量子力學考試題

1、量子力學考試題(共五題，每題20分)1、扼要說明：(a) 束縛定態(tài)的主要性質。(b) 單價原子自發(fā)能級躍遷過程的選擇定則及其理論根據。A A_.A AA A A A2、設力學量算符(厄米算符)F , G不對勿，令K = i ( FG-GF ), 試證明：(a) K的本征值是實數(shù)。(b) 對于F的任何本征態(tài),K的平均值為0。(C)在任何態(tài)中F2 +G K3、自旋/2的定域電子(不考慮“軌道”運動)受到磁場作用，已知其能量算符為H? = S?H = Sz + v Sx(，, v 0, ? v )(a) 求能級的精確值。(b) 視v Sx項為微擾，用微擾論公式求能級。4、質量為m的粒子在無限深勢阱(

2、0x0VF2+G2-K 0, 即 卩 F2 +G2 K3、(a) , (b)各 10 分h10舟01A co vAAA _-(a) H = Sz + VSx= 2、: 0 -1 : +2V : 1 0 = 2-a-fH ? = E? , ? = b ，令 E= 2 ，貝S- - .a -.V_國一丸b 1 = 0,V一 co 扎h=k2-co 2亠2 = 0h九= J22+ v ,E1 =-2 Jco2 +v2 ,E= 2 J灼2 +2222VVV當？ V ,J時2 +v2 =2尬(1+)1/2吒時(1+2時2)=國+2h2 V托v2E1 j 2+ 2國 1,E?=2國+岔1AA A個 2A.

3、(b) H = Sz + V Sx=H 0+ H ,H 0= Sz , H=V Sx 1 .H0本征值為 _2 ，取 E1(0) = - 2, E2(0) = 20 1相當本征函數(shù)(Sz表象)為1(0)= 1，宇2(0) = 0 則H 之矩陣元(Sz表象)為H ii=0,H 22 =0 ,H21E1= E1( 0) +H；1+E1(0) e20).2H 12 = H 211 -2 2 v4+0-H12E= E2(0)+H22+ e20) - Ei(0)2 Jt4、E1 =a_ 胖 2xdxx = 0=a-.1 px-i 0a-22ma2 1(x)=2； xsi na。idx 二 dx2 .二

4、xsina a0xadx 二a20 ： x ： ax 乞 0, x _ aa/21. 2xd ( sin)=0-ia02aa“ d mj- 2 r兀xnx-f1x一屮px = i辦一 f xsin d(sin)xpx = _j0 dxa 0 a aXxa12 X、-i xd(sin )a 0aixsin2 x aaaa 0- 0sin 2dxa12dx 丄=0+2 0 2 四項各5分 5、(i), (ii)各 10 分(i) s= 0,為玻色子，；（ri,r2）有:體系波函數(shù)應交換對稱。（D）即衛(wèi)1）鳴（2） 吉屮 a （兒（r2）+屮 b（r1）屮 a（r2）ab-a(r1)-a共6種。(i

5、i) s= 2 ,呵，單粒子態(tài)共囉，6種:b 0,任取兩個，可構成體系(交換)反對稱態(tài)，如丄 小a(rj屮b(2)_屮b(rj屮a(2)也。丄2體系態(tài)共有C6二15種或：a， b，譏三種軌道態(tài)任取兩個，可構成一種軌道對稱態(tài)1 .2-a(rir (r2) + WD)及一種反對稱態(tài)-T TT T2 a(r1*乙億)1尸a(r2)，前者應與自旋單態(tài)X。相乘，而構成體 系反對稱態(tài)，共3種。后者應與自旋三重態(tài)Xu， X10 ，X1-1相乘而構 成體系反對稱態(tài)，共3 3= 9種。但軌道對稱態(tài)還有- a(r1)- a(r2)型，共3種型，各與自旋單態(tài)配合， 共3種體系態(tài)，故體系態(tài)共3+3+9= 15種。量子

6、力學習題第一章緒論1.1由黑體輻射公式導出維恩位移定律：能量密度極大值所對應的波長F與溫度T成反比，即mT=b(常量)；并近似計算b的數(shù)值，準確到二位有效數(shù)字。1.2在0K附近，鈉的價電子能量約為3eV,求其德布羅意波長。1.3氦原子的動能是E=3kT/2 (k為玻耳茲曼常數(shù))，求T=1K時，氦原子的 德布羅意波長。1.4利用玻爾一索末菲的量子化條件，求：(1) 一維諧振子的能量；(2) 在均勻磁場中作圓周運動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10特斯拉，玻爾磁子Mb=9X10-24焦耳/特斯拉，試計算動能 的量子化間隔：E,并與T=4K及T=100K的熱運動能量相比較。1.5兩個光子在一定

