1.5-函數(shù)的奇偶性和周期性-2

1、 函數(shù)的奇偶性和周期性 知識梳理 1 函數(shù)的奇偶性的定義： 對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個 x，都有f( x) f(x)或f( x) f(x) 0丨， 則稱f(x)為奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。 對于函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)任意一個 x，都有f ( x) f (x)或f( x) f (x) 0，則 稱f (x)為偶函數(shù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱。 通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性具有奇偶性的函數(shù)，其定義域原點關(guān)于對稱(也 就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱) 1. 函數(shù)的周期性命定義： 對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù) T ,使得定義域內(nèi)的每一個x值，

2、都滿足 f (x T) f (x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T叫做這個函數(shù)的周期。 重、難點突破 重點：函數(shù)的奇偶性和周期性，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用 難點：函數(shù)的奇偶性的判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用 重難點：1函數(shù)的奇偶性的判斷：可以利用奇偶函數(shù)的定義判斷或者利用定義的等價形式 f( x) f(x) f( x) f(x) 0 f( x) f (x) 1( f (x)0)，也可以利用函數(shù)圖象的對 稱性去判斷函數(shù)的奇偶性注意若f (x)0 ,則f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，若 f (x) m(m 0),則f(x)是偶函數(shù)；若f (x)

3、是奇函數(shù)且在x 0處有定義，貝U f(0) 0 若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)有f( m) f(m)，則可以斷定f(x)不是偶函數(shù)，同樣，若在函 數(shù)f (x)的定義域內(nèi)有f ( m) f (m)，則可以斷定f (x)不是奇函數(shù)。 2. 奇偶函數(shù)圖象的對稱性 (1) 若 y f (a x)是偶函數(shù)，則 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) f (x)的 圖象關(guān)于直線x a對稱； (2) 若 y f(b x)是偶函數(shù)，則 f(b x) f (b x) f (2b x) f (x) f (x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱; 3函數(shù)的周期性周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利，抽象函數(shù)的

4、周期性是高考熱點，主要 難點是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情況： (1)函數(shù)值之和等于零型，即函數(shù) f (a x) f(b x) 0(a b) 對于定義域中任意 x滿足f(a x) f(b x) 0(a b)，則有 fx (2b2a) f(x), 故函數(shù)f(x)的周期是T 2(b a) (2)函數(shù)圖象有x a , x b(a b)兩條對稱軸型 函數(shù)圖象有x a， x b(a b)兩條對稱軸，即f (a x) f (a x)， f(b x) f (b x)，從而得 f x (2b2a) f (x)， 故函數(shù)f(x)的周期是T 2(b a) (3) 兩個函數(shù)值之積等于1，即函數(shù)值互為倒數(shù)或負(fù)倒數(shù)

5、型 若 f (x a) f(x b) 1(a b)，則得 f(x 2a) f (x2a)(2b2a)，所以函數(shù) f (x) 的周期是T 2b 2a ；同理若f(x a) f(x b) 1(a b)，則f(x)的周期是 T 2(b a) (4) 分式遞推型，即函數(shù) f(x)滿足f(x a) 1一(a b) 1 f(x b) 1 f (x b)1 由 f (x a)(a b)得 f (x 2a)，進(jìn)而得 1 f (x b)f(x 2b) f (x 2a) f (x 2b)1，由前面的結(jié)論得 f (x)的周期是T 4(b a) 熱點考點題型探析 考點1判斷函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用 題型1 ：判斷有解析式

6、的函數(shù)的奇偶性 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1) f (x) =|x+1| - |x-1|; (2) f ( x) = (x- 1) 1- 1 x (3) f (x) 2 x |x 2| 2 (4) f(x) x(1 x)(x0), x(1x)(x0). 思路點撥判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)依照定義解決，但都要先考查函數(shù)的定義域。 解析(1)函數(shù)的定義域 x( 8, +8),對稱于原點. 由1x 1, 4. 從而有f (x) (x) 的定義域為1, 0) U( 0, 1 ,關(guān)于原點對稱，且有 x+20. 1 x21x2 x 2 2= x f (-x) = 、1 x2 x =f ( x) / f ( x

