邏輯運算定理

1、For personal use only in study and research; notfor commercial use蚇3.3 邏輯運算定理羇3.3.1邏輯函數(shù)相等有兩個邏輯函數(shù) F和G,如果對于F和G的每一種取值組合，對應(yīng)的輸出都相同, 我們說這兩個邏輯函數(shù)相等，記作F=G由邏輯函數(shù)相等的概念，可以得到下面的推論：如果F=G,則F和G對應(yīng)的真值表完全相同；反過來，如果兩個邏輯函數(shù)的真值表 完全相同，則F=G.例 3.3.1證明A+ABA+B解：根據(jù)題意，列出真值表如表3.3.1所示。賺表3.3.1 例3.3.1的真值表薀AB肇 A+AB蒄A+B芃00蚈0蒆0膄01莄1肁1腿10

2、羄1膂1腿11蠆1蚅1膃由表，對于A+AB和 A+B兩個邏輯函數(shù)的每一種取值組合，它們的輸出完全相同。所以，A+ABA+B邏輯函數(shù)相等的概念是邏輯函數(shù)運算、化簡和變換的基礎(chǔ)。 我們介紹的定理、 公式都可以利用邏輯函數(shù)相等的概念加以證明。332邏輯運算公理常用的邏輯運算公理如表薁表3.3.2常用邏輯運算公理肇原等式蒞對偶式芄 0 0=0蒈 0 1=1 0=0肂1 1=1袇肅若Am0,則A=1蝕1+1=1膆1+0=0+1=1羂 0+0=0祎賺若Am 1,則A=0莆3.3.3邏輯運算定理常用的邏輯運算定理如表蚆表3.3.3常用邏輯運算定理膅邏輯運算定理艿原等式肀對偶式莇交換律葿結(jié)合律蝕分配律肅自等律

3、羂 A B=B- A腿 A(BC)=(AB)C袈 A(B+C)=ABfAC肂 A 1=A薁 A+B=BfA羃 A+(B+C)=(A+B)+C薃 A+BC=(A+B)( A+C)羋 A+0=A0-1律A- 0=0A+1=1互補律A- A=0A+A=1重疊律A- A=AA+A=A吸收律A+AB=AA-(A+B)=A非非律反演律（摩根定律）334常用公式邏輯運算的公式有許多,和化簡時使用。在表，實際上，只要經(jīng)過證明的等式都可以在以后的變換表3.3.4常用公式項目常用公式推論與證明1無2A+AB=AA+AE+ABC二 A3A+AE=A+AB+A=A+BABAGBC4=ABAC+(A+A) CB =AB

4、AOABG-ABC=ABfAC5ABfAC=(A+C)( A+E)(A+C)( A+B) =ABfAC+BC+AA=ABfAC注：公式1、2為吸收律和分配律的應(yīng)用，公式3為多余因子定律，公式 4為多余項定律，公式5為與或和或與轉(zhuǎn)換定律。3.3.5邏輯代數(shù)的三個基本規(guī)則1代入規(guī)則若兩個邏輯函數(shù)相等，即 F=G且F和G中都存在變量 A,如果將所有出現(xiàn)變量 A 的地方都用一個邏輯函數(shù)L代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。因為任何一個邏輯函數(shù)，它和一個邏輯變量一樣，只有兩種可能的取值（0和1），所以代入規(guī)則是正確的。有了代入規(guī)則，就可以將基本等式（定理、常用公式）中的變量用某一邏輯函數(shù)來代替，

5、從而擴大了它們的應(yīng)用范圍。例 3.3.2已知等式A（由曰=ABhAE將所有出現(xiàn)E的地方代之以（C+D，試證明等式成立。解：原式左邊=A申(C+D)= ABA(C+D)=ABAGAD原式右邊=ABC+D=ABhACAD所以等式 A(B+(C+D)= ABA(C+D)成立。注意：在使用代入規(guī)則時，必須將所有出現(xiàn)被代替變量的地方都用同一函數(shù)代替， 否則不正確。2. 反演規(guī)則設(shè)L是一個邏輯函數(shù)表達式，如果將L中所有的“ ” (注意，在邏輯表達式中，不致混淆的地方，“ ”常被忽略)換為“ + ”，所有的“ + ”換為“ ”；所有的常量0換為常量1，所有的常量1換為常量0;所有的原變量換為反變量，所有的反

6、變量換為原變 量，這樣將得到一個新的邏輯函數(shù)，這個新的邏輯函數(shù)就是原函數(shù)L的反函數(shù)，或稱為補函數(shù)，記作 。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。反演規(guī)則又稱為德摩根定理，或稱為互補規(guī)則。運用反演規(guī)則可以方便地求出反函數(shù)。例333已知匕庇,求反函數(shù)乙。解：按照反演規(guī)則，得例3.3.4 已知L恣乜軸況I,求反函數(shù)，解：按照上述法則得 ：-。(1) 使用反演規(guī)則時，必須保證運算優(yōu)先順序不變，即如果在原函數(shù)表達式中，AB之間先運算，再和其他變量進行運算，那么反函數(shù)的表達式中，必須保證AB之間先運算。(2) 對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變。3. 對偶規(guī)則設(shè)L是一個邏輯表達式，如果將 L中的“ ”、“ +”互換；所有的“

7、 0”、“ 1” 互換，那么就得到一個新的邏輯函數(shù)式，稱為L的對偶式，記作 L。這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則。例如 L=(A+B)( A+C)，則：- r - o注意：L的對偶式L和L的反演式是不同的，在求 L時不能將原變量和反變量互 換。變換時仍要保持原式中運算先后順序。推論：若兩個邏輯函數(shù)相等，即F=G,則它們的對偶式也相等，即F =G;反之,若F； =G則必有F=G利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運算公式，例如，吸收律AAB = AB成立，則它的對偶式 A（A+B）=AB也成立。以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。t o 員 b k ogfljirogeifcc, TOpBicnob3 groimio 麻yqeHuicic 碼 egoBua Hedo 員冶hbiucno 員 B3OBaTbCEb KoMMepqeckux qeiix.For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziel