魯教版初三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

1、魯教版初三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第一章 分式一、分式1分式的概念：如果整式a除以整式b, 可以表示成的形式,且除式b中含有字母，那么稱式子為分式。其中, a叫分式的分子, b叫分式的分母。注意：判斷一個代數(shù)式是否為分式,不能將它變形,不能約分后去判斷,即使它約分后是整式也不能說它就是整式,約分之前是分式這個式子就是分式。如:x2x是分式,雖然約分之后等于x是整式,但約分前是分式。是常數(shù),所以a/不是分式而是整式。2有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。(整式的分母中不含有字母)3關(guān)于分式的幾點(diǎn)說明:(1)分式的分母中必須含有未知數(shù)；(2)分式是兩個整式相除的商式,對任意一個分式，分母都不為零；(3)分?jǐn)?shù)線有除號和

2、括號的作用,如：表示（ab）(cd)；(4)“分式的值為零”包含兩層意思：一是分式有意義(分母0)，二是分子的值為零，不要誤解為“只要分子的值為零，分式的值就是零”。4一般的，對分式ab都有：分式有意義 b0；分式無意義 b=0；分式的值為0a=0且b0；分式的值大于0分子分母同號；分式的值小于0分子分母異號。5基本性質(zhì)：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式值不變。二、分式的乘除法1.分式的乘除法則:分式乘以分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的冪相除。2

3、.約分:把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù)）約去，這種變形稱為約分。注意:當(dāng)分式的分子分母都是單項(xiàng)式或者是幾個因式乘積的形式時,直接約分； 分式的分子和分母都是多項(xiàng)式時，將分子和分母分解因式再約分。3.最簡分式: 一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式。約分時，一般要將一個分式化為最簡分式。三、分式的加減法1.通分:利用分式的基本性質(zhì) ,把異分母的分式化為同分分母的過程。通分原則:異分母通分時, 通常取各分母的最簡公分母作為它們的共同分母。通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?，同時各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù),相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子。最簡

4、公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次冪及單獨(dú)字母的冪的乘積。2. 法則:同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減,先通分,化 為同分母的分式,再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算。四、分式方程1.概念:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2.分式方程的解法:去分母(方程兩邊同乘以最簡公分母，將分式方程化為整式程若遇到互為相反數(shù)時，不要忘了改變符號)；按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；驗(yàn)根。3.分式方程的增根:在方程變形時，有時會產(chǎn)生不適合原方程的根即代入方程后分母的值為的根，叫做原方程的增根。例題：取 時，方程會產(chǎn)生增根(或說無解)。(思路)在這里

5、增根就是x=3,但不能直接帶入方程求m,所以要先去分母再將x=3帶入求m第二章 相似圖形一、線段的比1.概念:在同一單位長度下,兩條線段的長度的比叫這兩條線段的比。在a:b或中,a叫比例的前項(xiàng),b叫比例的后項(xiàng)。2.注意:若a:b=k,說明a是b的k倍；兩條線段的比與所采用的長度單位無關(guān),但求比時兩條線段的長度單位必須一致；兩條線段的比值是一個沒有單位的正數(shù)；除a=b外,a:bb:a, a/b與b/a互為倒數(shù)。二、比例線段1.概念:四條線段a,b,c,d中,如果 a與b的比等于c與d的比, 即a:b=c:d (或a/b=c/d), 那么這四條線段 a,b,c,d 叫做成比例線段,簡稱比例線段。a

6、、b、c、d叫比例的項(xiàng),其中,a、d叫外項(xiàng),b、c叫內(nèi)項(xiàng)。2.比例中項(xiàng):當(dāng)a:b=b:c時,稱b為a與c的比例中項(xiàng)。(b2=ac)3.性質(zhì):內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積 若 a/b=c/d 則 ad=bc 合比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a+b)/b=(c+d)/d 分比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a-b)/b=(c-d)/d 等比性質(zhì) 若 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)，則 (a+c+m)(b+d+n)=a/b合分比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 更比性質(zhì) 若 a/b=c/d 則 c/a=d/b(當(dāng)然也就有a/c=b/d)反比性質(zhì) 若 a