7、) =| x+1|x 1| = |x 1| |x+1|= (|x+1| |x 1|) = f ( x), f (x) =|x+1| |x 1|是奇函數(shù). 1 x (2) 先確定函數(shù)的定義域由 0,得1 $v 1，其定義域不對稱于原點，所以f (x)既 1 x 不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) (3) 去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷. 2 x 0,得 1 x 2| 20, x 0且x 故f ( x)為奇函數(shù). (4)v函數(shù)f (x)的定義域是(一汽0)U( 0, +8),并且當(dāng)x0時，一xv 0, f ( x) = ( x) 1 ( x) = x (1+x) = f (x) (x0). 當(dāng) xv 0 時，一

8、x0,. f ( x) = x (1 x) = f (x) (xv0). 故函數(shù)f (x)為奇函數(shù). 【名師指引】01函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì)，定義域具有對稱性 (即若奇函數(shù)或偶 函數(shù)的定義域為D,則x D時x D)是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件 分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式. 題型2:證明抽象函數(shù)的奇偶性 例2(11年山東梁山)定義在區(qū)間 (1,1)上的函數(shù)f (x)滿足：對任意的x, y ( 1,1), 都有 f(x) f(y)f(). 1 xy 求證f (x)為奇函數(shù)； 思路點撥欲證明f (x)為奇函數(shù)，就要證明f( x)f(x

9、)，但這是抽象函數(shù)，應(yīng)設(shè)法充 x y 分利用條件“對任意的 x,y ( 1,1)，都有f(x) f(y) f( )”中的x,y進(jìn)行合理 1 xy “賦值” 解析令x = y = 0,則 0 0 f (0) + f (0) = f ()f(0) 1 0 f (0) = 0 令 x ( 1, 1) x ( 1, 1) x x - f (x) + f ( x) = f (2 ) = f (0) = 0 1 x2 f ( x) = f (x) f (x)在(1 , 1)上為奇函數(shù) 【名師指弓I】對于抽象函數(shù)的奇偶性問題，解決的關(guān)鍵是巧妙進(jìn)行“賦值”，而抽象函數(shù)的不 等式問題，要靈活利用已知條件，尤其是

10、 f(X1) f (x2) = f(X1) + f ( X2) x21 x a為奇函數(shù)，則a 新題導(dǎo)練 1.( 11廣東電白一中)設(shè)函數(shù) f x 解析0 ；由函數(shù)f x x21 x a為奇函數(shù)得到f 00，即021 0 a 0 所以a 0 2.(高州中學(xué)11屆訓(xùn)練題)已知函數(shù) f(x) ax2 bx 3a b是定義域為a 1,2a的偶函 數(shù)，則a b的值是() 1 A. 0; B. ; C. 1; D.1 3 解析B;由函數(shù)f(x) ax2 bx 3a b是定義域為a 1,2a的偶函數(shù)得b 0 ,并且 1口 a 1 2a，即 a ，所以a b的值是0 3 3定義兩種運算: a ba2 b2 ,

11、 a b . (a b)2，則 f (x) 2 x (x 2) 2 是函數(shù)，(填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四個中的一個) 解析倚；依a b 、-a2 b2 禾口 a b , (a b)2 得 f(x) 4 x2 ,(x 2)22 2 x ，其定義域為2,0) 2 (0,2,所以 f(x) (2 x) 2 f (x)是奇函數(shù) 4.已知函數(shù)f (x) 2 . ax 1 ,. c (a、b、c bx c Z)是奇函數(shù)，又 f (1)2 , f (2)3，求 a、b、c 的值. 解析a 1, b 1, c 0 ；由 f ( x) = f (x),得一bx+c=( bx+c). 4a 1 c=0 ,由

