2020年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：拋物線

1、 2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：拋物線第 7 講 拋物線1拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) f 的距離與到定直線 l 的距離相等(3)定點(diǎn)不在定直線上2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(p0)(p0)(p0)(p0)p 的幾何意義：焦點(diǎn) f 到準(zhǔn)線 l 的距離圖形頂點(diǎn)o(0，0)y0x0焦點(diǎn)e1xx22方程y0，xry0，xr范圍x0，yrx0，yr開口方向向右向左|pf|pf|pf|pf|x y 200000y )0常用知識(shí)拓展與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 1 頁(yè) 共 13 頁(yè) (以圖為依據(jù))設(shè) a(x ，y

2、 )，b(x ，y )1122p24(1)y y p ，x x .21 21 22p(2)|ab|x x p(為 ab 的傾斜角)sin 122112(3)為定值 .|af| |bf|p(4)以 ab 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(5)以 af 或 bf 為直徑的圓與 y 軸相切判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) f 和一條定直線 l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切()(3)若一拋物線過點(diǎn) p(2，3)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為 y 2px(p0)()2(4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形()答案：(1) (2)

3、 (3) (4)14(教材習(xí)題改編)拋物線 y x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()2a(0，1)c(1，0)b(0，1)d(1，0)14p2解析：選 a.拋物線 y x2 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24y，開口向下，p2， 1，故焦點(diǎn)為(0，1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)p(4，2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()ay xbx 8y22cy 8x 或 x ydy x 或 x 8y2222解析：選 d.設(shè)拋物線為 y2mx，代入點(diǎn) p(4，2)，解得 m1，則拋物線方程為y2x；設(shè)拋物線為 x2ny，代入點(diǎn) p(4，2)，解 得 n8，則拋物線方程為 x28y.(2018高考北京卷)已知直線 l 過點(diǎn)(1，0)且垂直于

4、 x 軸若 l 被拋物線 y 4ax 截得2的線段長(zhǎng)為 4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：由題意知，a0，對(duì)于 y24ax，當(dāng) x1 時(shí)，y2 a，由于 l 被拋物線 y24ax截得的線段長(zhǎng)為 4，所以 4 a4，所以 a1，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)答案：(1，0)設(shè)拋物線 y28x 上一點(diǎn) p 到 y 軸的距離是 4，則點(diǎn) p 到該拋物線焦點(diǎn)的距離是_2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 2 頁(yè) 共 13 頁(yè) 解析：如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線 l 的方程為 x2，f 是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn) p 作 pay軸，垂足是 a，延長(zhǎng) pa 交直線 l 于點(diǎn) b，則|ab|2，由于點(diǎn) p 到 y 軸的

5、距離為 4，則點(diǎn) p到準(zhǔn)線 l 的距離|pb|426，所以點(diǎn) p 到焦點(diǎn)的距離|pf|pb|6.答案：6拋物線的定義(典例遷移)(1)已知拋物線 y 2px(p0)上一點(diǎn) m 到焦點(diǎn) f 的距離等于 2p，則直線 mf 的斜2率為()33b3a4c1d 3(2)設(shè) p 是拋物線 y 4x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，f 為拋物線的焦點(diǎn)，若 b(3，2)，則|pb|pf|2的最小值為_p p2【解析】 (1)設(shè) m(x，y)，由題意知 f ，0 ，由拋物線的定義，可知 2 ，故xpx23p23p23p23p0 3，當(dāng) m 3p ，由 y22p ，知 y 3p.當(dāng) m ， 3p 時(shí) ，k mf， 3p23p p

