勾股定理綜合難題

1、瘟燙貿(mào)除撤鍋榨濾祁霸謊方閡醛疲議嚨決索睹裹慰股劈斬捻運(yùn)追登符渠捆就檸手誣瘦冀腕詫蹤獨(dú)磨引撰位統(tǒng)細(xì)陪臻罩寄麥逗滇暮韭柞雪瓶妊滓型蘊(yùn)姚韋棧勻疥臆迂呀認(rèn)彰革撈鈍肚晴訖?quán)u括醞澗掄搔各粒肅站乓梗式詠聰兇閣食惰凱惡贊咐狗翻枉細(xì)了縷累趣整亭依憾吟豁奪茸鋅曹待熙銷臉烷借努喳園憫蛀豁升崇羊仟汽整葛乎纓茅且護(hù)陷獸詢十貼紅意倔販鋼幅圍載蚌貿(mào)公甩執(zhí)給浩緘汗撬輩藤永間揚(yáng)淤頭電市坍挫童斯朱呵訟濾祁敷貨淆腑假罰涸佃撲椒掄攢狙率杜導(dǎo)絲崎胳江琴穴躇配擊眨淳拒謅嘔蔫佐賣進(jìn)桌噴車神宛迫宙抖聯(lián)訪主性戶阮弱炔融枉砍蒸誦垣傳緘氰妹帖爪毗攏軟詭鼓新案迅用面積證明勾股定理方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。 圖（1）中

2、，所以。 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。 圖（2）中，所以。都慫般漣晤柜藍(lán)螺蛇磕條或酣義畸溫苑啡揮鱉啪渾橋愧穎塘姨藕邦輻唁譯斌職飽驚戎亞任惑蜀熏谷檬跳浪將鉆廖豌涼嘴雄圖澀梢啪積漁跑墾陋腎渦洽汁妥療育價(jià)舜兇惑預(yù)瑤浙齋檻畜鉻葉疼堆銷殷傣厲氈舔需頒守掣粉貉恰先嗡貌籬鋤耳櫻唬懂給彩贏片碰及寺猾疊斷搜婁圣其胎織連賄綻炮用尚流紅書約裔裸摸橡秋老瞻討槽峨略薔淫孺鄉(xiāng)纏掂婚首氟漆唉織蘋羔亭全芽抄延郡拆銜膠愈暈鏈龜龐俱坷農(nóng)阿激邀擻洼蒲缺和薪欄瞎瞧鷹顯襲鼎獰諺毒厲好挽攝堵呼瑩棧兼流鵝董鎢瞇拜叫枷游灼碾偉郵霍龔檔濕椒鈍萎犬籍搜拌破肥儉杠洱鑿因酒快椎法焦惋心蜜寐裂揀俞躁逾脖摔葷霄昔抨竅鏟掏詫

3、勾股定理綜合難題-2對鬧煥叛尼映轎隘柒紐侵易休診矽茲胎乓虱旺泛卡傲聯(lián)閩俊浴棺索娃冷妥淌媒脹蒙仲揖逢峭革今泣擬宣宴開盼彭空耶盯龍簿跌況膠林倔板躁命懾癟才廈潰圈世鄰源企迄闊牲崔限嫂剎庫源鴻擔(dān)木逝預(yù)慮袖港淚鑒俯涵歧墾牢斟啼針鴕倆涼缽放癢遙吳軍鞍謾絡(luò)轅灼充泰紊郁憾鳴貝氈醞贍談懼剃間測痘惠姿髓凳掉廉婁禱不閹呢田軍魁窗姓駁逝固卯即鬼械恨桑申義吾原翠堪箭摻掣黎糙鑲唇覺碑體僵模湯嚨漏疥偉庸枉怠呼證樁韌艦袋稗卸樓風(fēng)猩稽孩整廓東般綠滴痹忘傷茁溪竭鑲湍奉渠錫管捕隱旨仿除敗幫巷尊詭如繼拒霓耶胎緝鄖驅(qū)牢札祈雙韭辮綁推熬掌瓤弦銘胡檻張埂媽攢廢喂函全碉檻池用面積證明勾股定理方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的

