《人教A版必修2“直線與方程”解讀》

1、第4頁共6頁解析幾何教學宜及早滲透“兩化”算”思想人教A版必修2 “直線與方程”解讀解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何圖形的一門學科，屬于幾何學范疇，但是研究的方法是代數(shù)方法，這與初中平面幾何所使用的方法是很不相同的.要用代數(shù)方法研究幾何圖形，首先需要把圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式， 然后才 能用代數(shù)方法進行計算.在獲得代數(shù)結(jié)果后，還需要把代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論， 即圖形代數(shù)化，問題兩個觀念f從這個流程圖可以看出：任何一個解析幾何問題的解決都是通過 “兩化”（幾 何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化）“一算”（代數(shù)計算）實現(xiàn)的.這個“兩化”是 解析幾何的基本思想.學習中一定要深刻地去認識它、理解它，抓住了它就緊

2、緊 地抓住了解析幾何的根本.需要特別指出的是：（1）圖形問題代數(shù)化是解析幾何的核心，它是通過大數(shù)學家笛卡爾和費馬創(chuàng)造 性地提出兩個觀念（用坐標表示點的觀念和用方程表示曲線的觀念）實現(xiàn)的 .兩 個觀念的提出把古老的代數(shù)與幾何緊緊地聯(lián)系起來，使兩種數(shù)學形式根據(jù)需要可 以“互化”，這具有十分重要的意義，是數(shù)學史上具有劃時代意義的里程碑.深刻 認識和理解這兩個觀念對于學習解析幾何也是非常重要的 .（2）解析幾何中的代數(shù)計算具有明確的幾何意義.在進行代數(shù)計算時一定要“再現(xiàn)其幾何意義”，把握住這一點，將會有效地提高代數(shù)計算的水平同時，在解題 時，有時計算量是很大的，因此，樹立“優(yōu)化思路”“簡化運算”的意識

3、，并適時總結(jié)這方面的經(jīng)驗對提高解題能力也是至關(guān)重要的 案例1.傾斜角的代數(shù)化歷程教材以問題“對于平面直角坐標系內(nèi)一條直線 I，它的位置由哪些因素確定 呢？ ”開始了將幾何問題代數(shù)化的歷程.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，學生容易了解確定直線位置關(guān)系的幾何要素可以是一個點和直線的方向，當然， 兩個點也可以確定一條直線，兩個點可以確定直線的方向，這與“一個點和直線 的方向確定一條直線”是一致的所以，傾斜角是刻畫直線位置（方向）的重要 參數(shù)，探求直線的代數(shù)化的一種方式是從研究傾斜角的代數(shù)化入手定義了傾斜角之后，按照上面的流程圖：圖形問題（直線的傾斜角）弓I入正 切函數(shù)，將角度（幾何問題）代數(shù)化，其

4、代數(shù)形式是：（代數(shù)化）（幾何化）tan ： ,:k不存在,-l-yi - y2（坐標化）匸二二n k =彳 X| X2,Xi = X2,i不存在，咅=x2.案例2.關(guān)于直線方程的點斜式方程解析幾何中用坐標表示點，用方程表示曲線所以，求曲線的軌跡方程，就 是找曲線上點的坐標之間的關(guān)系式.曲線是無數(shù)個點構(gòu)成的集合，這無數(shù)個點的 坐標滿足的關(guān)系式，就是曲線的方程.可是，曲線上無窮多個點如何表示呢？看 看笛卡爾是如何處理的.在直線方程的各種形式中，點斜式處于中樞地位,是最基本的形式，也是推導其他形式的基礎(chǔ)已知直線I經(jīng)過點只（為， ），且斜率為k，求l 的直線方程.面對一個圖形（如圖），笛卡爾的做法 是

5、先研究它的幾何特征.直線的幾何特征是什么 呢？就是“直”，即如果讓一個點沿著這條直線運 動，它不會拐彎，這一特征可用哪個量來說明呢？ 在幾何上就是傾斜角不變，其代數(shù)表述就是斜率不設(shè)P x, y是直線I上異于R的任意一點（這是神來之筆），則無論點P在I上如何運動，PR的斜率都等于k （直線的幾何特征），即這就是I的初始方程（它是一個關(guān)于x, y的等式），笛卡爾就是這樣把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的(用坐標表示點，用方程表示曲線) 化簡整理，得到直線的點斜式方程： y % =k x Xj .總結(jié)一下，借助笛卡爾的坐標法，我們是如何把圖形轉(zhuǎn)化為方程的？其步驟是：(i) 設(shè)動點坐標；(ii) 找出圖形的幾何特

6、征，并列式體現(xiàn)；(iii) 代入坐標得到初始方程；(iv) 化簡整理檢驗得到曲線的方程.求曲線方程是貫穿整個解析幾何的重要內(nèi)容在這里詳細說明，對以后學習很重要案例3.兩條直線的垂直教材用兩個問題實現(xiàn)“兩化” ：“Il_l2時，ki與k2滿足什么關(guān)系？”引導將圖形問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化；由問題“kjk2 = -1時，Ii與J的位置關(guān)系如何？ ”將代數(shù)結(jié)論幾何化.代數(shù)運算的方法是“數(shù)形結(jié)合”!引導學生完成第步：畫圖(如圖)；第二步：再現(xiàn)幾何關(guān)系,90 ，第三步：代數(shù)運算tan ： 2 = tanG】90），得出 k =-1.第四步：將代數(shù)結(jié)論“翻譯”成幾何.即解析幾何中的代數(shù)計算具有明確的幾何意義.在