6、2 2 3p03p p時(shí)，k mf 3，故 k 3.故選 d.mf2 2(2)如圖，過點(diǎn) b 作 bq 垂直準(zhǔn)線于點(diǎn) q，交拋物線于點(diǎn) p ，則|p q|p f|.111則有|pb|pf|p b|p q|bq|4.11即|pb|pf|的最小值為 4.2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 3 頁(yè) 共 13 頁(yè) 【答案】 (1)d (2)4遷移探究 1 (變條件)若將本例(2)中的 b 點(diǎn)坐標(biāo)改為(3，4)，試求|pb|pf|的最小值解：由題意可知點(diǎn)(3，4)在拋物線的外部因?yàn)閨pb|pf|的最小值即為 b，f 兩點(diǎn)間的距離，所以|pb|pf|bf| 4222 1642 5，即|pb|pf|的最小

7、值為 2 5.遷移探究 2 (變條件)若將本例(2)中的 b 點(diǎn)坐標(biāo)改為(0，3)，試求|pb|pf|的最小值解：拋物線 y24x 的焦點(diǎn)為 f(1，0)，求點(diǎn) p 到點(diǎn)(0，3)的距離與點(diǎn) p 到焦點(diǎn) f 的距離之和的最小值，結(jié)合圖形不難得出相應(yīng)的最小值就等于焦點(diǎn)f 到點(diǎn)(0，3)的距離因此所求的最小值等于 1232 10.拋物線定義的應(yīng)用(1)利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”p2p2(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn) p(x，y)到焦點(diǎn) f 的距離|pf|x| 或|pf|y| .321已知拋物線 c：y

8、 x 的焦點(diǎn)為 f，a(x ，y )是 c 上一點(diǎn)，|af| x ，則 x ()20000112a.4b.c1d214解析：選 b.由題意知拋物線的準(zhǔn)線為 x ，3214因?yàn)閨af| x ，根據(jù)拋物線的定義可得 x 003212|af| x ，解得 x .002已知 f 是拋物線 y x 的焦點(diǎn)，a，b 是該拋物線上的兩點(diǎn)，且|af|bf|3，則線2段 ab 的中點(diǎn)到 y 軸的距離為()3a.4b157c.4d.4解析：選 c.如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 l，ab 的中點(diǎn)為 m，作 aa l 于 a ，bb l 于 b ，mm l 于 m ，1111111由拋物線的定義知 p ，|aa |bb

9、 |af|bf|3，2112020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 4 頁(yè) 共 13 頁(yè) p 1則點(diǎn) m 到 y 軸的距離為|mm | (|aa |bb |) .故選 c.2 2 4 41 5111拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)(師生共研)(1)(2019哈爾濱模擬)過點(diǎn) f(0，3)且和直線 y30 相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()ay 12xby 12x22cx 12ydx 12y22(2)以拋物線 c 的頂點(diǎn)為圓心的圓交 c 于 a、b 兩點(diǎn)，交 c 的準(zhǔn)線于 d、e 兩點(diǎn)已知|ab|4 2，|de|2 5，則 c 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()a2c6b4d8(3)(2019東北四市模擬)若點(diǎn) p 為拋物

10、線 y2x 上的動(dòng)點(diǎn)，f 為拋物線的焦點(diǎn)，則|pf|2的最小值為()12a2b.118c.4d.【解析】 (1)由拋物線的定義知，過點(diǎn) f(0，3)且和直線 y30 相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn) f(0，3)為焦點(diǎn)，直線 y3 為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為 x212y.(2)由題意，不妨設(shè)拋物線方程為 y 2px(p0)，由|ab|4 2，|de|2 5，可取24p216p2 2p，2 2 ， ， 5 ，設(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，由| | |，得 8 5，得 4，故a dooa odp4p選 b.1211 28(3)由題意知 x y，則 f 0， ，設(shè) ( ，2 )，則|pf|p xxx 2 2 x2202

11、08001216418184x x 2x ，所以當(dāng) x 0 時(shí)，|pf| .40202020min【答案】 (1)d (2)b (3)d(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法先定位：根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置；再定形：即根據(jù)條件求 p.(2)拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程；要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 5 頁(yè) 共 13 頁(yè) 1已知拋物線 c 與雙曲線 x y 1 有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線 c 的方22程是()ay 2 2xby 2x22cy 4xdy 4 2x22解析：選 d.因?yàn)殡p

