【畢業(yè)論文】數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)的分析

1、【畢業(yè)論文】數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)的分析 標(biāo)題數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)的分析 作者聶代祥 關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)危機(jī)悖論數(shù)學(xué)悖論社會(huì)政治學(xué)術(shù)氛圍 指導(dǎo)老師劉萍 專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 正文1引言數(shù)學(xué)史不僅僅是單純的數(shù)學(xué)成就的編年記錄數(shù)學(xué)的發(fā)展決不是一帆風(fēng)順的在更多的情況下是充滿猶豫徘徊要經(jīng)歷艱難曲折甚至?xí)媾R危機(jī)數(shù)學(xué)史也是數(shù)學(xué)家們克服困難和戰(zhàn)勝危機(jī)的斗爭(zhēng)記錄無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)微積分和非歐集合的創(chuàng)立乃至費(fèi)馬大定理的證明這樣的例子在數(shù)學(xué)史上不勝枚舉它們可以幫助人們了解數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真實(shí)過(guò)程而這種過(guò)程在通常的教科書(shū)中是以定理到定理的形式被包裝起來(lái)的對(duì)這種創(chuàng)作的過(guò)程的了解則可以使我們從前人的探索與奮斗中汲取教益獲得鼓舞和增強(qiáng)信心

2、1數(shù)學(xué)的發(fā)展在不同的時(shí)期先后經(jīng)歷了三次危機(jī)很多學(xué)者都對(duì)這三次危機(jī)或其中一次進(jìn)行了研究蘇發(fā)慧先生敘述了數(shù)學(xué)史發(fā)生的三次危機(jī)及解決情況并對(duì)這幾次危機(jī)闡述了自己的看法2蘭林世先生就數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生與悖論悖論及其根源以及悖論對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)的影響提出了一些看法5周金才從數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動(dòng)力的角度敘述了數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)6張奠宙先生就第三次數(shù)學(xué)危機(jī)所引起的邏輯主義直覺(jué)主義形式主義之間的論戰(zhàn)進(jìn)行了說(shuō)明10受文獻(xiàn)25610的啟發(fā)本文試圖對(duì)數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)進(jìn)行更全面的分析2數(shù)學(xué)史上三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其解決情況21第一次數(shù)學(xué)危機(jī)及其解決情況畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為宇宙萬(wàn)物皆依賴于整數(shù)的信條由于不可通約量的發(fā)現(xiàn)而

3、受到了動(dòng)搖據(jù)柏拉圖記載后來(lái)有發(fā)現(xiàn)了除以外的其他一些無(wú)理數(shù)這些怪物深深困惑古希臘的數(shù)學(xué)家希臘數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這一邏輯困難史稱第一次數(shù)學(xué)危機(jī)早在公元前5世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)界占統(tǒng)治地位的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派其創(chuàng)立者畢達(dá)哥拉斯pythagoras of samos是著名的哲學(xué)家數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)上他提出任意兩條線段的比為整數(shù)或整數(shù)的比也就是說(shuō)任意兩條線段都是可通約的在哲學(xué)上他提出萬(wàn)物皆數(shù)的論斷認(rèn)為宇宙的本質(zhì)在于數(shù)的和諧所謂數(shù)的和諧即指一切事物和現(xiàn)象都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)的比誰(shuí)能料到多年以后他用百年大祭來(lái)慶賀自己獲得的數(shù)學(xué)上的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)勾股定理卻把他推向了進(jìn)退兩難的尷尬境地2然而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后來(lái)卻發(fā)現(xiàn)并不是任意兩條線段