7、條件下可以轉化為正負電子對。如果兩光子的能量相 等，問要實現(xiàn)這種轉化，光子的波長最大是多少？第二章波函數(shù)和薛定諤方程2.1由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算幾率流密度：屮 i=ekr/r,屮 2=e-ikr/r.從所得結果說明-；1表示向外傳播的球面波，丫2表示向內(即向原點)傳播的球 面波。2.2 一粒子在一維勢場d、X a中運動，求粒子的能級和對應的波函數(shù)。2.3求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置 2.4 一粒子在一維勢阱U(x)=丿U0,|xa1 0,x 蘭 a中運動，求束縛態(tài)(OEUo)的能級所滿足的方程。22.5對于一維無限深勢阱(0xa)中的定態(tài) n(x)，求x、x和x，并與經典力學結

8、果比較。2.6粒子在勢場V(x)十V。,x空00 ： x a中運動，求存在束縛態(tài)(E0)的條件(，m，a，V0關系)以及能級方程。12.7求二維各向同性諧振子V= 2 k(x2+y2)的能級，并討論各能級的簡并度2.8粒子束以動能E= k 2m從左方入射，遇勢壘V(x)x : 0x -02_di2mR2 d 2求反射系數(shù)、透射系數(shù)。EV情形分別討論H?二2.9質量為m的粒子只能沿圓環(huán)(半徑R)運動，能量算符為旋轉角。求能級(En)及歸一化本征波函數(shù)- n()，討論各能級的簡并度第三章基本原理,求: 2 2 -3.1 一維諧振子處在基態(tài)：二2U2 =_ 二廠7勢能的平均值T動能的平均值動量的幾率

9、分布函數(shù)。3.2設t=0時，粒子的狀態(tài)為12 (x)=Asin kx+ 2 coskx，求此時粒子的平均動量和平均動能。3.3在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為 a,如果粒子的狀態(tài)由 波函數(shù)即(x)=Ax(a-x)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。3.4證明：如歸一化的波函數(shù) (x)是實函數(shù)，則=i /2;如 (r)(與二，無關)，則 = -3/2。3.5計算對易式x, Ly，pz, Lx，并寫出類似的下標輪換式(x y, y z, z x)。 3.6證明算符關系r L L r = 2i rp L L p = 2i p3.7設F為非厄米算符(F+=F)，證明F可

10、以表示成A+iB的形式，A、B為厄 米算符。求A、B與F、卩+之關系。3.8 一維諧振子(V1= 2 kx2)處于基態(tài)。設勢場突然變成V2=kx2，即彈性力增大一倍。求粒子在V2場中的能級以及此粒子在新勢場的基態(tài)中出現(xiàn)的幾率。3.9有線性算符L、M、K，L, M=1，K=LM。K的本征函數(shù)、本征值記為 -n n (n=1,2,.)。證明：如函數(shù)M5及U-n存在，則它們也是K的本征函數(shù)， 本征值為(n 1)。2-3.10證明：如H= p /2m+V( r)，則對于任何束縛態(tài)=0。2_ _3.11粒子在均勻電場中運動，已知 H= p /2m-q x 設t=0時x=0， px=po, 求 x(t)，

11、px(t)。3.12粒子在均勻磁場B=（0, 0, B）中運動，已知H=P2/2m 一丄，=qB/2mc 設 t=0 時P=（po, 0, 0）,求 t0 時P。3.13粒子在勢場V（r）中運動，V與粒子質量m無關。證明：如m增大，則 束縛態(tài)能級下降。第四章中心力場4.1證明氫原子中電子運動所產生的電流密度在球極坐標中的分量是Jer=Je-=0,Je =-em 1；+ sinr nlm4.2由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的（1）求一圓周電流的磁矩。（2）證明氫原子磁矩為meme(SI)(C GS2%原子磁矩與角動量之比為e匹=和（si）Lz 一 一旦（CGS2出這個比值

12、，稱為回轉磁比率。4.3設氫原子處于狀態(tài)（rj,：） =2只21（）丫10）-只21（）丫2（1）,求氫原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和 這些力學量的平均值。4.4利用測不準關系估計氫原子的基態(tài)能量。4.5對于類氫離子的基態(tài)00，求概然半徑（最可幾半徑）及r,孑。4.6對于類氫離子的 nlm態(tài)，證明1= - 2 = - En。4.7對于類氫離子的基態(tài)-;100，計算x, . px，驗證不確定關系x a 2。4.8單價原子中價電子（最外層電子）所受原子實（原子核及內層電子）的庫侖作用勢可以近似表示成2 2e /_e anV（r）廠，n ： ： 1r r試求價電子