12、曲線的焦點(diǎn)為( 2，0)，( 2，0)p2設(shè)拋物線方程為 y22px(p0)，則 2，所以 p2 2，所以拋物線方程為y24 2x.2(2019沈陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè)(一)已知正三角形 aob(o 為坐標(biāo)原點(diǎn))的頂點(diǎn) a，b 在拋物線 y23x 上，則aob 的邊長(zhǎng)是_ 3 1 解析：如圖，設(shè)aob 的邊長(zhǎng)為 a，則 aa， ，因?yàn)辄c(diǎn) a 在拋物線 y23x 上，所a221432以 a23 a，所以 a6 3.答案：6 3直線與拋物線的位置關(guān)系(師生共研)x24(2017高考全國(guó)卷)設(shè) a，b 為曲線 c：y 上兩點(diǎn)，a 與 b 的橫坐標(biāo)之和為 4.(1)求直線 ab 的斜率；(2)設(shè) m 為曲線 c

13、上一點(diǎn)，c 在 m 處的切線與直線 ab 平行，且 ambm，求直線 ab的方程x2x2【解】 (1)設(shè) a(x ，y )，b(x ，y )，則 x x ，y 1，y 2，x x 4，441122121212y y x x于是直線 ab 的斜率 k 12 121.4x x12x24x2(2)由 y ，得 y .x設(shè) m(x ，y )，由題設(shè)知 31，233解得 x 2，于是 m(2，1)3設(shè)直線 ab 的方程為 yxm，故線段 ab 的中點(diǎn)為 n(2，2m)，|mn|m1|.2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 6 頁(yè) 共 13 頁(yè) 2x將 yxm 代入 y 得 x24x4m0.4當(dāng) 16(m

14、1)0，即 m1 時(shí)，x 22 m1.，1 2從而|ab| 2|x x |4 2（m1）.12由題設(shè)知|ab|2|mn|，即 4 2（m1）2(m1)，解得 m7.所以直線 ab 的方程為 yx7.解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|ab|x |x |p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式12(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用 “設(shè)而不求”“整體代入”等解法注意 涉及弦的中點(diǎn)

15、、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解231(2018高考全國(guó)卷)設(shè)拋物線 c：y 4x 的焦點(diǎn)為 f，過點(diǎn)(2，0)且斜率為 的直2 線與 c 交于 m，n 兩點(diǎn)，則fmfn()a5c7b6d823y (x2)，2323解析：選 d.法一：過點(diǎn)(2，0)且斜率為 的直線的方程為 y (x2)，由24xy1， x4，x得 x25x40，解 得 x1 或 x4，所 以或y4，不妨設(shè) m(1，2)，n(4，4)，2y 易知 f(1，0)，所以fm(0，2)，fn(3，4)，所以fmfn8.故選 d.23y (x2)，2323法二：過點(diǎn)(2，0)且斜率為 的直線的方程為 y (x2)，由得 x224xy5x

16、40，設(shè) m(x ，y )，n(x ，y )，則 y 0，y 0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得 x x 5，11221212 x x 4.易知 f(1，0)，所以fm(x 1，y )，fn(x 1，y )，所以fmfn(x 1)(x1 21122121)y y x x (x x )14 x x 45188.故選 d.1 21 2121 22已知拋物線 y 16x 的焦點(diǎn)為 f，過 f 作一條直線交拋物線于 a，b 兩點(diǎn)，若|af|6，2則|bf|_2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 7 頁(yè) 共 13 頁(yè) p解析：不妨設(shè) a(x ，y )，b(x ，y )(a 在 b 上方)，根據(jù)焦半徑公式|af|