4、都是可通約的存在著不可通約的線段例如邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)這兩條線段就不是可通約的也就是說(shuō)這兩條線段長(zhǎng)度的比不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)而是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)現(xiàn)在我們知道這個(gè)數(shù)是這是人類歷史上誕生的第一個(gè)無(wú)理數(shù)它的誕生是數(shù)學(xué)史的重要里程碑然而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)這個(gè)發(fā)現(xiàn)卻沒(méi)有任何歡喜鼓舞他們陷入了極度的焦躁不安和郁郁寡歡中困擾他們的有以下兩個(gè)方面的原因首先對(duì)于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)這是一次致命的打擊因?yàn)楫吺蠈W(xué)派比例的定義假定了任何兩個(gè)同類量是可通約的所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都有局限在可通約的量上其次這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)當(dāng)時(shí)所有人的觀念都有極大的沖擊直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)大約一個(gè)世紀(jì)以后數(shù)學(xué)家歐多

5、克斯eudoxus建立了一套完整的比例論從而巧妙的暫時(shí)解決了畢達(dá)哥拉斯體系的問(wèn)題十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家哈密頓hamilton梅雷me lay戴德金dedekind海涅heine波雷爾borel康托爾cantor和維爾斯特拉斯weietstrass等正式研究了無(wú)理數(shù)給出了無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格定義提出了一個(gè)含有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的新的數(shù)類實(shí)數(shù)并建立了完整的實(shí)數(shù)理論這樣就完全消除了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)322第二次數(shù)學(xué)危機(jī)及其解決情況17世紀(jì)下半葉牛頓isaac newton萊布尼茲gleibniz各自獨(dú)立的創(chuàng)立了微積分理論體系在近一二百年的時(shí)間里微積分一直缺乏一個(gè)嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)它的一些基本概念的表述上還有某些混亂和自相矛盾之

6、處因?yàn)榕ｎD和萊布尼茲發(fā)明微積分時(shí)都使用了實(shí)在無(wú)窮小這一概念這種無(wú)窮小在同一問(wèn)題的討論中有時(shí)作為0有時(shí)又異于0人們感到很神秘稱之為神秘的微積分英國(guó)大主教伯克萊gberkeley抓住當(dāng)時(shí)微積分無(wú)窮小方法中一些說(shuō)不清楚的和不合邏輯的問(wèn)題嘲弄無(wú)窮小是逝去的量的鬼魂他認(rèn)為微積分是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了正確的結(jié)果說(shuō)微積分的推導(dǎo)是分明的詭辯出現(xiàn)了伯克萊悖論同時(shí)微積分也受到一些長(zhǎng)期習(xí)慣于初等數(shù)學(xué)傳統(tǒng)觀念數(shù)學(xué)家們的猛烈反對(duì)羅爾rolle曾說(shuō)微積分是巧妙的謬論的匯集偉大的革命導(dǎo)師恩格斯friedrich engels也說(shuō)無(wú)窮小的消失是暴力的鎮(zhèn)壓1718世紀(jì)關(guān)于微積分基礎(chǔ)發(fā)生的激烈爭(zhēng)論在數(shù)學(xué)史上被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)1

7、經(jīng)過(guò)歐拉euler拉格朗日l(shuí)agrange等人的努力微積分取得了一些進(jìn)展為徹底解決微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題從19世紀(jì)開(kāi)始柯西a-l cauchy維爾斯特拉斯等人進(jìn)行了微積分理論的嚴(yán)格化工作微積分內(nèi)在的根本矛盾就是怎樣用數(shù)學(xué)的和邏輯的方法來(lái)表現(xiàn)無(wú)窮小從而表現(xiàn)與無(wú)窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì)在解決使無(wú)窮小數(shù)學(xué)化的問(wèn)題上出現(xiàn)了洛必達(dá)公理一個(gè)量增加或減少與之相比是無(wú)窮小的另一個(gè)量則可認(rèn)為它保持不變而柯西采用的方法刻畫(huà)無(wú)窮小把無(wú)窮小定義為以0為極限的變量沿用到今無(wú)窮小被極限代替了后來(lái)維爾斯特拉斯又把它明確化給出了極限的嚴(yán)格定義建立了極限理論這樣就使微積分建立在極限基礎(chǔ)之上了后來(lái)又在考查極限理論的基礎(chǔ)中經(jīng)過(guò)戴德金康