12、f (1) =2，得 a+1=2b,由 f (2)v 3,得 竺一1 v 3, a 1 1 解得1 v av 2又 a Z, a=0 或 a=1.若 a=0，貝U b=，與 b Z 矛盾. a=1, b=1, c=0. 2 考點2函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用 例3 (普寧市城東中學(xué)11 ) 已知奇函數(shù)f (x)是定義在(2,2)上的減函數(shù)，若 f (m 1) f (2m1)0,求實數(shù)m的取值范圍。 思路點撥欲求m的取值范圍，就要建立關(guān)于m的不等式，可見，只有從 f (m 1) f(2m 1) 0出發(fā)，所以應(yīng)該利用 f(x)的奇偶性和單調(diào)性將外衣“f ”脫去。 解析Q f(x)是定義在(2,2)

13、上奇函數(shù) 對任意x ( 2,2)有f x f x 由條件 f(m 1) f (2m 1)0得 f (m 1) f (2m 1)= f (1 2m) Q f (x)是定義在(2,2)上減函數(shù) 12 21 2m m 12，解得 m 2 3 12 實數(shù)m的取值范圍是-m 2 23 【名師指引】禾U用函數(shù)的奇偶性可以求對稱區(qū)間上的函數(shù)的表達(dá)式 例4設(shè)函數(shù)f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a2 1 2 2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=( )a 3a 1的單調(diào)遞減區(qū)間 2 思路點撥欲由f(2a2+a+1)f(3a2 2a+1)求a的取值范

14、圍，就要設(shè)法利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性。 1 2 而函數(shù)丫=(丄廠3a 1是一個復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法解決 2 解析設(shè)0X1X2,則X2 X10,T f(x)在區(qū)間(8 ,0內(nèi)單調(diào)遞增， f( X2)f( X1),T f(x)為偶函數(shù)， f( X2)=f(X2),f( X1)=f(X1), 二 f(X2)f(X1). f(x)在(0 , +8內(nèi)單調(diào)遞減. 21 2721 22 又2aa 12(a -)-0,3a2a 13(a -)-0. 4833 由 f(2a2+a+1)3a2 2a+1.解之，得 0a3. 3 5 又 a2 3a+1=(a - )2- 24 1 23 函數(shù)y

15、=(丄)a 3a 1的單調(diào)減區(qū)間是二 ) 3 x 0 時, 2 2 5(普寧市城東中學(xué) 11屆高三模擬)若 f(x)是奇函數(shù)，且在 0,內(nèi)是增函數(shù), 又 f (3) 0 ,則 xf(x) 0的解集是() A. x 3 x 0或 x 3； B.x x3或 0 X 3 C.x X 3或 x 3; D.X 3 x 0或0 X $ 解析D； 因為f (x)在 0, 內(nèi)是增函數(shù)， f(3) 0 ,所以當(dāng)0 x 3時，f (x)0 ;當(dāng) 結(jié)合0a3，得函數(shù)y=( - )a2 3a 1的單調(diào)遞減區(qū)間為-,3). 2 2 【名師指引】偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反，而奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱 的兩個

16、區(qū)間上的單調(diào)性相同。 新題導(dǎo)練 x 3時，f(x) 0,又因f (x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，所以當(dāng) f(x) 0 ；當(dāng) x 3 時，f(x) 0,可見 xf(x) 0 的解集是x 3 x 0或 0 x 3 6. (2010天津改編)在R上定義的函數(shù)f x是奇函數(shù)，且fx f 2 x，若fx在區(qū)間 1,2是減函數(shù)，則函數(shù) f x () A.在區(qū)間 3, 2上是增函數(shù)，區(qū)間 3,4上是增函數(shù) B.在區(qū)間 3, 2上是增函數(shù)，區(qū)間 3,4上是減函數(shù) C.在區(qū)間 3, 2上是減函數(shù)，區(qū)間 0,1上是增函數(shù) D.在區(qū)間 2, 1上是減函數(shù)，區(qū)間 3,4上是減函數(shù) 解析C；由fx f 2 x知fx