7、/b=c/d 則 b/a=d/c 三、形狀相同的圖形例如:兩個半徑不相等的圓；所有的等邊三角形；所有的正方形；所有的正六邊形。一個圖形各點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘以或除以同一個數(shù)，則連接所得到點(diǎn)的圖形與原圖形形狀相同。四、相似三角形1.概念:對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形,叫做相似三角形(相似符號為“”)。平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。abcdedeobc相似比：相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。2.全等一定相似,相似不一定全等(全等是相似中相似比為1時的特殊情況)五、探索三角形相似的條件1定義判定：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例2判定1：兩個

8、角對應(yīng)相等判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等判定3：三邊對應(yīng)成比例rt相似的判定:(除上述三個外)斜邊與一直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。3.三角形相似的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。 推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。 推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。4.(補(bǔ)充)射影定理

9、: 在rtabc中，acb=900，cd是斜邊ab上的高,則ac2=adab bc2=bdab cd2=adbd5.(補(bǔ)充)三角形的重心概念:三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心；三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的兩倍。六、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的三個對應(yīng)角相等，三邊對應(yīng)成比例；2相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比，3相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方。 七、測量旗桿的高度(略)八、相似多邊形1.概念:對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。2.性質(zhì):性質(zhì)1：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；性質(zhì)2

10、：相似多邊形的周長之比等于相似比;面積之比等于相似比的平方。九、位似圖形1.概念:如果兩圖形不僅相似,而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),像這樣的兩個圖形叫做位似圖形, 這個點(diǎn)叫做位似中心, 這時的相似比又稱為位似比。2.性質(zhì):位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。 3.探索:利用位似可以把一個圖形放大或縮?。粚?yīng)點(diǎn)連線都交于位似中心,對應(yīng)線段平行或在一條直線上；在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.。第三章 證明(一)一、定義與命題1.定義的概念:能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義。2.命題

11、的概念:一般地,判斷一件事情的句子，叫做命題(命題必須是對某事作出判斷)。3.命題的特征:每個命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。一般地,命題都可以寫成“如果，那么”的形式其中,“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論。4.真假命題:如果條件成立，那么結(jié)論成立(正確的命題),像這樣的命題叫做真命題；條件成立時，不能保證結(jié)論總是正確的，也就是說結(jié)論不成立(錯誤的命題)，這樣的命題叫做假命題。二、證明的必要性三、公理與定理1.公理:通過長期實(shí)踐總結(jié)出來，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理。2.定理:通過推理得到證實(shí)的真命題叫做定理,可以作為判斷其它

12、命題真假的依據(jù)。本教科書選用如下命題作為公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。也可以簡單說成：同位角相等，兩直線平行。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。也可以簡單說成：兩直線平行，同位角相等。兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一個量可以用它的等量來代替”，簡稱為“等量代換”。4、 平行線的判定定理五、平行線的性質(zhì)定理把一個命題的條件和結(jié)論交換后,就構(gòu)成了一個新的命題。如果把原

13、來的命題叫做原命題,那么這個新的命題就叫做原命題的逆命題。一個命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題。六、三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角之和為1800 ； 直角三角形的兩個銳角互余。關(guān)于輔助線：輔助線是為了證明需要在原圖上添畫的線(輔助線通常畫成虛線)；它的作用是把分散的條件集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來，起到牽線搭橋的作用；添加輔助線，可構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，找到聯(lián)系已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化，但輔助線的添法沒有一定的規(guī)律，要根據(jù)需要而定,平時做題時要注意總結(jié)。第四章 數(shù)據(jù)的收集與處理一、普查和抽樣調(diào)查1.普查:為了一定的目的而考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查,稱為普查。其中,所要考察的對象的全體稱為

