概率3.1節(jié)-多維隨機變量及其聯(lián)合分布.ppt

1、概率3.1節(jié)-多維隨機變量及其聯(lián)合分布.ppt 3.1多維隨機變量及其聯(lián)合分布 在實際問題中，試驗結果有時需要同 時用兩個或兩個以上的r.v.來描述.例如用溫度和風力來描述天氣情況;通過對含 碳、含硫、含磷量的測定來研究鋼的成分等要研究這些r.v.之間的聯(lián)系，就需考慮 多維r.v.及其取值規(guī)律一多維r.v.的分布. 1. 多維隨機變量 定義：設X1 , , X n是定義在同一個樣本空間上的隨機變 量，則稱 X ( XJ , ,xn) 為n維隨機變量或隨機向量。 隨機向量的例子 擲一顆骰子兩次，設 示第i次所擲點數(shù)，則2維隨機向量。表為 研究4到6歲兒童的發(fā)育狀況時，令表示身高，表示體重，則 為

2、2維隨機向量。 考慮某商場一天的銷售額和顧客數(shù)，則為2維隨機向量。 2. 聯(lián)合分布函數(shù) 定義：對任意n個實數(shù) 以下n個事件同時發(fā)生的概率 定義了一個n元函數(shù)，稱之為為n維隨機變 量 的聯(lián)合分布函數(shù)。主要考慮2維情 形。 分布函數(shù)的幾何意義 如果用平面上的點(x, y)表示二維r.v. (X，丫 ) 一組可能取值，則 F (x, y) 表 示(X，丫 )取值落入圖所示角形區(qū)域的概率.y (x, y) x (, ) 聯(lián)合分布函數(shù)的性質n f L c )1 y () I- (,)1 (X, y) X I- (,)0 y IM x ,) (i X X 對每個變量單調不減固定X ,對任意的y1 F (x

3、0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ) 對于任意a 事實上 F (b,d)- F (b,c) d c a b 0 滿足上述四條性質的二元函數(shù)一定是某 不能由前三條得出(見 P135例3.1.1 個二 )。 -F (a,d) + F (a,c) ? fi X b, c V d 任一分布函數(shù)都滿足上述四條性質，且 維隨機變量的分布函數(shù)。 注：性質(4)是二維分布函數(shù)特有的, 3. 聯(lián)合分布列定義：若二維r.v.（X，丫 ）所有可能的取值為有限多個或無窮可列 多個,則稱（X，丫 ） 為二 維離散型r.v. 設（X，丫 ）的所有可能的取值為和，y j ；，, i, I,工 則稱 卩（X

4、xi , Y y j ） pi j , i, j 1, 2, 為二維r.v.（ X ,Y ）的聯(lián)合概率分布，也簡稱概率分布或分布列。 顯然，上述分布列滿足非負性和規(guī)范性，即 P1J 0, 11 J 1 i, J 山 Pij 1 （X，丫） 的聯(lián)合分布列（表格形式） X Y X1 p11 xi pi1 yi yj pi j Pij I匸 lJ|- X xi , Y y)的求法 利用古典概型直接求；利用乘法公式 pij Pt X xi ) P(Y y j X “丿. 例1某校新選出的學生 會有6名女生，文、理、工科各占1人、2人、3人，現(xiàn)從中隨機指定2人為學生 會主席候選人令X，丫分別為候 選人中

5、來自文、理科的人數(shù)求(X, Y)的聯(lián)合 分布列. 3.聯(lián)合密度函數(shù) 定義 設二維r.v.( X ,Y )的分布函數(shù)為F(x ,y ), 若存在非負可 積函數(shù)f (x,y),使得對于任意實數(shù)x,y有 I - ( X, V )f G1, V； C Vi 111 則稱(X ,Y )為二維連續(xù)型r.v. f (x,y) 為(X ,Y )的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡 稱概率密度函數(shù)簡記p.d.f. x y 聯(lián)合密度函數(shù)的性質 (1) f ( X,叮 i) f ( x, y)dydx 1 (3)在F ( x, y)的偏導存在的點處 F f ( xn y J x y 2 若f在(x,y)點處連續(xù)，則 Pt x X

6、 x 爼 y Y yy) f ( x, y) x y 若G是平面上的區(qū)域，則 P ( X , Y ) Gf ( . y )dxdy G 由重積分化累次積分時要注意積分區(qū)間的變化! 例2設r.v.( X，丫 )的聯(lián)合密度函數(shù) 為 kxv, ii x 汕 v Xc；其他 巾 其中k為常數(shù).求 (1) 常數(shù)k :卩(X + Y 1) 卩戈 4. 常用多維分布 離散情形：1.多項分布 進行n次獨立重復試驗，如果每次試驗有 r個可能結果：且記Xi為n次獨立重復試驗中 Ai出現(xiàn)的次數(shù)，則 取的概率為 此時稱 服從r項分布，記為 易知上述概率為多項式 展開式的通項，故其和為1. 當r=2時，回到二項分布情形

7、。 多維Poisson分布設r.v.空間上，且 定義在同一個樣本 其中則稱服從參數(shù)為的多維Poisson分布。 多維超幾何分布 設袋中有N只球，其中有Ni只i號球，i=1,2,r，記 從中任取n只，設Xi為取出的i號球的 個數(shù)，則 其中則稱 服從多維超幾何分布。 連續(xù)情形：多維均勻分布 設D為中的有界區(qū)域，其度量為若多維隨機變量 的聯(lián) 合密度函數(shù)為1 pl ,(咒1 i , xn ) 山，sn ；S Ij 0,其他) 則稱布，記為 服從D上的多維均勻分 例3考慮一個半徑為R的圓，按如下方式 隨機地在圓內投點：落在圓內任一區(qū)域內 的概率只與這個區(qū)域的面積有關，與該區(qū)域在圓內的位置及形狀無關。如果令圓心表示 原點，且令X和Y表示所投點 的坐標，設它們的聯(lián)合密度函數(shù)為 娛 x 2 y 2 I? 2 . f ( x, y )2 2 2 0, x y I?, (1) 求常數(shù)c，( 2)計算原點到該點的距 離D小于等于a的概率；(3)計算E(D). 二維正態(tài)分布若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 p ( x, y ；21 2 I 2