17、x x 421122116，所以 x 2，y 4 2，所以直線 ab 的斜率為 k4 22 2，所以直線方程為 y24112 2(x4)，與拋物線方程聯(lián)立得 x 10x160，即(x2)(x8)0，所以 x 8，故|bf|228412.答案：12基礎(chǔ)題組練1拋物線 yax (a0)的準(zhǔn)線方程是()2114aay2aby11cy2ady4a114a解析：選 b.拋物線 yax2(a0)上一點(diǎn)，f 為 c 的焦點(diǎn)，mf 的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2，22)，則 p 的值為()a1c3b2d4p p p解析：選 d.由題意得 f ，0 ，那么 4 ，4 在拋物線上，即 162 4 ，即p2mp2228p160，

18、解得 p4.3(2019四川成都檢測(cè))已知拋物線 c：y 4x 的焦點(diǎn)為 f，點(diǎn) a(0， 3)若線段 fa2與拋物線 c 相交于點(diǎn) m，則|mf|()453a.3b.d.233c.3解析：選 a.由題意，f(1，0)，|af|2，設(shè)|mf|d，則 m 到準(zhǔn)線的距離為 d，m 的橫d1 2d坐標(biāo)為 d1，由三角形相似，可得43，所以 d ，故選 a.124直線 l 過拋物線 y 2px(p0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于 a，b 兩點(diǎn)，若線段 ab 的長(zhǎng)2是 8，ab 的中點(diǎn)到 y 軸的距離是 2，則此拋物線方程是()ay 12xby 8x22cy 6xdy 4x22解析：選 b.設(shè) a(x ，y

19、)，b(x ，y )，根據(jù)拋物線定義，11222020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 8 頁(yè) 共 13 頁(yè) x x p8，12x x因?yàn)?ab 的中點(diǎn)到 y 軸的距離是 2，所以 122，2所以 p4；所以拋物線方程為 y28x.故選 b.22x y3 35拋物線 x 2py(p0)的焦點(diǎn)為 f，其準(zhǔn)線與雙曲線 1 相交于 a，b 兩點(diǎn)，若2abf 為等邊三角形，則 p_ 3pab解析：在等邊三角形 abf 中，ab 邊上的高為 p， p，所以 b 33p， .2232p p23 4又因?yàn)辄c(diǎn) b 在雙曲線上，故 1，解得 p6.3 3答案：66(2019云南大理州模擬)在直角坐標(biāo)系 xoy 中，

20、有一定點(diǎn) m(1，2)，若線段 om 的垂直平分線過拋物線 x22py(p0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_解析：依題意可得線段 om 的垂直平分線的方程為 2x4y50，52 p把焦點(diǎn)坐標(biāo) 0， 代入可求得 ，p254所以準(zhǔn)線方程為 y .答案：y547頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的拋物線截直線 y2x4 所得的弦長(zhǎng)|ab|3 5，求此拋物線方程解：設(shè)所求的拋物線方程為 y2ax(a0)，a(x ，y )，b(x ，y )，把直線 y2x4 代入1122y ax2 ，得 4x2(a16)x160，由 (a16)22560，得 a0 或 a0)的焦點(diǎn)為 f，a 是拋物線上橫坐標(biāo)為 4，且位于

21、 x 軸上方的22020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 9 頁(yè) 共 13 頁(yè) 點(diǎn)，a 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于 5，過 a 作 ab 垂直于 y 軸，垂足為 b，ob 的中點(diǎn)為 m.(1)求拋物線的方程；(2)若過 m 作 mnfa，垂足為 n，求點(diǎn) n 的坐標(biāo)p2解：(1)拋物線 y22px 的準(zhǔn)線為 x ，p2于是 4 5，所以 p2.所以拋物線方程為 y24x.(2)因?yàn)辄c(diǎn) a 的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得 b(0，4)，m(0，2)43又因?yàn)?f(1，0)，所以 k ，fa34因?yàn)?mnfa，所以 k .mn43所以 fa 的方程為 y (x1)，34mn 的方程為 y2 x，聯(lián)立，854

