隨機變量的數(shù)學期望

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學期望數(shù)學期望 離散型隨機變量的數(shù)學期望離散型隨機變量的數(shù)學期望 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 數(shù)學期望的性質數(shù)學期望的性質 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分 布，如果知道了隨機變量布，如果知道了隨機變量x的概率分布，那么的概率分布，那么x的的 全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難然而，在實際問題中，概率分布一般是較難 確定的確定的. 而在一些實際應用中，人們并不需要知而在一些實際應

2、用中，人們并不需要知 道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些 數(shù)字特征就夠了數(shù)字特征就夠了. 因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù) 字特征是重要的字特征是重要的 . 在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是 數(shù)學期望數(shù)學期望、方差、協(xié)方差和相關系數(shù)方差、協(xié)方差和相關系數(shù) 一、數(shù)學期望的概念一、數(shù)學期望的概念 1 )( k kk pxxe即即 定義定義1 設設x是離散型隨機變量，它的分布率是是離散型隨機變量，它的分布率是: px=xk=pk , k=1,2, 若級數(shù)若級數(shù) 1k kk px 絕對

3、收斂，絕對收斂，則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1k kk px )(xe 的和為隨機變量的和為隨機變量x的的數(shù)學期望數(shù)學期望，記為，記為 , 若級數(shù)發(fā)散若級數(shù)發(fā)散 ，則稱，則稱x的數(shù)學期望不存在。的數(shù)學期望不存在。 1k kk px 定義定義2 設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量x的概率密度為的概率密度為f(x)，如，如 果積分果積分 絕對收斂，則稱該積分的值絕對收斂，則稱該積分的值 為隨機變量為隨機變量x的數(shù)學期望或者均值，記為的數(shù)學期望或者均值，記為ex，即，即 dxxxf)( dxxfxxe)()( 如果積分如果積分 發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱x的數(shù)學期的數(shù)學期 望不存在。望不存在。 ( )x f x dx

4、 關于定義的幾點說明關于定義的幾點說明 (3) 隨機變量的數(shù)學期望與一般變量的算隨機變量的數(shù)學期望與一般變量的算 術平均值不同術平均值不同. (1) e(x)是一個實數(shù)是一個實數(shù),而非變量而非變量,它是一種它是一種加加 權平均權平均,與一般的平均值不同與一般的平均值不同 , 它從本質上體現(xiàn)它從本質上體現(xiàn) 了隨機變量了隨機變量 x 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也稱也稱 均值均值. (2) 級數(shù)的絕對收斂性級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不保證了級數(shù)的和不 隨級數(shù)各項次序的改變而改變隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要之所以這樣要 求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量求是因為數(shù)

5、學期望是反映隨機變量x 取可能值取可能值 的平均值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變它不應隨可能值的排列次序而改變. x o 隨機變量隨機變量 x 的算術平均值為的算術平均值為, 5 . 1 2 21 假設假設 .98. 198. 0202. 01)( xe 它從本質上體現(xiàn)了隨機變量它從本質上體現(xiàn)了隨機變量x 取可能值的平均值取可能值的平均值. 當隨機變量當隨機變量 x 取各個可能值是等概率分布時取各個可能值是等概率分布時 , x 的期望值與算術平均值相等的期望值與算術平均值相等. 1 2 x21 020.980.p 為為他們射擊的分布律分別他們射擊的分布律分別乙兩個射手乙兩個射手、甲甲

6、, 試問哪個射手技術較好試問哪個射手技術較好? 思考思考 誰的技術比較好誰的技術比較好? ? 乙射手乙射手 擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù) 概率概率 1098 2 . 05 . 03 . 0 甲射手甲射手 擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù) 概率概率 1098 3 . 01 . 06 . 0 解解 ),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)( 1 環(huán)環(huán) xe ),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)( 2 環(huán)環(huán) xe ., 21 xx數(shù)分別為數(shù)分別為設甲、乙射手擊中的環(huán)設甲、乙射手擊中的環(huán) 故甲射手的技術比較好故甲射手的技術比較好. 例例4.1 一批產品中有一、二、三等及廢品一批產品中有一、二