8、托爾海涅維爾斯特拉斯等人的努力產(chǎn)生了實(shí)數(shù)理論在考查實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)時(shí)康托爾又創(chuàng)立了集合論這樣有了極限理論實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論后微積分才算建立在比較穩(wěn)固和完美的基礎(chǔ)之上從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭(zhēng)論局面423第三次數(shù)學(xué)危機(jī)及其解決情況一波未平又起一波前兩次數(shù)學(xué)危機(jī)解決后不到三十年又卷起了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的軒然大波十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾cantor1845-1918創(chuàng)立了集合論初衷是為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈奠定牢實(shí)的基礎(chǔ)正當(dāng)人們?yōu)榧险摰恼Q生感到欣然自慰時(shí)一串串?dāng)?shù)學(xué)悖論卻冒了出來(lái)攪得數(shù)學(xué)家心里忐忑不安其中英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素russell18721970于1901年提出的羅素悖論影響最大它導(dǎo)致了第三

9、次數(shù)學(xué)危機(jī)羅素構(gòu)造了一個(gè)集合也就是說(shuō)把一切不以自身為元素的集合x(chóng)作為元素這樣的集合記為b羅素問(wèn)道b是否屬于b回答試試看若即b是b的元素則b應(yīng)滿足集合b中的元素的條件于是有若則以符合集合b的元素的條件于是又有真奇怪無(wú)論哪種情況都使我們陷于自相矛盾進(jìn)退兩難的尷尬境地羅素悖論的出現(xiàn)震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界怎么樣從根本上消除集合論中出現(xiàn)的各種悖論包括羅素悖論呢德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅zermelo1871-1953認(rèn)為適當(dāng)?shù)墓眢w系可以限制的集合的概念從邏輯上保證集合的純粹性1904年策梅羅明確敘述的選擇公理解決了康托爾在無(wú)限集上的顯然結(jié)果他給出集合的公理化有利于解決羅素所提出的各種悖論經(jīng)策梅羅弗蘭克爾comnkel

10、等人的努力形成了一個(gè)完整的集合論公理體系稱為zfc系統(tǒng)在zfc系統(tǒng)中集合和屬于是兩個(gè)不加定義的原始概念另外還有七條公理對(duì)于公理的相容性1938年左右哥德?tīng)柍晒Ρ砻髁藌fc系統(tǒng)是相對(duì)相容的1963年科恩paul cohen證明了選擇公理和連續(xù)系統(tǒng)都獨(dú)立于zfc系統(tǒng)到此為止羅素悖論得以消除第三次數(shù)學(xué)危機(jī)也隨之銷聲匿跡3數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的原因-悖論悖論一詞源于希臘文意為無(wú)路可走轉(zhuǎn)義為四處碰壁無(wú)法解決的問(wèn)題實(shí)際上是一種特殊的邏輯矛盾它是這樣一種命題假設(shè)該命題為真則可以推出它為假反之假設(shè)該命題為假則又可推出它為真數(shù)學(xué)科學(xué)歷來(lái)被視為是嚴(yán)格和諧精確的典型學(xué)科但是數(shù)學(xué)的發(fā)展從來(lái)不是直線式的它的體系并不是永遠(yuǎn)和諧的

11、而常常出現(xiàn)悖論特別是一些重要悖論的產(chǎn)生自然引起人們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑以及對(duì)數(shù)學(xué)可靠性信仰的動(dòng)搖數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)皆是因數(shù)學(xué)悖論產(chǎn)生的悖論雖然看似荒誕但卻在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生過(guò)重要影響一些著名的悖論曾使高明的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家為之震驚并引起人們長(zhǎng)期艱難而深入的思考可以說(shuō)悖論的研究對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展是立過(guò)汗馬功勞的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生于公元前五世紀(jì)因不可通約量的發(fā)現(xiàn)所出現(xiàn)的畢達(dá)哥拉斯悖論當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中的不變因素的研究把幾何算術(shù)天文音樂(lè)稱為四藝在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性他們認(rèn)為宇宙中的一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)及整數(shù)之比畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的