22、5解得 x ，y ，8 4所以 n 的坐標(biāo)為 ， .5 5綜合題組練1已知拋物線 x 4y 上一動(dòng)點(diǎn) p 到 x 軸的距離為 d ，到直線 l：xy40 的距離為21d ，則 d d 的最小值是()2125 525 22a.2b.115 225 2c.2d.2解析：選 d.拋物線 x24y 的焦點(diǎn) f(0，1)，由拋物線的定義可得 d |pf|1，則 d 115 5 2d |pf|d 1，而|pf|d 的最小值等于焦點(diǎn)f 到直線l 的距離，即(|pf|d ) ，22222 min25 22所以 d d 的最小值是1.122(綜合型)(2019湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研)過拋物線 c：y 2px(p0

23、)的焦點(diǎn) f，且斜率2為 3的直線交 c 于點(diǎn) m(m 在 x 軸上方)，l 為 c 的準(zhǔn)線，點(diǎn) n 在 l 上且 mnl，若|nf|4，則 m 到直線 nf 的距離為()a. 5b2 3d2 2c3 32020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 10 頁(yè) 共 13 頁(yè) 解析：選 b.法一：因?yàn)橹本€ mf 的斜率為 3，mnl，所以nmf60，又|mf|mn|，且|nf|4，所以nmf 是邊長(zhǎng)為 4 的等邊三角形，所以 m 到直線 nf 的距離為 2 3.故選b.33p22 33法二：由題意可得直線 mf 的方程為 x y ，與拋物線方程聯(lián)立消去 x 可得 y2333p2pyp20，解 得 y p或

24、 y 3p，又點(diǎn) m 在 x 軸上方，所以 m ， 3p ，因 為 mnl， pp p2nf所以 n ， 3p ，所以| | （0 3p）22p.由題意 2p4，解得 p2，2 22所以 n(1，2 3)，f(1，0)，直線 nf 的方程為 3xy 30，且點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(3，2 3)，|3 32 3 3|利用點(diǎn)到直線的距離公式可得 m 到直線 nf 的距離為2 3.故選 b.3133p22 33法三：由題意可得直線 mf 的方程為 x y ，與拋物線方程聯(lián)立消去 x 可得 y2333p2pyp20，解 得 y p或 y 3p，又點(diǎn) m 在 x 軸上方，所以 m ， 3p ，因 為 mnl，

25、 pp p2nf所以 n ， 3p ，所以| | （0 3p）22p.由題意 2p4，解得 p2，2 22所以 n(1，2 3)，f(1，0)，m(3，2 3)，設(shè) m 到直線 nf 的距離為 d，在mnf 中，s121214 |nf|d |mn|y ，所以 d 42 32 3，故選 b.mnfm3(應(yīng)用型)如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬 4 m水位下降 1 m 后，水面寬_m.解析： 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，則 a(2，2)，將其坐標(biāo)代入 x 2py，得 p1.2所以 x22y.當(dāng)水面下降 1 m，得 d(x ，3)(x

26、 0)，將其坐標(biāo)代入 x22y，00得 x26，所以 x 6.00所以水面寬|cd|2 6 m.答案：2 64已知拋物線 c：y 2px(p0)的焦點(diǎn)為 f，直線 y4 與 c 的交點(diǎn)為 p，與 y 軸的交232點(diǎn)為 q，且|pf| |pq|，則拋物線 c 的方程為_88p2解析：設(shè) p(x ，4)將 點(diǎn) p 的坐標(biāo)代入 y22px(p0)，得 x ，所以|pq| ，|pf| 00 pp8p 8 3 82 p 2 p.由題意得 .又 p0，解得 p2 2.所以拋物線 c 的方程為 y 4 2x.2p2020 年高考文科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 11 頁(yè) 共 13 頁(yè) 答案：y24 2x5(2018高考全國(guó)卷)設(shè)拋物線 c：y 4x 的焦點(diǎn)為 f，過 f 且斜率為 k(k0)的直線2l 與 c 交于 a，b 兩點(diǎn)，|ab|8.(1)求 l 的方程；(2)求過點(diǎn) a，b 且與 c 的準(zhǔn)線相