【高考數(shù)學(xué)考點沖刺】專題03++函數(shù)性質(zhì)靈活應(yīng)用【理科】(教師版)

1、 專題 03 函數(shù)性質(zhì)靈活應(yīng)用一陷阱描述1.概念類陷阱，包括直接用兩個特值就證明函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的開閉、單調(diào)區(qū)間使用“ ”符號等幾點內(nèi)容，要深刻理解這幾個概念的內(nèi)涵。（1）利用兩個特值證明單調(diào)性。函數(shù)單調(diào)性是指在函數(shù)定義域的某個區(qū)間上任意取兩個值且，若則函數(shù) 是增函數(shù)；若 則函數(shù) 是減函數(shù)。（2）單調(diào)區(qū)間的開閉。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，如果在端點處有定義為閉，如果在端點處沒有定義為開。（3）單調(diào)區(qū)間使用“ ”符號。函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有多個時，不能用“ ”符號，只能用“和”“，”連接。分類討論陷阱，含參數(shù)的討論問題。在處理含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性問題時，討論時要做到不重不漏。隱含條件陷阱，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2、必須在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)討論。等價轉(zhuǎn)化陷阱，分段函數(shù)的連接點。在處理分段函數(shù)單調(diào)性時，注意連接點函數(shù)值。迷惑性陷阱，函數(shù)的主變元問題。給出含 和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范圍求的范圍時，往往是把那個字母作為自變量。2.定義域限制陷阱3.特殊的函數(shù)值問題4.利用性質(zhì)解決抽象函數(shù)問題5.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性周期性的聯(lián)合應(yīng)用6.函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)綜合7.數(shù)形結(jié)合求參數(shù)8.恒成立求參數(shù)9 .單調(diào)性求參數(shù)，區(qū)間的開閉（概念類）10. 分段函數(shù)的連接點（等價轉(zhuǎn)化）11.主變元問題（迷惑性）二陷阱例題分析及訓(xùn)練（一）函數(shù)圖象問題2例 1函數(shù) f(x)lnx x 的圖像大致是() abcd【答案】b【

3、點評】由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)練習(xí) 1【湖南省長沙市一中 2019 屆高三高考模擬】如圖，有一直角墻角、兩邊的長度足夠長，若p 處有一棵樹與兩墻的距離分別是 4m 和 am(0a12)，不考慮樹的粗細(xì).先用 16m 長的籬笆，借助墻角圍成一個矩2形花圃 abcd，設(shè)此矩形花圃的最大面積為 u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u=f（a）（單位：）m的圖象大致是()abcd【答案】c【解析】設(shè)

4、 ad 長為 ，則cd長為，又因為要將 p 點圍在矩形abcd內(nèi)，a x 12，x16- x( )16- x則矩形 abcd的面積為 x，當(dāng)0 a 8時，當(dāng)且僅當(dāng)x = 8時，u = 648 a 1時，由 g x 在2,4上單調(diào)遞增，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的，且a( ) 2 0g( )4 0( )a 1，當(dāng)0 a 1時，由 g x在定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的單調(diào)性可得 g，解得1 22a g 2 02,4 上單調(diào)遞減，可得 g 4 0，解得a，綜上可得a 1，故選 b.142a考點：1、對數(shù)函數(shù)的定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的單調(diào)性；2、不等式的解法.【方法】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域

5、、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，屬于難題.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷可以綜合考查兩個函數(shù)的單調(diào)性，因此也是命題的熱點，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要注意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數(shù)的的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減”的含義（增增 增，減減 增，增減 減，減增 減）.練習(xí) 1.【河南省名校聯(lián)盟 2019 屆高三年級 11 月調(diào)研】已知定義在 r 上的函數(shù) f（x）的圖象關(guān)于 y 軸對稱，且函數(shù) f（x）在（，0上單調(diào)遞減，則不等式f（x）f（2x1）的解集為a （， ）（1，）b（，1）（ ，）d（1， ）c（ ，1）【答案】a【分析】函數(shù)圖像關(guān)于 軸對稱，故

