(完整版)2.2.3《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》導(dǎo)學(xué)案

1、223向量數(shù)乘運算及其幾何意義導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標】1. 掌握實數(shù)與向量的積的定義，理解實數(shù)與向量積的幾何意義；掌握實數(shù)與向量的積的運算律，會利用實數(shù)與向量的積的運算律進行有關(guān)的計算；2. 理解兩個向量平行(或共線)的等價條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否平行(或共線)；3. 通過探究，體會類比遷移的思想方法，通過實數(shù)與向量的積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽 象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想.【重點難點】重點：實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量平行的等價條件； 難點：理解實數(shù)與向量的積的定義，向量平行的等價條件.【知識回顧】1. 平行向量是指什么？ 共線向量又是指什么？ .2. 作出兩

2、個向量的和向量的方法有 、. 第一個方法的步驟是： ； 第二個方法的步驟是：.3. 作出兩個向量的差向量的方法是 ;作兩個向量的差向量的步驟是： uuu uuu uuu4. 三個向量AB , OA , OB有怎樣的等式關(guān)系？ .(向量的化簡與分解)【新課導(dǎo)入】相同的幾個數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算，如當a R時，a a a.那么相等的幾個向量相加是否也能轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算呢？rr r r r r r已知非零向量 a，如何作出向量 a+ a + a和(-a) + (- a) + (- a) ?r r rr r r類似實數(shù)的數(shù)乘運算， 可將a+ a+ a簡記為； (- a)+ (- a) + (- a)簡

3、記為它們的結(jié)果是一個什么樣的量？數(shù)量還是向量？請同學(xué)們指出相加后，和的長度與方向有什么變化?【學(xué)習(xí)過程】 1)定義一般地，我們規(guī)定：實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，該向量的方向與長度與、a有什么關(guān)系呢？rr(1) 向量 a的長度：| a | .r(2) 向量 a的方向：.思考： 若ba且a 0 ,貝U .(用a, b的模表示) 向量的數(shù)乘運算的幾何意義嗎？向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)你能舉出幾個公式嗎?初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，你還記得嗎?為常數(shù)，x,y為未知量，且x, y R，則(x)；(x y)練一練：(課本第90頁練習(xí)的第2,3題)AC5UULTuu

4、uuutuur1.已知點C在線段AB上，且AC則ACAB ;BCAB ；CB2，rr2.將下列各小題中的b表示為實數(shù)與向量a的積：rr rrrr rra3e, b6e ；a8e, b14e ；r2 rr 1 rr3 r r2rae,be;ae, be.33432)運算律:類比多項式的運算律(交換律、結(jié)合律、分配律)得到以下向量數(shù)乘的運算律：設(shè)a、b為任意向量，入、卩為任意實數(shù)，則有：(1)( a) ;(2)(入 + M)a=；(3) Xa + b)=.特別地，我們有 ( )a ； Xa- b) =.練一練：3.計算:(1) (- 3)? 4； ；(2) 3(；+ b)- 2(；- b)- a

5、；( 3) (2；+ 3b- c)- (3；- 2b + c).總結(jié)提升1 此類運算類似多項式的運算法則（合并同類項，系數(shù)相乘得系數(shù)等）2 向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的線性運算，對于任意的向量a,b以及任意實數(shù)1, 2恒有:-6 -4.若a, b是已知向量，且mirmnr2nr3b ir rr，求 m, n6a（用a, b表示）.1ia12b1iar2b3）共線定理：思考：引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？1. 若b a （ a為非零向量，R）,則向量a、b是否共線？ .2. 若非零向量a與向量b共線，是否存在r使得b a ?共線向量定理：向量b與非零向量a平行

6、的等價條件是有且僅有一個實數(shù)入,使得b= Aa.共線定理中能否將“非零向量 a ”改為“向量a ”？為什么?uuiruuuuuurUJUuuuruuuDE = 3BC，試判斷 AC與AE是否平行.uuu uuur uuu3AB , DE = 3BC，試判斷 代C,E三點的位置關(guān)系.BC/DE .uuuuuu uuumr變式2:如上圖，已知AD = 3AB , AE = 3AC，求證:【總結(jié)提升】向量共線定理的應(yīng)用:1 證明向量共線;uuu2 證明：三點共線：ABuuuBC A, B,C三點共線;3 證明兩直線平行:uuu uuur uuu uuu AB CD AB/CDAB與CD不在同一直線上

7、直線AB / /直線CD 這樣幾何問題向量化.r r uuu r r uuu【典例1】已知任意兩個非零向量 a、b，且OA a b , OBr r uur a 2b , OCa 3b.你能判斷A,B,C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？【典例2】在 ABC中，點D是線段BC上的一點，且BD2DC，請用向量uuu uuiruuirAB、AC表示向量AD .【小結(jié)回顧】1.實數(shù)與向量的積：2.實數(shù)與向量的積的運算律：3.共線向量定理：定理的應(yīng)用證明：向量共線；證明：三點共線：LULLLKUTABBC 代B,C三點共線;UUUuuur uuu uuuAB證明兩直線平行：CD AB/CD直線AB / /直線CD AB與CD不在同一直線上【作業(yè)布置】1 相應(yīng)課時的同步作業(yè)2 拓展提升部分的思考.【拓展提升】r ruuu r r uuu r r1. 設(shè)a、b是兩個不共線向量，已知 AB = 2a + mb , CB = a+ 3b，若A、B、C三點共線，求 m的 值.uuu uuur2. 在【典例2】中，觀察所得出的結(jié)果，向量 AB與AC的系數(shù)有何關(guān)系？若題中 D為直線BC上的任意uuuuuiuuuu UULTUULTUUU UULT一點，且BDBC，則用向量