【畢業(yè)論文】數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機的分析

1、【畢業(yè)論文】數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機的分析 標(biāo)題數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機的分析 作者聶代祥 關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)危機悖論數(shù)學(xué)悖論社會政治學(xué)術(shù)氛圍 指導(dǎo)老師劉萍 專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 正文1引言數(shù)學(xué)史不僅僅是單純的數(shù)學(xué)成就的編年記錄數(shù)學(xué)的發(fā)展決不是一帆風(fēng)順的在更多的情況下是充滿猶豫徘徊要經(jīng)歷艱難曲折甚至?xí)媾R危機數(shù)學(xué)史也是數(shù)學(xué)家們克服困難和戰(zhàn)勝危機的斗爭記錄無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)微積分和非歐集合的創(chuàng)立乃至費馬大定理的證明這樣的例子在數(shù)學(xué)史上不勝枚舉它們可以幫助人們了解數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真實過程而這種過程在通常的教科書中是以定理到定理的形式被包裝起來的對這種創(chuàng)作的過程的了解則可以使我們從前人的探索與奮斗中汲取教益獲得鼓舞和增強信心

2、1數(shù)學(xué)的發(fā)展在不同的時期先后經(jīng)歷了三次危機很多學(xué)者都對這三次危機或其中一次進行了研究蘇發(fā)慧先生敘述了數(shù)學(xué)史發(fā)生的三次危機及解決情況并對這幾次危機闡述了自己的看法2蘭林世先生就數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生與悖論悖論及其根源以及悖論對數(shù)學(xué)的科學(xué)的影響提出了一些看法5周金才從數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動力的角度敘述了數(shù)學(xué)史上的三次危機對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動6張奠宙先生就第三次數(shù)學(xué)危機所引起的邏輯主義直覺主義形式主義之間的論戰(zhàn)進行了說明10受文獻25610的啟發(fā)本文試圖對數(shù)學(xué)史上的三次危機進行更全面的分析2數(shù)學(xué)史上三次數(shù)學(xué)危機及其解決情況21第一次數(shù)學(xué)危機及其解決情況畢達哥拉斯學(xué)派認為宇宙萬物皆依賴于整數(shù)的信條由于不可通約量的發(fā)現(xiàn)而

3、受到了動搖據(jù)柏拉圖記載后來有發(fā)現(xiàn)了除以外的其他一些無理數(shù)這些怪物深深困惑古希臘的數(shù)學(xué)家希臘數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這一邏輯困難史稱第一次數(shù)學(xué)危機早在公元前5世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)界占統(tǒng)治地位的是畢達哥拉斯學(xué)派其創(chuàng)立者畢達哥拉斯pythagoras of samos是著名的哲學(xué)家數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)上他提出任意兩條線段的比為整數(shù)或整數(shù)的比也就是說任意兩條線段都是可通約的在哲學(xué)上他提出萬物皆數(shù)的論斷認為宇宙的本質(zhì)在于數(shù)的和諧所謂數(shù)的和諧即指一切事物和現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)的比誰能料到多年以后他用百年大祭來慶賀自己獲得的數(shù)學(xué)上的一個重大發(fā)現(xiàn)勾股定理卻把他推向了進退兩難的尷尬境地2然而畢達哥拉斯學(xué)派后來卻發(fā)現(xiàn)并不是任意兩條線段

4、都是可通約的存在著不可通約的線段例如邊長為1的正方形的對角線與邊長這兩條線段就不是可通約的也就是說這兩條線段長度的比不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)而是一個無限不循環(huán)的小數(shù)現(xiàn)在我們知道這個數(shù)是這是人類歷史上誕生的第一個無理數(shù)它的誕生是數(shù)學(xué)史的重要里程碑然而畢達哥拉斯學(xué)派對這個發(fā)現(xiàn)卻沒有任何歡喜鼓舞他們陷入了極度的焦躁不安和郁郁寡歡中困擾他們的有以下兩個方面的原因首先對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)這是一次致命的打擊因為畢氏學(xué)派比例的定義假定了任何兩個同類量是可通約的所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都有局限在可通約的量上其次這個發(fā)現(xiàn)對當(dāng)時所有人的觀念都有極大的沖擊直接導(dǎo)致了人們認識上的危機大約一個世紀(jì)以后數(shù)學(xué)家歐多

5、克斯eudoxus建立了一套完整的比例論從而巧妙的暫時解決了畢達哥拉斯體系的問題十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家哈密頓hamilton梅雷me lay戴德金dedekind海涅heine波雷爾borel康托爾cantor和維爾斯特拉斯weietstrass等正式研究了無理數(shù)給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義提出了一個含有有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類實數(shù)并建立了完整的實數(shù)理論這樣就完全消除了第一次數(shù)學(xué)危機322第二次數(shù)學(xué)危機及其解決情況17世紀(jì)下半葉牛頓isaac newton萊布尼茲gleibniz各自獨立的創(chuàng)立了微積分理論體系在近一二百年的時間里微積分一直缺乏一個嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)它的一些基本概念的表述上還有某些混亂和自相矛盾之