7、進行代數(shù)計算時一定要“再現(xiàn)其幾何意義”，把握住這一點，逐漸滲透這一點，將會有效地提高解析幾何計 算的水平.案例4.點到直線的距離公式已知點P0 Xo, yo，直線I : Ax By 0，求點P0到直線I的距離d .這是推導點到直線的距離公式.每次復習到這節(jié)內(nèi)容，筆者都要求學生自己 推導一下點到直線的距離公式.事實是絕大多數(shù)學生用的是解析法，即過點 Po作已知直線的垂線，寫出直線方程；然后與直線 I的方程聯(lián)立成方程組，解這個方程組得到交點Q的坐標；再利用兩點間的距離公式，求出點P與交點Q的距離.教材中寫得很清楚：“這種解法計算量大，計算很繁”，課上老師也反復強調(diào)這種方 法不合適，為什么還會出現(xiàn)這

8、種情況呢？究其原因，代數(shù)結(jié)論中的幾何化不清楚.在方程Ax By 0中提供了 k=-A（B = O），B豐y也為我們提供了一個角:-（如圖），P0點坐標提供的是距離Xo|和yo，如何利用角G和距離Xo、|y|求d ?很顯然，解直角三角形！如果有了這樣的分析，學生 獲得的不僅僅是方法，而且是對解析幾何解題的一個 極大啟發(fā)！案例5.逐步滲透平面向量的應用向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性 因此，向量 法和坐標法是一致的，也是研究解決解析幾何的一個有力工具 .用向量解決解析 幾何問題，不僅僅多了解決問題的一個渠道，而且使計算更簡潔更漂亮！是對“算” 的補充.如推導直線的兩點式方程：

9、已知直線I上兩點Rg,%）、巳（x2,y2），且xxyiHy?，求過這兩點的直 線I方程.解：在直線I上任取一點P x,y，則PR = .t RP =（xXi, y 人RP2 =?心2 為2），x _ Xi ；Xi =（X2 n）,X2 %jy - y_! = y2 _ y, . | y1 消去，整理得兩點式方程：7 .ax為 _ y yiX2 -xiyyi需要補充一點，注意向量的逆向使用：如：方程2x 3y - 6二 則以寫成2 x - 3 $ = 0,即向量a P.2,3與*d 4b二x -3,y的數(shù)量積，其方程就成為 2,3 * x-3,y =0，其幾何意義是ab.案例6.方程的思想與待

10、定系數(shù)法求曲線方程，是解析幾何的核心內(nèi)容之直接設(shè)出曲線方程，然后根據(jù)條件求出系數(shù)，這就是待定系數(shù)法.若知道所求曲線類型，我們可以.待定系數(shù)法的核心是列方程解方程，如何挖掘題目條件列出方程,這一思想學生在學習解析幾何之初缺少的是目標意識和解析幾何獨到的解題技巧如:已知 h：x-2y 6=0,l2：2x y-4=0,過原點引直線I交I,、l2于A、B兩點，使線段AB被原點平分，求直線I的方程.分析1:因I過原點，求出斜率k,問題就解決了 .如圖，由于l過原點，可設(shè)其方程為y二kx （未知數(shù)為k），貝U A、B的坐標分別滿足方程組:y 二 kx,x -2y 6 = 0,與yg2x y _4 二 0,

11、解之，得A 62k1$，B 22 *第6頁共6頁解之，得弓一原點是AB的中點，由中點坐標公式，得2 k 2所以，直線丨的方程為-*x.7評注：欲求k,只要構(gòu)造一個關(guān)于k的方程就行了（在解析幾何中“方程的 思想”經(jīng)常這樣運用），為此，只要求出A、B的橫坐標就夠了，因而在解方程 組時，對y,、y2運用了 “設(shè)而不解”的策略.分析2:因I過原點，再求出一個點（如點 A）的坐標，方程也能求出.丁點AT,，故可設(shè)點A為（2a-6,a）.（以下，只要建立一個關(guān)于 a的方程，解出a就可以了） 原點0是線段AB的中點, 點 B 的坐標就是(6 -2a, -a)，又點 B I2, 2 6 - 2a 亠 i a4

12、 = 0，所以k二-彳.（以下略）8（ 14 8解之，得q.所以A點坐標為.蔦,5評注：欲求點A的坐標，利用A l1 ,只用一個字母a就設(shè)出了點A的坐標. 又利用A、B關(guān)于原點對稱，用字母a又表示出點B的坐標.這種“巧設(shè)坐標” 的辦法，減少了未知數(shù)個數(shù)，也是解析幾何中“簡化計算”的手段之一A點坐標的設(shè)法以及將B點坐標代入12方程，這些都體現(xiàn)了點在直線上，它 的坐標就滿足直線的方程，這是解析幾何所獨有的方法，在今后解析幾何學習中 經(jīng)常使用“簡化計算”是數(shù)學追求的目標之一.本例提出的“設(shè)而不解” “設(shè)而不全解” “巧設(shè)坐標”都是方程思想的靈活運用.我國數(shù)學教學有以練習促理解、以技能訓練代替思維訓練的習慣很多老師和學生在解析幾何的教學、學習中也以解答大量題目為主，這種“掐頭去尾燒中 段”的作法，對學生形成全面數(shù)學理解沒好處 而解析幾何是一門“方