17、的圖象關(guān)于直線 x 1對稱，由f x在區(qū)間1,2是減函 數(shù)知f x在區(qū)間0,1是增函數(shù)，又由f x f 2 x及f x是奇函數(shù)，得到 f x 2f2 (x 2) f( x) f (x)，進(jìn)而得 f x 4 f (x)，所以 f x 是以 4 為 周期的函數(shù)，故f x在 3, 2上是減函數(shù)。 7.(普寧市城東中學(xué)11屆高三模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期4，且 x 0,2 時, 3x f(x)廠。求f(x)在 2,2上的解析式 解析f (x) 3x x ,0 x 2, 9x 1 0,x 2,0,2, 3x 莎 1,2 當(dāng)2 x 0時, 2, f( x) 3x 9 x 1 3x 9x

18、1 又f (x)為奇函數(shù), f(x) f( x) 3x 當(dāng)x 0時，由f ( 0) f (0) f (0) 0Q f (x)有最小正周期4, f( 2) f( 2 4) f (2) f( 2) f (2)0 3x 怎,0 x 2, 9x 1 綜上，f (x)0,x 2,0,2, 3x -,2x0 9x 1 考點3函數(shù)奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用 例5 ( 11年惠州第三次調(diào)研考)已知定義在 R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x 2) f (x) 1對 于x R恒成立，且f(x) 0,則f(119) 思路點撥欲求f(119)，應(yīng)該尋找f(x)的一個起點值，發(fā)現(xiàn)f(x)的周期性 1 解析由 f (x 2)

19、f (x)1 得到 f (x 2)-，從而得 f (x 4) f (x)，可見 f (x) f (x) 是以4為周期的函數(shù)，從而f(119)f(4 29 3)f(3)， 1 又由已知等式得f(3) f(1) 又由f(x)是R上的偶函數(shù)得f(1) f( 1) 又在已知等式中令x 1得f(1) f( 1)1,即f(1)1 所以 f(119)1 【名師指引】近年將函數(shù)的奇偶性、周期性綜合在一起考查逐步成為一個熱點，解決問題的 關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性(奇偶性)。 新題導(dǎo)練 由 f X 2 f(x) 1得 f x 2，進(jìn)而得 f x 4 f (x) 5 f(x) 所以f 5 f( 54) f( 1) 1

20、 1 1 f( 1 2)f(1) 5 備選例題： (11年廣東)設(shè)函數(shù) f (x)在( ,)上滿足f (2 x) f(2 x), f(7 x) f(7 x)，且在閉區(qū)間0,7上，只 有 f(1)f(3)0. (I)試判斷函數(shù) y f (x)的奇偶性； (n)試求方程f(x) 0在閉區(qū)間2005,2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論 解析 (I)方法一：若 f (x)是偶函數(shù)，則 f( x) f2 (x 2)f2 (x 2)f(4 x) f(x) 于是有f(7)f(4 3) f (3)0，這與在閉區(qū)間0,7上，只有f (1) f (3)0.矛盾 故f (x)不是偶函數(shù)； 若f(x)是奇函數(shù)，則f

21、(0) f( 0) f (0)0，這與在閉區(qū)間0,7上，只有 f (1) f (3)0.矛盾，故若f (x)不是奇函數(shù) 所以f(x)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù) 方法二：因為在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)f(3)0故f(0)0,艮卩f (x)不是奇函數(shù) 又由f(2 x) f (2 x)知，f ( 1) f (5)，而 f (5)0,所以 f ( 1)0，又 f (1)0. 所以f( 1) f (1)，可見f (x)不是偶函數(shù) 所以f(x)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù) (n)方法一：因為 f(x) f2 (x 2)f2 (x 2) f (4 x) f(x) f7 (x 7)f7 (x 7)f(14 x) 所以 f(14 x) f (4 x)，即 f10(4x) f (4 x) 所以 f(10 x) f(x)，即 f(x) f(x 10n)(n Z) 又f(1) f (3)0.，所以x 10n 1和x 1