6、函數(shù)在不等式.上遞增，由此得到上單調(diào)遞增，兩邊平方后可解得這個【解析】依題意，函數(shù)是偶函數(shù)，且在故，故選 a.【點評】本小題主要考查函數(shù)的對稱性，考查函數(shù)的單調(diào)性以及絕對值不等式的解法，屬于中檔題.4.利用性質(zhì)解決抽象函數(shù)問題例 4【2019 山東模擬】給出下列說法：集合與集合是相等集合；若函數(shù)f(x)的定義域為0,2 ，則函數(shù) f(2 x)的定義域為0,4 ；1y函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；x2m不存在實數(shù) ，使為奇函數(shù)； (1) = 2若，且 f，則.其中正確說法的序號是（）a【答案】dbcd(x) 定義域為0,2,【解析】中 a集合與 b集合都表示所有奇數(shù)組成的集合，是相等集合.中若函數(shù) f由1

7、2x 0,2 x 0,1得f (2x) 0,1y =， 故 錯 誤 . 函 數(shù)即 函 數(shù)的 定 義 域 為的 單 調(diào) 減 區(qū) 間 是x2故錯誤.函數(shù)的定義域為 r，若函數(shù)為奇函數(shù)，則不會是奇函數(shù)，故錯誤.若矛盾，所以對任意實數(shù) m,函數(shù)則所以滿足，故正確.選 d.練習(xí) 1已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，且當(dāng)時，.（1）求的值；為單調(diào)增函數(shù)；（2）證明：（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0（2）見解析（3）最小值為2，最大值為 3【解析】（1）利用賦值法進(jìn)行求的值；在（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷上的單調(diào)性，并證明（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，并利用賦值法可得函數(shù)的最值試題解析：（1）函數(shù)

8、 （ ）滿足 （ ）=f（ ）+ （ ），f xf x xxf x1212令 = =1，則 （1）= （1）+ （1），解得 （1）=0x xffff12（2）證明：（2）設(shè) ， （0，+），且 ，則x x x x1，1212 （f）0， f（x ）f（x ）=f（x）f（x =f x +f） （ ） （）f（x ）=f（）0，122222即 f（x ）f（x ），12f（x）在（0，+）上的是增函數(shù)（3）f（x）在（0，+）上的是增函數(shù)，則 f（ ）+f（ ）=f（ ）=2，若即 f（ 5）=f（1）=f（ ）+f（5）=0，即 f（5）=1，則 f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）

9、+f（25）=f（125）=3，即 f（x）在上的最小值為2，最大值為 3【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，以及抽象函數(shù)的求值，其中利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，而利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和單調(diào)性的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵練習(xí) 2已知函數(shù)f(x)是定義在 上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實數(shù)x ，y 滿足：r，考查下列結(jié)論：f(1)=1；f(x)為奇函數(shù)；數(shù)列a nb 為等差數(shù)列；數(shù)列為等比數(shù)列。n以上命題正確的是【答案】f(x)x = y =1，得 （f 1）= 0，【解析】因為對定義域內(nèi)任意 ， y ，滿足，令x= y = -1，得 （f -1）= 0；令y = -1，有，代入（f

10、 -1）= 0得故錯誤；令x( )f 2n，故 （f x）是（-，+ ）上的奇函數(shù)故正確；若a (n n*)，則2nn為常數(shù)，a （為等差數(shù)列，故正確； f 2）= 2 ，=，當(dāng) x y 時，故數(shù)列n ，則，則，若，則 為常數(shù)，則數(shù)列為等比數(shù)列， 故正確，故答案bn為：【方法點晴】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如，它的原型就是y = kx ；可通過賦特殊值法使問題得以解決，在該題中結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義，