7、、三等及廢品4種，相種，相 應比例分別為應比例分別為60%，20%，13%，7%，若各等級，若各等級 的產值分別為的產值分別為10元、元、5.8元、元、4元及元及0元，求這批產元，求這批產 品的平均產值。品的平均產值。 解解 設一個產品的產值為設一個產品的產值為x元，則元，則x的可能取值的可能取值 分別為分別為0，4，5.8，10；取這些值的相應比例分別為；取這些值的相應比例分別為 7%, 13%, 20%, 60%；則它們可以構成概率分布，；則它們可以構成概率分布， 由數(shù)學期望的定義求得產品的平均產值為由數(shù)學期望的定義求得產品的平均產值為 ex = 40.13 + 5.80.2 + 100.

8、6 = 7.68（元）。（元）。 到站時刻到站時刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6 一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時間的數(shù)學期望求他候車時間的數(shù)學期望. 例例4.2 按規(guī)定按規(guī)定,某車站每天某車站每天8:009:00,9:0010:00 都恰有一輛客車到站都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機的但到站時刻是隨機的,且兩者且兩者 到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：到站的時間相互獨立。其規(guī)律為： 其分布率為其分布率為以分計以分計為為解：設旅客的候車時間解：設旅客的候車時間),(x x 10 30 50 70 90 k p 6 3

9、6 2 6 1 6 1 6 3 6 1 6 2 6 1 13 70()( ) ( ) 66 p xp abp a p b 上表中例如 的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為候車時間候車時間到站到站 第二班車第二班車為事件為事件到站到站第一班車第一班車為事件為事件其中其中 x ba .30:9 ,10:8 分分22.27 36 2 90 36 3 70 36 1 50 6 2 30 6 3 10)( xe 例例4.3 其概率密度為其概率密度為服從同一指數(shù)分布服從同一指數(shù)分布 它們的壽命它們的壽命裝置裝置個相互獨立工作的電子個相互獨立工作的電子有有 ,)2 , 1( ,2 k x k 0 , 00 , 0 1

10、)( x xe xf x 若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機,求整機求整機 壽命壽命(以小時計以小時計) n 的數(shù)學期望的數(shù)學期望. 00 01 )( )2 , 1( x xe xf kx x k 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解 00 01 )(11)( 2 2 min x xe xfxf x 00 0 2 )( 2 min x xe xf n x 的概率密度為的概率密度為于是于是 2 2 )()( 0 2 min dxe x dxxxfne x 12 min(,)nxx 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 :),(,規(guī)規(guī)定定以以年年計計記記使使用用壽壽命命為為付付款款的

11、的方方式式 的的銷銷售售采采用用先先使使用用后后某某商商店店對對某某種種家家用用電電器器 x 例例4.4商店的銷售策略商店的銷售策略 .3000, 3;2500, 32 ;2000, 21 ;1500, 1 元元一一臺臺付付款款元元一一臺臺付付款款 元元一一臺臺付付款款元元一一臺臺付付款款 xx xx . . 0, 0 , 0,e 10 1 )( , 10 的的數(shù)數(shù)學學期期望望器器收收費費試試求求該該商商店店一一臺臺家家用用電電 概概率率密密度度為為服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布設設壽壽命命 y x x xf x x 解解 xxp x de 10 1 1 10 1 0 1 . 0 e1 ,0952.