6、處因為牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分時都使用了實在無窮小這一概念這種無窮小在同一問題的討論中有時作為0有時又異于0人們感到很神秘稱之為神秘的微積分英國大主教伯克萊gberkeley抓住當(dāng)時微積分無窮小方法中一些說不清楚的和不合邏輯的問題嘲弄無窮小是逝去的量的鬼魂他認為微積分是依靠雙重的錯誤得到了正確的結(jié)果說微積分的推導(dǎo)是分明的詭辯出現(xiàn)了伯克萊悖論同時微積分也受到一些長期習(xí)慣于初等數(shù)學(xué)傳統(tǒng)觀念數(shù)學(xué)家們的猛烈反對羅爾rolle曾說微積分是巧妙的謬論的匯集偉大的革命導(dǎo)師恩格斯friedrich engels也說無窮小的消失是暴力的鎮(zhèn)壓1718世紀(jì)關(guān)于微積分基礎(chǔ)發(fā)生的激烈爭論在數(shù)學(xué)史上被稱為第二次數(shù)學(xué)危機1

7、經(jīng)過歐拉euler拉格朗日lagrange等人的努力微積分取得了一些進展為徹底解決微積分的基礎(chǔ)問題從19世紀(jì)開始柯西a-l cauchy維爾斯特拉斯等人進行了微積分理論的嚴(yán)格化工作微積分內(nèi)在的根本矛盾就是怎樣用數(shù)學(xué)的和邏輯的方法來表現(xiàn)無窮小從而表現(xiàn)與無窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì)在解決使無窮小數(shù)學(xué)化的問題上出現(xiàn)了洛必達公理一個量增加或減少與之相比是無窮小的另一個量則可認為它保持不變而柯西采用的方法刻畫無窮小把無窮小定義為以0為極限的變量沿用到今無窮小被極限代替了后來維爾斯特拉斯又把它明確化給出了極限的嚴(yán)格定義建立了極限理論這樣就使微積分建立在極限基礎(chǔ)之上了后來又在考查極限理論的基礎(chǔ)中經(jīng)過戴德金康

8、托爾海涅維爾斯特拉斯等人的努力產(chǎn)生了實數(shù)理論在考查實數(shù)理論的基礎(chǔ)時康托爾又創(chuàng)立了集合論這樣有了極限理論實數(shù)理論和集合論三大理論后微積分才算建立在比較穩(wěn)固和完美的基礎(chǔ)之上從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭論局面423第三次數(shù)學(xué)危機及其解決情況一波未平又起一波前兩次數(shù)學(xué)危機解決后不到三十年又卷起了第三次數(shù)學(xué)危機的軒然大波十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初德國數(shù)學(xué)家康托爾cantor1845-1918創(chuàng)立了集合論初衷是為整個數(shù)學(xué)大廈奠定牢實的基礎(chǔ)正當(dāng)人們?yōu)榧险摰恼Q生感到欣然自慰時一串串?dāng)?shù)學(xué)悖論卻冒了出來攪得數(shù)學(xué)家心里忐忑不安其中英國數(shù)學(xué)家羅素russell18721970于1901年提出的羅素悖論影響最大它導(dǎo)致了第三

9、次數(shù)學(xué)危機羅素構(gòu)造了一個集合也就是說把一切不以自身為元素的集合x作為元素這樣的集合記為b羅素問道b是否屬于b回答試試看若即b是b的元素則b應(yīng)滿足集合b中的元素的條件于是有若則以符合集合b的元素的條件于是又有真奇怪無論哪種情況都使我們陷于自相矛盾進退兩難的尷尬境地羅素悖論的出現(xiàn)震撼了整個數(shù)學(xué)界怎么樣從根本上消除集合論中出現(xiàn)的各種悖論包括羅素悖論呢德國數(shù)學(xué)家策梅羅zermelo1871-1953認為適當(dāng)?shù)墓眢w系可以限制的集合的概念從邏輯上保證集合的純粹性1904年策梅羅明確敘述的選擇公理解決了康托爾在無限集上的顯然結(jié)果他給出集合的公理化有利于解決羅素所提出的各種悖論經(jīng)策梅羅弗蘭克爾comnkel

10、等人的努力形成了一個完整的集合論公理體系稱為zfc系統(tǒng)在zfc系統(tǒng)中集合和屬于是兩個不加定義的原始概念另外還有七條公理對于公理的相容性1938年左右哥德爾成功表明了zfc系統(tǒng)是相對相容的1963年科恩paul cohen證明了選擇公理和連續(xù)系統(tǒng)都獨立于zfc系統(tǒng)到此為止羅素悖論得以消除第三次數(shù)學(xué)危機也隨之銷聲匿跡3數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的原因-悖論悖論一詞源于希臘文意為無路可走轉(zhuǎn)義為四處碰壁無法解決的問題實際上是一種特殊的邏輯矛盾它是這樣一種命題假設(shè)該命題為真則可以推出它為假反之假設(shè)該命題為假則又可推出它為真數(shù)學(xué)科學(xué)歷來被視為是嚴(yán)格和諧精確的典型學(xué)科但是數(shù)學(xué)的發(fā)展從來不是直線式的它的體系并不是永遠和諧的