13、能級。與氫原子能級比較，列出主量子數(shù)n的修正數(shù)公式。提示:將V（r）中第二項與離心勢合并，記成（小2/22，計算（-1）之值，。第五章表象理論5.1設-；n，-；k是厄米算符H?的本征態(tài)矢，相應于不同的本征值。算符F?與H?對易。證明- k n=0o5.2質量為的粒子在勢場V（X）中作一維運動，設能級是離散的。證明能量表象中求和規(guī)則,2 2送（巳-Ek）|ne=n2# 仇為實數(shù)）。5.3對于一維諧振子的能量本征態(tài) n，利用升、降算符計算vT、V、Ax、巾。5.4設J為角動量，n為常矢量，證明J ,n J = n X J5.5對于角動量J的jm態(tài)（J2, Jz共同本征態(tài)），計算Jx、jy、Jx2

14、、Jy2等平均值，以及Jx-Jyo5.6設n （單位矢量）與z軸的夾角為二，對于角動量J的jm態(tài)，計算Jn（即n J的平均值）。5.7以表示L2， Lz共同本征態(tài)矢。在1=1子空間中，取基矢為l1，10，一1，建立門，Lz表象。試寫出Lx及Ly的矩陣表示（3階），并 求其本征值及本征態(tài)矢（取=1）*5.8對于諧振子相干態(tài)2為實數(shù))，計算n,也n, E, E ,x, x, p, ：p 。第六章微擾理論6.1如果類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為ro,電荷均勻分布的小球，計算這種效應對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。6.2轉動慣量為I、電偶極矩為D的空間轉子在均勻電場；中，如果電場較 小，用微擾法求轉

15、子基態(tài)能量的二級修正。6.3設一體系未受微擾作用時只有兩個能級Eoi及Eo2,現(xiàn)在受到微擾H?的作用。微擾矩陣元為Hi2=Hi=a, Hi=H 22=b; a, b都是實數(shù)。用微擾公式求能 量至二級修正值。6.4 一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場；作用，設電場沿正x方向：(1) 用微擾法求能量至二級修正；(2) 求能量的準確值，并和(1)所得結果比較。6.5設在t=0時，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設 單色光的電場可以近似地表示為sint,；及均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻t躍遷到電離態(tài)的幾率。6.6基態(tài)氫原子處于平行板電場中

16、，若電場是均勻的且隨時間按指數(shù)下降， 即歸匕0;理e ,0(2 0)求經過長時間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。6.7計算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。6.8求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。6.9粒子(質量)在無限深勢阱0x0)中作一維運動。試用變分法求基態(tài)能量近似值。建議取試探波函數(shù) 即(丸,r)=Aexp(k2r2)。6.12某量子力學體系處于基態(tài)-i(x)0 t0后受到微擾作用，H Xt)=F(x) , 試證明：長時間后( .)該體系處于激發(fā)態(tài) n(x)的幾率為Fni|2/(En 巳)2 + 護丘2第七章自旋7.1 證明忍:?y；?z = i。，i(Sz)? s7.2求在自旋態(tài)2 中

17、，S和Sy的測不準關系：丄 S 2 Sy 2 二？? “0 1、 ?斤卩一7.3求 2 j 丿及2 j丿的本征值和所屬的本征函數(shù)。7.4求自旋角動量在(cos , coS:, cos )方向的投影= Scosx * sy cos ： s cos的本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測量 Sz有哪些可能值？這些可能值各以多大的幾率出現(xiàn)？ Sz的平均值是多少？7.5設氫原子的狀態(tài)是屮12R2i(r)Yi(d ：)3yQiDYoL,;：)(1) 求軌道角動量z分量Lz和自旋角動量z分量Sz的平均值;(2) 求總磁矩(SI)的z分量的平均值(用玻爾磁子表示)。7.6求電子的總角動量算符J2, Jz的共同本征函數(shù)。7.7在Sz表象中，證明eF o日。7.8對于電子的L, S, J ,證明（取一 =1 ）- 2*2 1（2S L 1）= J -4（二 J）（二 J -1） - J27.9電子的總磁矩算符是一 一 _e 一 - Is（L - 2S）2mec對于電子角動量的I j j態(tài)（mj=j）計算4的平均值（結果用量子數(shù)j表示出來）第八章多粒子體系8.1 一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相