確定度。L 52.5

22、mmh 40mm hlOmm h2. 5mm LI1I2I3p 99.73% KP3 a 0.45 a 0.30 Ui 0.15( m) Ui hkp 3bkp 3 i 0.08( m) 3 kp Ul UhUhUh0.152 0.102 0.082 0.20( m) 第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理 3x y 2.9 5- 1測量方程為x 2y 0.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。 2 x 3 y 1.9 V12.9 (3 x y)誤差方程為 V2O.9 ( x 2y) v3 1.9 (2 x 3 y) X 0.962 列正規(guī)方程 n aiiaiix i1 n ai2aix i1 n

23、 y4 ai1ai2y ai 2ai2 ai1i i1代入數(shù)據(jù)得 n ai 2i 14x 5y 13.4 財(cái) 5x 14y 4.6 Vi2.9 (3 0.962 0.015) 0.001 將 x、y 代入誤差方程式 V2 0.9 (0.962 2 0.015) 0.032 Vs1.9 (2 0.962 3 0.015) 0.021 nVi2 Vi2 測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 i1 ii0.038 nt 32 14 dn 5d12 1 求解不定乘數(shù)d11吒 5dn 14di2o dai嚙 d22 14 d2i 5d22 0 5d21 14d221 m du d22 0.082 x、y的精度分別為x d

24、l1 0.01 yC)22 0 01 3 y 5.6, Pi 1 5-7不等精度測量的方程組如下：4x y 8.1, p?2 2xy 0.5, p3 3 試求x、y的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。 Vi 5.6 (x 3 y), pi 1 夕磁強(qiáng) v28.1 (4 x y ), p2 2 V3 0.5 (2 x y), p3 3 333 p aiiaiix piaiai2yp adi i 1 i 1 i 1 IE題萬保勿 3 33 Pi可2可仆Piai 2ai 2 yPiai2i i 1 i 1 i 1 代入數(shù)據(jù)得 45x y 62.2 郴 x 1.434 x 14y 31.5 y 2.352 vi 0.022 將x、y代入誤差方程可得V20.012 V3 0. 016 $ PiVi 則測量數(shù)據(jù)單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為i1 0.039 32 4