12、 0 xxp x de 10 1 21 10 2 1 2 . 01 . 0 ee ,0861. 0 xxp x de 10 1 32 10 3 2 ,0779. 0ee 3 . 02 . 0 xxp x de 10 1 3 10 3 .7408. 0e 3 . 0 的的分分布布律律為為因因而而一一臺臺收收費費 y y k p 3000250020001500 0952. 07408. 00861. 00779. 0 ,15.2732)( ye得得 .15.2732元元費費即平均一臺家用電器收即平均一臺家用電器收 例例4.5 求常見分布的隨機變量數(shù)學期望。求常見分布的隨機變量數(shù)學期望。 二、隨機

13、變量函數(shù)的數(shù)學期望二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 1. 問題的提出：問題的提出： 設已知隨機變量設已知隨機變量x的分布，我們需要計算的不是的分布，我們需要計算的不是x 的期望，而是的期望，而是x的某個函數(shù)的期望，比如說的某個函數(shù)的期望，比如說g(x)的期望的期望. 那么應該如何計算呢？那么應該如何計算呢？ 一種方法是，因為一種方法是，因為g(x)也是隨機變量，故應有概也是隨機變量，故應有概 率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的x的分布求出來的分布求出來. 一旦一旦 我們知道了我們知道了g(x)的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把 eg(x)計算出來計算出

14、來. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(x)的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)x的的 分布求得分布求得eg(x)呢？呢？ 下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(x)的的 分布，一般是比較復雜的分布，一般是比較復雜的 . (1) 當當x為離散型時為離散型時,它的分布率為它的分布率為p(x= xk)=pk ; 絕對收斂，則有絕對收斂，則有若若 1 )(), 2 , 1( k kk pxgk 1 ( ) ()() kk k e ye g xg xp (2) 當當x為連續(xù)型時為連續(xù)型時,它的密度函數(shù)為它的密度

15、函數(shù)為f(x).若若 絕對收斂，則有絕對收斂，則有 dxxfxg)()( dxxfxgxgeye)()()()( 定理定理1 設設y是隨機變量是隨機變量x的函數(shù)的函數(shù):y=g(x) (g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)) 連續(xù)型 離散型 xdxxfxg xpxg xgeyek kk ,)()( ,)( )()(1 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當我們求當我們求eg(x)時時, 不必不必 知道知道g(x)的分布，而只需知道的分布，而只需知道x的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便. dxdyyxfyxgyxgeze),(),(),(

16、)( 定理定理2 設設g (x,y) 是隨機變量是隨機變量x、y的函數(shù)，且的函數(shù)，且 eg(x)存在。存在。 (2) 如果如果x、y是連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合概是連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合概 率密度為率密度為f(x,y)，則，則 (1) 如果如果x、y是離散型隨機變量，聯(lián)合概率是離散型隨機變量，聯(lián)合概率 分布為分布為pij , i,j=1,2, ，則，則 11 ( ) ( , )( ,) ijij ji e ze g x yg x y p x p 123 4 . 02 . 04 . 0 解解的分布律為的分布律為x x y 123 1 0 1 20. 10. 10.10. 10. 10. 0 0 30.

17、.)(, )(),(),(: 2 yxexyeyexe 求求 例例4.6 設設 ( x , y ) 的分布律為的分布律為 . 03 . 014 . 003 . 01)( ye得得 1 0121 21031 y p 1 01 3 . 04 . 03 . 0 的分布律為的分布律為y . 24 . 032 . 024 . 01)( xe得得 p ),(yx xy )1, 1( 2 . 0 )0 , 1( 1 . 0 )1 , 1( 1 . 0 ) 1, 2( 1 . 0 )1 , 2( 1 . 0 )0 , 3( 3 . 0 )1 , 3( 1 . 0 由于由于 p ),(yx)1, 1( 2 .