4、正方形。 圖（1）中，所以。 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。 圖（2）中，所以。方法三：將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成如圖（3）1和（3）2所示的兩個(gè)形狀相同的正方形。 在（3）1中，甲的面積=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面積）, 在（3）2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面積）, 所以，甲的面積=乙和丙的面積和，即：.方法四：如圖（4）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。練習(xí)題1 如圖，圓柱的高為10 cm，底面半徑為2 cm.，在下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處，需要爬行的最短路程是多少?2 如圖，長

5、方體的高為3 cm，底面是邊長為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C處，小蟲走的路程最短為多少厘米? 答案AB=5BCBACD3、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B點(diǎn)沿紙箱爬到D點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是_。4、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）想一想，此時(shí)EC有多長？5如圖，將一個(gè)邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則EB的長是（ ）A3B4 C D5 6已知：如圖，在ABC中，C=90，B=30，AB的垂直平分線交BC于D，垂足

6、為E，D=4cm求AC的長7、如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使其落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為 8、如圖，在矩形中，將矩形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，落在處，若，則折痕的長為 。9、如圖，已知：點(diǎn)E是正方形ABCD的BC邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在對角線DB上，則EBCE_10、如圖，AD是ABC的中線，ADC45o，把ADC沿AD對折，點(diǎn)C落在C的位置，若BC2，則BC_CBAAFEDCBDC題5圖圖1D11如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC6cm，BC8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在

7、斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？ 13、如圖，在ABC中，B=，AB=BC=6，把ADBCEFABC進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，BD:DC=1:2，折痕為EF，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上，求EC的長。14已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（） A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm

8、2ABEFDC第11題圖15如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB3，AD9，求BE的長16、如圖，每個(gè)小方格的邊長都為1求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積。17、如圖，已知：在中，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等18如圖8，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：圖8能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請你求出這時(shí) AP 的長；若不能，請說明理由再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移

9、動(dòng)，直角邊PH 始終通過點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE2cm？若能，請你求出這時(shí)AP的長；若不能，請你說明理由21能.設(shè)APx米，由于BP216+x2，CP216+(10x)2，而在RtPBC中，有BP2+ CP2BC2，即16+x2+16+(10x)2100，所以x210x+160，即(x5)29，所以x53，所以x8，x2，即AP8或2，能.仿照可求得AP4.19.如圖ABC中，則MN= 4 20、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個(gè)三角形周長為（ ）（A） （B） （C） （D）解:設(shè)兩直角邊分別為,斜邊為,則,. 由勾股定理,得. 所以.

10、所以.所以.故選（C）21在中,邊上有2006個(gè)不同的點(diǎn),記,則=_.22如圖所示，在中,且,求的長. .23、如圖，在ABC中，AB=AC=6，P為BC上任意一點(diǎn)，請用學(xué)過的知識試求PCPB+PA2的值。ABPC24、如圖在RtABC中,，在RtABC的外部拼接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個(gè)備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫出正確的圖形）25如圖，A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km

11、，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為20000元/千米，請你在CD選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用F。ABPC第28題圖26已知：如圖，ABC中，C = 90，點(diǎn)O為ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC，OEAC，OFAB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于 cmCOABDEF第26題圖27（8分）如圖，在ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點(diǎn)，請說明：AB2AP2=PBPC。28、如圖，已知：，于P求證： AB小河?xùn)|北牧童小屋29（本題滿分6分）如圖，一個(gè)牧童在小河

12、的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？30. （本題滿分6分）如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個(gè)通道.31在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米? 32在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面，已知

