第四章-矩陣的特征值和特征向量

1、第四章 矩陣的特征值和特征向量例1求下列矩陣的特征值與特征向量A460350，并判斷它能否相似對角化。若能,361求可逆陣P，使P 1AP（對角陣）。例2已知三階方陣 A的三個特征值為2,3,4，貝V A 1的特征值為, A的特征值為, A*的特征值為001例3設(shè)矩陣Ax1y100,A2 3A 2E的特征值為有三個線性無關(guān)的特征向量，則x,y應(yīng)滿足條件200例5已知矩陣A002與B01x例6設(shè)n階方陣A滿足A23A 2I2 000 y0相似，則x y0 0 10，求A的特征值例7已知向量211(1, k,1)是矩陣A1211的逆矩陣A的特征向量，求常數(shù) k112例8設(shè)A為非零方陣，且 Am 0

2、 （m為某自然數(shù)），證明：A不能與對角陣相似例9設(shè)n階方陣A滿足A2 7A 10I0，求證：A相似于一個對角矩陣結(jié)論總結(jié)1 n階方陣A有n個特征值，它們的和等于A的主對角線元素之和（即A的逆trA），它們的乘積等于A的行列式A2 如果 1, , m是方陣A的特征值，R, ,Pm是與之對應(yīng)的特征向量，如1, , m互不相等時，R, Pm線性無關(guān)3 如果n階方陣A與B相似，則A與B有相同的特征多項式，從而有相同的特征值4 如果n階方陣A與對角陣 相似，則的主對角線元素就是 A的n個特征值5 n階方陣A與對角陣相似，即A可相似對角化的充要條件是 A有n個線性無關(guān)的特征向量6 如果n階方陣A的n個特征

3、值互不相等，則 A與對角陣相似，即 A可相似對角化7 實對稱矩陣的特征值全為實數(shù)8 實對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交19 對實對稱矩陣 A Ann，必存在正交矩陣 P，使P AP ，其中 是以A的n個特征值為主對角線元素的對角陣10方陣A可逆的充要條件是 A的特征值全不為零、單項選擇題0 0 11.設(shè)A0 1 01 0 0,則A的特征值是()(a)-1,1,1(b) 0,1,1(c) -1,1,2 (d) 1,1,21 1 02.設(shè)A1 0 1,則A的特征值是(0 1 1(a) 0,1,1(b) 1,1,2(c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 設(shè)A為n階方陣,A2I ,則

4、()。(a) |A| 1 (b)A的特征根都是1 (c) r(A) n (d)A 一定是對稱陣4. 若冷必 分別是方陣A的兩個不同的特征值對應(yīng)的特征向量,則k1X1k?X2也是A的特征向量的充分條件是()。(a) k10 且 k20 (b)k10且 k20 (c)k1k20 (d)k10 且 k205. 設(shè)A為n階可逆矩陣, 是A的特征值,則A*的特征根之一是()。(a)1|A|n (b)1 |A|(c)|A|(d)|A|n6. 設(shè)2是非奇異陣A的一個特征值,則(A2) 1至少有一個特征值等于()。3(a) 4/3(b) 3/4(c) 1/2(d) 1/47. 設(shè)n階方陣A的每一行元素之和均為

5、 a(a 0),則2A 1 E有一特征值為 ()。(a)a (b)2a(c)2a+1(d)- +1a8. 矩陣A的屬于不同特征值的特征向量()。(a)線性相關(guān)(b)線性無關(guān)(c)兩兩相交(d)其和仍是特征向量9. 下列說法不妥的是(a) 因為特征向量是非零向量，所以它所對應(yīng)的特征向量非零(b) 屬于一個特征值的向量也許只有一個(c) 一個特征向量只能屬于一個特征值(d) 特征值為零的矩陣未必是零矩陣12 310設(shè)矩陣Axy zA的特征值為1, 2,3，則()00 1A) x2,y4,z8B)x1,y4,z RC) x2,y2,z RD)x1,y4,z311已知矩陣2230有一特征向量5 小，則

6、x ()12x3A)18 B)16 C)14D)1212已知矩陣A的各列兀素之和為 3，則()A)A有一個特征值為3，并對應(yīng)一個特征向量(1,1,1)TB) A有一個特征值為3,并不一定對應(yīng)有特征向量(1,1,1)TC) 3不一定是A的特征值D)A是否有特征值不能確定13設(shè)A是三階矩陣，有特征值1, 1,2,則下列矩陣中可逆的是()A) I A B) I A C) 2I A D) 2I A填空題設(shè)A為3階矩陣，其特征值為3,1, 2，則A 1的特征值為2A2 3A E的特征值為如果二階矩陣相似，則x若n階可逆陣A的每行元素之和是a(a0)，則數(shù)1定是2AE的特征值4 設(shè)三階矩陣A有3個屬于特征

7、值的線性無關(guān)的特征向量，則A 5若A2E，貝U A的特征值為 6設(shè)n階方陣A的n個特征值為1,2, n，則1017設(shè)A 021101n 2，貝U An 2An 114則 lim Ann8 A 002,三解答題1設(shè)為n維非零列向量,(aa2, , an)T , AT 證明:1)A2kA ( k為某常數(shù))2)是A的一個特征向量。3) A相似于對角陣。1(1,1,1)T， 2(1, 2, 4)T，3(1, 3,2)t，又向量(1,1, 3)t1)將用1 , 2 ,3線性表示2)求An ( n為自然數(shù))2x12已知A030 有3個線性無關(guān)的特征向量，求A1003601 223.設(shè)A2 12求A的特征值

8、與對應(yīng)的特征向量，A是否對角陣相似。若相似，寫2 21出使P 1AP的矩陣P及對角陣，并計算A10(1,3,2)t，A52124.設(shè)A5b3 ，已知A1，A的伴隨矩陣A*的特征值對應(yīng)的特征向量102(1, 1,1)T，求0和b的值1.設(shè)三階矩陣A的特征值為11,233，對應(yīng)的特征向量依次為:四、證明題2設(shè)n階方陣A有n個對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量，則A E。3設(shè)n階方陣A的每行元素之和都為常數(shù) a，求證:1) a為A的一個特征值；2)對于任意自然數(shù) m , Am的每行元素之和都為 am4設(shè)三階方陣A的三個特征值!, 2, 3互異，分別對應(yīng)于特征向量1, 2, 3證明：12， 123都不是

9、A的特征向量。5 設(shè)A，B為n階方陣，證明： AB,BA都有相同的特征值。6 設(shè)1，2是A的兩個不同的特征值，是對應(yīng)于 1的特征向量，證明： 不是 2的特征向量(即一個特征向量不能屬于兩個不同的特征值)。答案2n13n2n13n2n3n310112 310022104 31004-101亠亠100 亠336 362 12 23，31001A10 3225101-10“* 5251 , A25101111042 1041 104133311041-11042-104113331111041 1041 10423333100一 1.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b10B11B 12A 13D二、1 6A 1的特征值為：11,1 21,； 2A 3AE的特征值為:10, 6, 3 ；322. x2, y 1； 3.21 ；4. Aa5.1 6.(n 1)! 7. 0 8.0401, b 3四、提示1略2略3略4略5若AB有特征值0,則AB 0，從而BA 0