18、0 )0 , 1( 1 . 0 ) 1 , 1 ( 1 . 0 ) 1, 2( 1 . 0 )1 , 2( 1 . 0 )0 , 3( 3 . 0 )1 , 3( 1 . 0 2 )(yx 4109194 4 . 091 . 002 . 013 . 04)( 2 yxe得得 . 5 1 . 0 3 1 3 . 001 . 0 2 1 1 . 0 2 1 1 . 011 . 002 . 01 x y e 于于是是 . 15 1 ?),( , , 0 . 0, 0 , 0,e 1 )( )( ,., . , 均為已知均為已知產品產品 應生產多少件應生產多少件期望最大期望最大問若要獲得利潤的數(shù)學問若

19、要獲得利潤的數(shù)學 度為度為服從指數(shù)分布其概率密服從指數(shù)分布其概率密件件們預測銷售量們預測銷售量 他他再者再者元的損失元的損失而積壓一件產品導致而積壓一件產品導致元元利利 可獲可獲他們估計出售一件產品他們估計出售一件產品確定該產品的產量確定該產品的產量 并試圖并試圖產品市場產品市場某公司計劃開發(fā)一種新某公司計劃開發(fā)一種新 nm y y yf y nm y y 例例4.7 解解,件件設生產設生產 x:的函數(shù)的函數(shù)是是則獲利則獲利xq ., ,),( )( xymx xyyxnmy xqq 若若 若若 yyqfqe y d)()( 0 y mxy yxnmy y x y x de 1 de 1 )(

20、 0 ,e)()(nxnmnm x , 0e )()( d d nnmqe x x 令令 ).ln( nm n x 得得 , 0e )( )( d d 2 2 x nm qe x 又又 .)(,)ln(,取得最大值取得最大值時時當當因此因此qe nm n x 密度密度 即具有概率即具有概率上服從均勻分布上服從均勻分布在在設風速設風速,), 0(av 其它其它0 0 1 )( av avf .), 0( : 2 的數(shù)學期望的數(shù)學期望求求常數(shù)常數(shù) 的函數(shù)的函數(shù)是是壓力壓力又設飛機機翼受到的正又設飛機機翼受到的正 wk kvwvw 2 0 22 3 11 )()(kadv a kvdvvfkvwe

21、a 解：由上面的公式解：由上面的公式 例例9 求數(shù)學期望求數(shù)學期望e(ex)，若，若 (1)xp(3); (2) xb(n,p); (3) xn(1,4). 其它其它 ）的概率密度為）的概率密度為（設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量 0 2 0)sin( ),( , xyxa yxf yx ).(),()2(,)1(xyexea求求求系數(shù)求系數(shù) 2 1 1)sin(),( 2/ 0 2/ 0 adxyxadydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1 其它其它 ）的概率密度為）的概率密度為（設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量 0 2 0)sin( ),( , xyxa yx

22、f yx ).(),()2(,)1(xyexea求求求系數(shù)求系數(shù) 4 )sin( 2 1 2 2/ 0 2/ 0 dxdyyxxxe）（）解解（ 1 2 )sin( 2 1 ),()( 2/ 0 2/ 0 dxdyyxxy dxdyyxxyfxye 例例11 ., , 22 的數(shù)學期望的數(shù)學期望求求正態(tài)分布正態(tài)分布 且都服從標準且都服從標準相互獨立相互獨立和和設隨機變量設隨機變量 yxz yx 解解 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和 相互獨立相互獨立和和 yx yxnynx,),1 , 0(),1 , 0( 22 22 e 2 1 e 2 1 ),( yx yxf ,e 2 1 2)( 2

23、2 yx 于是于是 )()( 22 yxeze .dde 2 1 2 22 22 yxyx yx 得得令令,sin,cos ryrx dde 2 1 )( 2 2 00 2 2 rrze r rr r de 2 2 2 0 2 2 rr rr dee 0 2 0 2 22 . 2 例例12 . . , 0 , 10 ,2 )( . , 0 , 10 ,3 )( , , ,00:1300:12 2 時間的數(shù)學期望時間的數(shù)學期望求先到達者需要等待的求先到達者需要等待的 其他其他其他其他 的概率密度分別為的概率密度分別為已知已知立立 相互獨相互獨和和且設且設間間分別是甲、乙到達的時分別是甲、乙到達的