11、而常常出現(xiàn)悖論特別是一些重要悖論的產(chǎn)生自然引起人們對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑以及對數(shù)學(xué)可靠性信仰的動搖數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機皆是因數(shù)學(xué)悖論產(chǎn)生的悖論雖然看似荒誕但卻在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生過重要影響一些著名的悖論曾使高明的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家為之震驚并引起人們長期艱難而深入的思考可以說悖論的研究對促進數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展是立過汗馬功勞的第一次數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生于公元前五世紀(jì)因不可通約量的發(fā)現(xiàn)所出現(xiàn)的畢達哥拉斯悖論當(dāng)時畢達哥拉斯學(xué)派重視自然及社會中的不變因素的研究把幾何算術(shù)天文音樂稱為四藝在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性他們認為宇宙中的一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)及整數(shù)之比畢達哥拉斯學(xué)派的重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的

12、斜邊不能表示成為整數(shù)及整數(shù)之比這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條導(dǎo)致了當(dāng)時認識上的危機并對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大的沖擊第二次數(shù)學(xué)危機由無窮小量引發(fā)的人類在計算一些不規(guī)則的圖形等時首次發(fā)現(xiàn)無窮小與很小很小的量的矛盾因古希臘的歐多克斯引入量的觀點來考慮連續(xù)變動的東西并完全依據(jù)幾何來嚴(yán)格處理連續(xù)量這造成數(shù)與量的完全脫離古希臘的數(shù)學(xué)除了整數(shù)之外并沒有無理數(shù)的概念連有理數(shù)的運算也沒有可是卻有量的比例但他們對連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣對此芝諾zeno of elea提出的四個著名的悖論兩分法阿基里斯飛箭運動場盡管我們憑直覺很容易否定芝諾悖論的結(jié)論但是芝諾所揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的芝諾悖論的論戰(zhàn)貫穿了整個歷

13、史它的思想引發(fā)了諸多學(xué)者的反思甚至以后的數(shù)學(xué)家在處理無窮小或無窮小概念也必須對其假定進行斟酌從某種程度上芝諾悖論的出現(xiàn)預(yù)言了兩千年后將會圍繞微積分的出現(xiàn)而爆發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機這也說明當(dāng)時希臘人已看到無窮小與很小很小的矛盾當(dāng)然在那時他們無法解決這些矛盾前面所提到的伯克萊悖論進一步促進了第二次數(shù)學(xué)危機的爆發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的到現(xiàn)在雖然已超過一個多世紀(jì)但從整體來看還沒有解決到令人滿意的程度這次危機是由于康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的由于集合的概念已滲透眾多的數(shù)學(xué)分支并且集合論在實際上已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然引起對數(shù)學(xué)的整個結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑189

14、7年意大利數(shù)學(xué)家布拉里-福蒂cburali-forti揭示了集合論的第一個悖論兩年后康托又發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論這兩個悖論只涉及到集合論中的結(jié)果并沒有引起當(dāng)時數(shù)學(xué)家的重視但羅素brussell于1901年的5月發(fā)現(xiàn)的悖論它除了集合本身外不需別的概念它導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機導(dǎo)致了一場關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大論戰(zhàn)5總之悖論會不斷出現(xiàn)我們應(yīng)該通過對歷史的回顧和總結(jié)來提出對各種悖論的認識悖論是科學(xué)問題的重要來源是引導(dǎo)人們向未知領(lǐng)域探索的向?qū)覀儜?yīng)該自覺地應(yīng)用悖論方法通過不斷的發(fā)現(xiàn)悖論和提出新的悖論通過發(fā)現(xiàn)和揭露原有的理論體系中的邏輯矛盾的形成原理概念的缺陷來促進數(shù)學(xué)的發(fā)展4數(shù)學(xué)危機產(chǎn)生的影響41數(shù)學(xué)危機對當(dāng)時的社會政治學(xué)術(shù)氣氛的影響數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開一定的社會政治歷史條件當(dāng)然數(shù)學(xué)的發(fā)展與當(dāng)時的社會政治和在該時期的學(xué)術(shù)氣氛有關(guān)一般來說新的先進的社會制度促進數(shù)學(xué)的發(fā)展在特定的社會制度下統(tǒng)治階級的利益制約著數(shù)學(xué)發(fā)展的方向和速度統(tǒng)治階級利益對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響主要是通過科學(xué)政策表現(xiàn)出來好的學(xué)術(shù)氣氛能調(diào)動數(shù)學(xué)工作者的積極性和創(chuàng)造性去進行數(shù)學(xué)