11、結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵.5.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性周期性的聯(lián)合應(yīng)用( ) ( )f x = x 0,1xr例 5. 已知函數(shù) f x 的定義域為 的奇函數(shù)，當(dāng) x時，3 ，且，r則（ ）18180-a.b.c.d. 1【答案】b( )【解析】 f x 的定義域為 的奇函數(shù)，即，r把 x 換成 x-2，可得：，又，故函數(shù)周期為 t=4，又 ( )f x = x3 ， 0,1，當(dāng) x時，18 ( )【防陷阱措施】抽象函數(shù)的周期性：（1）若，則函數(shù) f x 周期為 t；( )（2）若（3）若，則 f x 函數(shù)周期為2a，則函數(shù)的周期為；2a.（4）若，則函數(shù)的周期為( )( )(

12、)-2,2 0,2練習(xí) 1. 已知偶函數(shù) f x 與奇函數(shù) g x 的定義域都是，它們在上的圖象如圖所示，則使關(guān)于x 的不等式成立的 x 的取值范圍為（）a.b.d.c.【答案】c( )( )( )f x 0，【解析】如圖所示：當(dāng)0 x 0 g x 0，；當(dāng)1 x 0，( )( )( )，故當(dāng) x 0時，其解集為 1, 2 ， y = f x 是偶函數(shù)， y = g x 是奇函( ) ( )( )-1,0，綜上：不等式 g x 是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的對稱性可得：當(dāng)x c ba b cb c ab a ca.b.c.d.【答案】a ( )練習(xí) 3 .已知 f x 是定義在 上的偶函數(shù)，并且，當(dāng)2

13、x 3時，r( )2017.5則 f的值為_.【答案】3( )【解析】由，得，所以 f x 是周期為 4的周期函數(shù).( )又 f x 是定義在 上的偶函數(shù)，所以.r所以.6.函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)綜合例 6【2018 雅安模擬】已知函數(shù)，實數(shù) ， 滿足 m n 0 ，若mn x m ，n ，使得b 2 3成立，則 - 的最大值為（n m）1a4c.4 3d2 5【答案】ag x( )1 時 ， ( ) 0 ，【 解 析 】， 則 當(dāng) 0 x 1 時 ， g x.，作函數(shù) =( )的圖象如圖所示，當(dāng) ( )= 2 時，方程兩根y f x f x( )分別為 -5 和 -1，則 - 的最大值為-1- -5

14、 = 4 .故選 a.n m 考點：函數(shù)的圖象和性質(zhì).【方法點晴】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定方程根的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié) 合導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.在(-，+ )練習(xí) 1若三次函數(shù)上是減函數(shù)，則m 的取值范圍是（）( )( )-，0-，1acbd( -，0( -，1【答案】a【解析】試題分

15、析：因為三次函數(shù)在(-，+ )上是減函數(shù)，所以有，得故選 a.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.練習(xí) 2已知函數(shù)，若對任意的，且 時，x x12a，則實數(shù) 的取值范圍為（ ）a b c e2e2e2e2e2e2- ,4 4- ,- ,3 3- , d e e222 2【答案】b【解析】由題意得 y 1,2( ) 1,2( )= f xa 0f x在上單調(diào)遞增 ;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增 ,所以由 ( )f x 0;當(dāng) a時,由,因此實 數(shù) 的 取 值 范 圍 為a的 單 調(diào) 增 區(qū) 間 為, 所 以 由; 綜 上e2e2- ,選 b.2 2( )練習(xí) 3設(shè)函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)），定義在 上的連續(xù)函數(shù) f x 滿足：r( )f x x，若存在 0，且當(dāng) x時，使得，則實數(shù) 的取值范圍為（a）1b(-,e+ 2-, +eacd2【答案】b( )-,0上【解析】設(shè)，則，故函數(shù)是區(qū)間的 單調(diào)遞減函數(shù)，又；，則函數(shù)(-,+)上的單調(diào)遞減函數(shù)；由題設(shè)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是區(qū)間( -,1在中可得：，所以問題轉(zhuǎn)化為，則( -,1= e + 2x上有解，即a在上有解，令，故x( -,1在上答單調(diào)遞增，則，應(yīng)選答案 b。點睛：解答本題的關(guān)鍵是對題意的理解，求解時先構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，然后將問題進(jìn)行