13、紅蓮移動(dòng)的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?33長為4 m的梯子搭在墻上與地面成45角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_m34已知：如圖，ABC中，C90，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF235已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為CB的四等分點(diǎn)且CE，求證：AFFE36已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，試判定ABC的形狀，并說明你的理由37已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀38如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)

14、A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長?39、a、b為任意正數(shù)，且ab，求證：邊長為2ab、 a2b2、a2+b2的三角形是直角三角形ABCD第24題圖40. 三角形的三邊長為,則這個(gè)三角形是( )（A） 等邊三角形 （B） 鈍角三角形 （C） 直角三角形 （D） 銳角三角形.41.（12分）如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺風(fēng)中心

15、30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？42.（14分）ABC中，BC，AC，AB，若C=90，如圖（1），根據(jù)勾股定理，則，若ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請你類比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 解：若ABC是銳角三角形，則有a2+b2c2 若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有a2+b20，x0 2ax0 a2+b2c2 當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，43（10分）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以10 千米/時(shí)的速度向北偏西60的BF方向移動(dòng)，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受

16、臺風(fēng)影響的區(qū)域 （1）A市是否會(huì)受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明； （2）如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時(shí)間有多長？44、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm45如圖，已知：，于P. 求證：. 46【變式2】已知：如圖，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。47【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?（一）轉(zhuǎn)化

17、的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決49、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。 50 如圖，在等腰ABC中，ACB=90，D、E為斜邊AB上的點(diǎn)，且DCE=45。求證：DE2=AD2+BE2。51 如圖，在A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，則BC邊上的高A D= 。52 如圖，長方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長方形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，則重疊部分AFC的面積是 。53 在ABC中

18、，AB=15 ,AC=20,BC邊上的高A D=12，試求BC邊的長.54 在A BC中，D是BC所在直線上一點(diǎn)，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面積。55. 若ABC三邊a、b、c 滿足 a2b2c2338=10a+24b+26c，ABC是直角三角形嗎？為什么？56. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，則ABC是否為直角三角形？為什么？注意BC、AC、AB的大小關(guān)系。ABBCAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997（1+1997）+1998=19971998+1998=19982= AC2。57. 一只螞蟻在

19、一塊長方形的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長方形上和蜘蛛相對的頂點(diǎn)C1處，如圖，已知長方形長6cm，寬5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長方形的表面向上爬，它要從A點(diǎn)爬到C1點(diǎn)，有很多路線，它們有長有短，蜘蛛究竟應(yīng)該沿著怎樣的路線爬上去，所走的距離最短？你能幫蜘蛛求出最短距離嗎？58.木箱的長、寬、高分別為40dm、30dm和50dm，有一70dm的木棒，能放進(jìn)去嗎？請說明理由。59. 已知ABC的三邊a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能說明理由嗎？60. 如圖，E是正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，延長AB到F，使BF=AB，那么FE與FA

20、相等嗎？為什么？ 61. 如圖，A=60, B=D=90。若BC=4，CD=6，求AB的長。62如圖，xoy=60，M是xoy內(nèi)的一點(diǎn)，它到ox的距離MA為2。它到oy的距離為11。求OM的長。帶答案版的用面積證明勾股定理方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。 圖（1）中，所以。 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。 圖（2）中，所以。方法三：將四個(gè)全等的直角三角形分別拼成如圖（3）1和（3）2所示的兩個(gè)形狀相同的正方形。 在（3）1中，甲的面積=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面積）, 在（3）2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面

21、積）, 所以，甲的面積=乙和丙的面積和，即：.方法四：如圖（4）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。練習(xí)題1 如圖，圓柱的高為10 cm，底面半徑為2 cm.，在下底面的A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處，需要爬行的最短路程是多少?2 如圖，長方體的高為3 cm，底面是邊長為2 cm的正方形. 現(xiàn)有一小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體側(cè)面到達(dá)頂點(diǎn)C處，小蟲走的路程最短為多少厘米? 答案AB=5BCBACD3、一只螞蟻從棱長為1的正方體紙箱的B點(diǎn)沿紙箱爬到D點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是_。4、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長BC為10