14、總體,而組成總體的每一個考察對象稱為個體。普查的優(yōu)點(diǎn)及缺陷:可以直接獲得總體情況,但總體中個體數(shù)目很多時,工作量大,無法一一考察；有時受客觀條件的限制,無法對個體一一考查；有時調(diào)查具有破壞性,不允許對個體一一考查。2.抽樣調(diào)查:從總體中抽取部分個體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查,其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本,樣本中的個體的數(shù)目稱為樣本容量。二、數(shù)據(jù)的收集議一議: 抽樣調(diào)查時應(yīng)注意什么?答:抽樣調(diào)查時要注意樣本的代表性、廣泛性和真實(shí)性:即被調(diào)查的對象不得太少，被調(diào)查對象應(yīng)是隨意抽取的，調(diào)查數(shù)據(jù)應(yīng)是真實(shí)的。抽樣調(diào)查的可行性：1.抽樣調(diào)查只考查總體的一部分，因此其優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，

15、節(jié)省時間、人力、物力和財(cái)力；2.但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。三、數(shù)據(jù)的整理對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組整理,就是將收集到的所有數(shù)據(jù)按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干組。通過分組整理,可比較清晰地掌握數(shù)據(jù)的整體分布情況。四、頻數(shù)和頻率我們稱每個考查對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù),而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。公式:頻率=頻數(shù)總次數(shù)頻數(shù)=總次數(shù)頻率；總次數(shù)=頻數(shù)頻率頻數(shù)之和=總次數(shù)； 頻率之和=1頻數(shù)、頻率、頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖都反映了一組數(shù)據(jù)的分布情況。五、數(shù)據(jù)的波動1.極差的概念:刻畫數(shù)據(jù)離散程度(即相對于“平均水平”的偏離情況)的一個統(tǒng)計(jì)量,是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差(

16、極差=最大值-最小值)。極差的意義:極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動情況的量(一般而言,極差小,各個數(shù)據(jù)的波動也就小,它們的平均數(shù)對這組數(shù)據(jù)一般水平的代表性也就大；極差大,平均數(shù)的代表性也就小),但只能反映數(shù)據(jù)的波動范圍,不能衡量每個數(shù)據(jù)的變化情況,而且受極端值的影響較大(當(dāng)個別極端值遠(yuǎn)離其它數(shù)據(jù)時,極差往往不能充分反映全體數(shù)據(jù)的實(shí)際離散程度)。2.方差的概念:各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)。方差越小，波動越小；方差越大，波動越大。公式:標(biāo)準(zhǔn)差：就是方差的算術(shù)平方根規(guī)律：有兩組數(shù)據(jù)，設(shè)其平均數(shù)分別為 、 方差分別為 、 (1) 當(dāng)?shù)诙M每個數(shù)據(jù)比第一組每個數(shù)據(jù)增加m個單位時,則有 = +m，

17、 =(2) 當(dāng)?shù)诙M每個數(shù)據(jù)是的第一組每個數(shù)據(jù) n 倍時, 則有=n ， =(3)當(dāng)?shù)诙M每個數(shù)據(jù)是的第一組每個數(shù)據(jù) n 倍加 m 時，則有=n +m， = 第五章 二次根式一、二次根式1.概念:形如0)這樣的式子叫做二次根式(a也是二次根式)。其中a可以是數(shù),也可是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。2.求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時，要保證分母不為零。二、二次根式的性質(zhì)基本性質(zhì)一：=(0)基本性質(zhì)二：積的性質(zhì)：=(0,b0)商的性質(zhì)： = (0,b0)注：一般地，二次根式化簡的結(jié)果中分母中不含根號，而且根號內(nèi)的數(shù)就是一個自然數(shù)，且自然數(shù)的因數(shù)中，不含有除1以外的自然數(shù)的