12、斜邊不能表示成為整數(shù)及整數(shù)之比這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的危機(jī)并對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊第二次數(shù)學(xué)危機(jī)由無(wú)窮小量引發(fā)的人類在計(jì)算一些不規(guī)則的圖形等時(shí)首次發(fā)現(xiàn)無(wú)窮小與很小很小的量的矛盾因古希臘的歐多克斯引入量的觀點(diǎn)來(lái)考慮連續(xù)變動(dòng)的東西并完全依據(jù)幾何來(lái)嚴(yán)格處理連續(xù)量這造成數(shù)與量的完全脫離古希臘的數(shù)學(xué)除了整數(shù)之外并沒(méi)有無(wú)理數(shù)的概念連有理數(shù)的運(yùn)算也沒(méi)有可是卻有量的比例但他們對(duì)連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣對(duì)此芝諾zeno of elea提出的四個(gè)著名的悖論兩分法阿基里斯飛箭運(yùn)動(dòng)場(chǎng)盡管我們憑直覺(jué)很容易否定芝諾悖論的結(jié)論但是芝諾所揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的芝諾悖論的論戰(zhàn)貫穿了整個(gè)歷

13、史它的思想引發(fā)了諸多學(xué)者的反思甚至以后的數(shù)學(xué)家在處理無(wú)窮小或無(wú)窮小概念也必須對(duì)其假定進(jìn)行斟酌從某種程度上芝諾悖論的出現(xiàn)預(yù)言了兩千年后將會(huì)圍繞微積分的出現(xiàn)而爆發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)這也說(shuō)明當(dāng)時(shí)希臘人已看到無(wú)窮小與很小很小的矛盾當(dāng)然在那時(shí)他們無(wú)法解決這些矛盾前面所提到的伯克萊悖論進(jìn)一步促進(jìn)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的到現(xiàn)在雖然已超過(guò)一個(gè)多世紀(jì)但從整體來(lái)看還沒(méi)有解決到令人滿意的程度這次危機(jī)是由于康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的由于集合的概念已滲透眾多的數(shù)學(xué)分支并且集合論在實(shí)際上已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然引起對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑189

14、7年意大利數(shù)學(xué)家布拉里-福蒂cburali-forti揭示了集合論的第一個(gè)悖論兩年后康托又發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論這兩個(gè)悖論只涉及到集合論中的結(jié)果并沒(méi)有引起當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的重視但羅素brussell于1901年的5月發(fā)現(xiàn)的悖論它除了集合本身外不需別的概念它導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)致了一場(chǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的大論戰(zhàn)5總之悖論會(huì)不斷出現(xiàn)我們應(yīng)該通過(guò)對(duì)歷史的回顧和總結(jié)來(lái)提出對(duì)各種悖論的認(rèn)識(shí)悖論是科學(xué)問(wèn)題的重要來(lái)源是引導(dǎo)人們向未知領(lǐng)域探索的向?qū)覀儜?yīng)該自覺(jué)地應(yīng)用悖論方法通過(guò)不斷的發(fā)現(xiàn)悖論和提出新的悖論通過(guò)發(fā)現(xiàn)和揭露原有的理論體系中的邏輯矛盾的形成原理概念的缺陷來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展4數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的影響41數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)當(dāng)時(shí)的社會(huì)政治學(xué)術(shù)氣氛的影響數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開(kāi)一定的社會(huì)政治歷史條件當(dāng)然數(shù)學(xué)的發(fā)展與當(dāng)時(shí)的社會(huì)政治和在該時(shí)期的學(xué)術(shù)氣氛有關(guān)一般來(lái)說(shuō)新的先進(jìn)的社會(huì)制度促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展在特定的社會(huì)制度下統(tǒng)治階級(jí)的利益制約著數(shù)學(xué)發(fā)展的方向和速度統(tǒng)治階級(jí)利益對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響主要是通過(guò)科學(xué)政策表現(xiàn)出來(lái)好的學(xué)術(shù)氣氛能調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)工作者的積極性和創(chuàng)造性去進(jìn)行數(shù)學(xué)