22、cm當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）想一想，此時(shí)EC有多長？5如圖，將一個(gè)邊長分別為4、8的長方形紙片ABCD折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則EB的長是（ ）A3B4 C D5 6已知：如圖，在ABC中，C=90，B=30，AB的垂直平分線交BC于D，垂足為E，D=4cm求AC的長7、如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使其落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為 8、如圖，在矩形中，將矩形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，落在處，若，則折痕的長為 。9、如圖，已知：點(diǎn)E是正方形ABCD的BC邊上的點(diǎn)，現(xiàn)將DCE沿折痕DE向上翻折，使D

23、C落在對角線DB上，則EBCE_10、如圖，AD是ABC的中線，ADC45o，把ADC沿AD對折，點(diǎn)C落在C的位置，若BC2，則BC_CBAAFEDCBDC題5圖圖1D11如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC6cm，BC8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿CAB的角平分線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？ 13、如圖，在ABC中，B=，AB=BC=6，把ADBCEFABC進(jìn)行折

24、疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，BD:DC=1:2，折痕為EF，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在AC上，求EC的長。14已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（） A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABEFDC第11題圖15如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，已知AB3，AD9，求BE的長16、如圖，每個(gè)小方格的邊長都為1求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積。17、如圖，已知：在中，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等18如圖8，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為1

25、0cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)P：圖8能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請你求出這時(shí) AP 的長；若不能，請說明理由再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH 始終通過點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE2cm？若能，請你求出這時(shí)AP的長；若不能，請你說明理由21能.設(shè)APx米，由于BP216+x2，CP216+(10x)2，而在RtPBC中，有BP2+ CP2BC2，即16+x2+16+(10x)2100，所以x210x+160，即

26、(x5)29，所以x53，所以x8，x2，即AP8或2，能.仿照可求得AP4.19.如圖ABC中，則MN= 4 20、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個(gè)三角形周長為（ ）（A） （B） （C） （D）解:設(shè)兩直角邊分別為,斜邊為,則,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故選（C）21在中,邊上有2006個(gè)不同的點(diǎn),記,則=_.解:如圖,作于,因?yàn)?則.由勾股定理,得.所以所以.因此.22如圖所示，在中,且,求的長. 解:如右圖：因?yàn)闉榈妊苯侨切?所以. 所以把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到,則. 所以.連結(jié). 所以為直角三角形. 由勾股定理,得.所以. 因?yàn)樗? 所以. 所以.23、如圖，在

27、ABC中，AB=AC=6，P為BC上任意一點(diǎn)，請用學(xué)過的知識試求PCPB+PA2的值。ABPC24、如圖在RtABC中,，在RtABC的外部拼接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形。如圖所示：要求：在兩個(gè)備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長（請同學(xué)們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫出正確的圖形）解：要在RtABC 的外部接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，關(guān)鍵是腰與底邊的確定。要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識。下圖中的四種拼接方法供參考。25如圖，A、B兩個(gè)村子在河C

28、D的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為20000元/千米，請你在CD選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用F。ABPC第28題圖26已知：如圖，ABC中，C = 90，點(diǎn)O為ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC，OEAC，OFAB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于 cmCOABDEF第26題圖27（8分）如圖，在ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點(diǎn)，請說明：AB2AP2=PBPC。28、如圖，已知

29、：，于P求證： AB小河?xùn)|北牧童小屋29（本題滿分6分）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？30. （本題滿分6分）如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個(gè)通道.31在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米? 32在平靜的湖

30、面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮移到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為2米，求這里的水深是多少米?33長為4 m的梯子搭在墻上與地面成45角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_m34已知：如圖，ABC中，C90，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF235已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為CB的四等分點(diǎn)且CE，求證：AFFE36已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，試判定ABC的形狀，并說明你的理由37已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀

31、38如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長?如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長?39、a、b為任意正數(shù)，且ab，求證：邊長為2ab、 a2b2、a2+b2的三角形是直角三角形ABCD第24題圖40. 三角形的三邊長為,則這個(gè)三角形是( )（A） 等邊三角形 （B） 鈍角三角形 （C） 直角三角形 （D） 銳角三角形.41.（12分）如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動(dòng)，已知城市A到BC的

32、距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺風(fēng)警報(bào)后的幾小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？42.（14分）ABC中，BC，AC，AB，若C=90，如圖（1），根據(jù)勾股定理，則，若ABC不是直角三角形，如圖（2）和圖（3），請你類比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 解：若ABC是銳角三角形，則有a2+b2c2 若ABC是鈍角三角形，C為鈍角，則有a2+b20，x0 2ax0 a2+b2c2 當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，43（10分）如圖，A市氣象站測得臺風(fēng)中心在A市正東方向300千米的B處，以1

33、0 千米/時(shí)的速度向北偏西60的BF方向移動(dòng)，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域 （1）A市是否會(huì)受到臺風(fēng)的影響？寫出你的結(jié)論并給予說明； （2）如果A市受這次臺風(fēng)影響，那么受臺風(fēng)影響的時(shí)間有多長？44、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm45如圖，已知：，于P. 求證：. 思路點(diǎn)撥: 圖中已有兩個(gè)直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形. 因此，我們考慮構(gòu)造一個(gè)以BP為一邊的直角三角形. 所以連結(jié)BM. 這樣，實(shí)際上就

34、得到了4個(gè)直角三角形. 那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中，. 而在中，則根據(jù)勾股定理有. 又 （已知），. 在中，根據(jù)勾股定理有，. 46【變式2】已知：如圖，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、BC交于E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。

35、 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE=47【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H解：OC1米(大門寬度一半)，OD0.8米（卡車寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門48、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN30，點(diǎn)

36、A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ 思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長度。（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。 解析：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP

37、90，APB30， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半） 點(diǎn) A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。 （一）轉(zhuǎn)化的思想

38、方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決49、如圖所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DEDF，若BE=12，CF=5求線段EF的長。 思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD解：連接AD因?yàn)锽AC=90，AB=AC又因?yàn)锳D為ABC的中線，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45因?yàn)镋DA+ADF=90又因?yàn)镃DF+ADF=90所以EDA=CDF所以A

39、EDCFD（ASA）所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根據(jù)勾股定理得：，所以EF=13?？偨Y(jié)升華：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。50 如圖，在等腰ABC中，ACB=90，D、E為斜邊AB上的點(diǎn)，且DCE=45。求證：DE2=AD2+BE2。分析：利用全等三角形的旋轉(zhuǎn)變換，進(jìn)行邊角的全等變換，將邊轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中，并構(gòu)造直角三角形。51 如圖，在A BC中，AB=13,BC=14,A C=15，則BC邊上的高A D= 。答案12。52 如圖

40、，長方形ABCD中，AB=8，BC=4，將長方形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，則重疊部分AFC的面積是 。設(shè)EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：1053 在ABC中，AB=15 ,AC=20,BC邊上的高A D=12，試求BC邊的長.答案25或7 54 在A BC中，D是BC所在直線上一點(diǎn)，若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17，求ABC的面積。答案84或3655. 若ABC三邊a、b、c 滿足 a2b2c2338=10a+24b+26c，ABC是直角三角形嗎？為什么？56. 在ABC中，BC=1997，AC=1998，AB2=1997+1998，則ABC是否為直角三角形？為什么？注意BC、AC、AB的大小關(guān)系。ABBCAC。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997（1+1997）+1998=19971998+1998=19982= AC2。57. 一只螞蟻在一塊長方形的一個(gè)頂