18、平方數(shù)，被開方數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時，還要先化為假分?jǐn)?shù)再利用性質(zhì)化簡。三、二次根式的加減法1.最簡二次根式的兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母(即因數(shù)是整數(shù)，因式是整式) ；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。2.同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式(與二次根式的系數(shù)無關(guān))。3.二次根式的加減:(在二次根式加減或其它運(yùn)算時，把根號前的乘數(shù)看作它的系數(shù))合并同類二次根式化為最簡二次根式；系數(shù)相加減；二次根式不變。與合并同類項(xiàng)類似,把同類二次根式的系數(shù)相加減,作為結(jié)果的系數(shù),根號及根號內(nèi)部都不變四、二次根式的乘除法1.算術(shù)平方根的積等于各個

19、被開方數(shù)積的算術(shù)平方根=(0,b0)2.兩個二次根式相除，等于把被開方數(shù)相除，作為商的被開方數(shù)(0,b0)注意:如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)。第6章 證明(二)一、全等三角形(具體性質(zhì)和判定見初一知識點(diǎn))1.根據(jù)書寫規(guī)范,按照對應(yīng)頂點(diǎn)找對應(yīng)邊或?qū)恰?.公共角、對頂角必為對應(yīng)角；公共邊必為對邊。3.對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊；對應(yīng)邊的對角為對應(yīng)角。4.在兩個全等三角形中,最長邊對最長邊；最小邊對最小邊；最大角對最大角；最小角對最小角。二、等腰三角形等腰三角形的性質(zhì)定理:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊由推論得:等腰三角形的頂

20、角平分線,底邊上的中線,底邊上的高互相重合(三線合一)推論2:等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于603、 直角三角形1.性質(zhì):直角三角形的兩個銳角互余。反過來,有兩個角互余的三角形是直角三角形。2.等腰直角三角形:兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形(具有等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì))。等腰直角三角形的兩個銳角都是453.性質(zhì)定理:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半四、線段的垂直平分線1.定義:垂直且平分一條線段的直線是這條線段的垂直平分線(中垂線)結(jié)論1:如果兩點(diǎn)a 、b關(guān)于直線cd對稱,則直線 cd是線段ab 的垂直平分線；結(jié)論2:如果cd是線段ab的垂直平分線,則點(diǎn)

21、a 、b關(guān)于直線cd對稱。2. 線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等3. 線段垂直平分線的判定(性質(zhì)定理逆定理):到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上4. 定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)并且這點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離相等5、 角平分線1. 角平分線性質(zhì)定理:角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等2. 逆定理:在一個角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個角的平分線上第七章 一元二次方程一、一元二次方程1. 定義:方程的兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次,我們把這樣的方程叫做一元二次方程。(條件:方程兩邊都是整式只含有

22、一個未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是2次)2. 一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)且a0)。一般地,任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0的形式。其中ax2，bx,c分別稱為二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng),a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)。(b和c可以為0,但a不能為0,因?yàn)橐辉畏匠瘫仨氂卸雾?xiàng),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)沒有的時候就是b和c為0的情況)注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號的。3. 一元二次方程的解:使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解(或根)。2、 判別式:=b2-4ac1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的

23、情況：(1)當(dāng)0時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)=0時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)0時,方程無實(shí)數(shù)根。2.根據(jù)根的情況,也可以逆推出的情況,這方面的知識主要用來求取值范圍等問題。三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)一元二次方程的求根公式:一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:若方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根分別為x1、x2,則x1x2=b/a,x1x2=c/a補(bǔ)充規(guī)律:兩根均為負(fù)的條件:x1x20,x1x20兩根均為正的條件:x1x20,x1x20兩根一正負(fù)的條件:x1x20當(dāng)然,以上還必須滿足一元二次方程有根的條件:b2-4ac0三、一元二次方程的解法1.直接開平方法2.配方法:通過配方,將方程的左邊化成一個含未知數(shù)的完全平方式,右邊是一個非負(fù)常數(shù),運(yùn)用直接開平方求出方程的解的方法,即轉(zhuǎn)化成(x+b)2=a(a0)的形式,再利用開平方步驟:(1)把方程化成一元二次方程的一般形式；(2)把二次項(xiàng)系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù))；(3)把含有未知數(shù)的項(xiàng)放在方程的左邊,不含