24、時設設 會面會面在在甲、乙兩人相約于某地甲、乙兩人相約于某地 yy yf xx xf yx yxyx yx 解解的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為和和 yx . , 0 , 10 , 10 ,6 ),( 2 其他其他 yxyx yxf 因此所求數(shù)學期望為因此所求數(shù)學期望為 yxyxyxyxedd6)( 1 0 1 0 2 21 dd6)(dd6)( 22 dd yxyxyxyxyxyx 6 1 12 1 ).( 4 1 小時小時 三、數(shù)學期望的性質三、數(shù)學期望的性質 1. 設設c是常數(shù)，則是常數(shù)，則e(c)=c; 4. 設設x、y 相互獨立，則相互獨立，則 e(xy)=e(x)e(y); 2.

25、若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則e(kx)=ke(x); 3. e(x+y) = e(x)+e(y); n i i n i i xexe 11 )(:推廣 n i i n i i xexe 11 )(:推廣（諸（諸xi相互獨立時）相互獨立時） 請注意請注意: 由由e(xy)=e(x)e(y) 不一定能推出不一定能推出x,y 獨立獨立 。和和來證性質來證性質請同學自己證明，我們請同學自己證明，我們，性質性質4321 于是有于是有概率密度為概率密度為 其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密度設二維隨機變量（設二維隨機變量（證證 ),(),( ).,(, yfxf yxfyx yx 得證。得證。性質性質3)(

26、)( ),(),( ),()()( yexe dxdyyxyfdxdyyxxf dxdyyxfyxyxe , 相互獨立相互獨立又若又若yx .4)()()()( ),()( 得證得證性質性質yexedxdyyfxxyf dxdyyxxyfxye yx 例例10 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機場開出位旅客自機場開出, 旅客有旅客有10個車站可以下車個車站可以下車,如到達一個車站沒有旅客如到達一個車站沒有旅客 下車就不停車下車就不停車.以以x表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求e(x).(設每設每 位旅客在各個車站下車是等可能的位旅客在各個車站下車是等可能的,并設各旅客是否并設各旅

27、客是否 下車相互獨立下車相互獨立) 10, 2 , 1 1 0 i i i x i 站有人下車站有人下車在第在第 站沒有人下車站沒有人下車在第在第 引入隨機變量引入隨機變量解解 1021 xxxx 易知易知 四、數(shù)學期望性質的應用四、數(shù)學期望性質的應用 10, 2 , 1, 10 9 11, 10 9 0 2020 ixpxp ii 10, 2 , 1, 10 9 1)( 20 ixe i 由此由此 次次 進而進而 784. 8 10 9 110 )()()( )()( 20 1021 1021 xexexe xxxexe 1 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙把鑰匙,其中只有一把能

28、打其中只有一把能打 開自己的家門開自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把他隨意地試用這串鑰匙中的某一把 去開門去開門,若每把鑰匙試開一次后除去若每把鑰匙試開一次后除去,求打開門時試求打開門時試 開次數(shù)的數(shù)學期望開次數(shù)的數(shù)學期望. 00 0 )( x xe xf x 的數(shù)學期望。的數(shù)學期望。求求 x ey 2 1 解解 設試開次數(shù)為設試開次數(shù)為x, 分布率為：是離散型隨機變量，其x 于是于是 e(x) n k n k 1 1 2 )1 (1nn n 2 1 n 3 1 )()( 0 22 dxeedxxfeye xxx p(x=k)=1/n, k=1, 2, , n 解解 從數(shù)字從數(shù)字0, 1, 2, , n中任取兩個不同的數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字, 求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望. , 的絕對值的絕對值為所選的兩個數(shù)字之差為所選的兩個數(shù)字之差設設 x , 3 , 2 , 1 nx的所有可能取值為的所有可能取值為則則 ,