角平分線的性質(zhì)定理和判定(經(jīng)典)

1、角平分線的性質(zhì)定理和判定第一部分：知識點(diǎn)回顧1、角平分線：把一個(gè)角平均分為兩個(gè)相同的角的射線叫該角的平分線;平分線上的點(diǎn)；2、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等：點(diǎn)到邊的距離；3、角平分線的判定定理：至U角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上第二部分：例題剖析例 1.已知：在等腰 Rt ABC 中，AC=BC/ C=90 , AD平分/ BAG DEL AB于點(diǎn) E, AB=15cm(1) 求證：BD+DE=AC(2 )求厶DBE的周長.例2.如圖，/ B=Z C=90 , M是BC中點(diǎn)，DM平分/ ADC求證：AM平分/ DAB例3.如圖，已知 ABC的周長是 22, OB

2、0C分別平分/ ABC和/ ACB ODLBC于D,且 0D=3 ABC的面積是多少？第三部分：典型例題例1、已知：如圖所示， CDL AB于點(diǎn)D, BEL AC于點(diǎn)E, BE CD交于點(diǎn)0,且A0平分/ BAC求證：0B=0C【變式練習(xí)】 如圖，已知/仁/ 2, P為BN上的一點(diǎn)，PF丄BC于F, PA=PC求證：/ PCBk BAP=180o例2、已知：如圖，/ B=Z C=90 , M是BC的中點(diǎn)，DM平分/ ADC(1) 若連接AM則AM是否平分/ BAD請你證明你的結(jié)論；(2) 線段DM與 AM有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.(3) CD、AB、AD間？直接寫岀結(jié)果【變式練習(xí)】 如圖，

3、 ABC中，P是角平分線 AD BE的交點(diǎn). 求證：點(diǎn)P在/ C的平分線上.例 3.如圖，在 ABC 中，BD 為/ABC 的平分線，DEL AB 于點(diǎn) E，且 DE=2cm AB=9cm BC=6cm 求厶ABC的面積.【變式練習(xí)】 如圖，D E、F分別是 ABC的三條邊上的點(diǎn)，CE=BF 。丘和厶DBF的面積相等.求證：AD平分/ BAC第四部分：思維誤區(qū)一、忽視垂直”條件 例1.已知，如圖， CE! AB,BD丄AC,/B=Z C，BF=CF求證：AF為/ BAC的平分線。第五部分：方法規(guī)律（1）有角平分線，通常向角兩邊引垂線。（2 ）證明點(diǎn)在角的平分線上，關(guān)鍵是要證明這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距

4、離相等，即證明線段相等。常用方法 有：使用全等三角形，角平分線的性質(zhì)和利用面積相等，但特別要注意點(diǎn)到角兩邊的距離。（3）注意：許多同學(xué)對證明兩個(gè)三角形全等的問題已經(jīng)很熟悉了，所以證題時(shí)，不習(xí)慣直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理和判定定理，仍然去找全等三角形，結(jié)果相當(dāng)于重新證明了一次這兩個(gè)結(jié)論.所以特別提醒大家，能用簡單方法的，就不要繞遠(yuǎn)路.DEI AB,垂足為 E,若 AB= 12cm,則第七部分：鞏固練習(xí)A組一、耐心選一選，你會開心（每題6 分，共30分）1 三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是（)A、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B三條高的交點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條角平分線的交點(diǎn)2.如圖， ABC中，/ C= 9

5、0, AC= BC,AD是/ BAC的平分線, DBE的周長為（）A、 12cmB、10cmC、14cmD 11cm3 .如圖2所示，已知 PA PC分別是 ABC的外角/ DAC / ECA的平分線，PML BD, PNL BE,垂足分別為M N,那么PM與 PN的關(guān)系是（） PN = PN v PND.無法確定A圖34 .如圖3所示， ABC中，AB=AC AD是/ A的平分線，DEL AB, DF丄AC,垂足分別是 E、F,下面給出四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有 （）AD平分/ EDFAE=AF AD上的點(diǎn)到B C兩點(diǎn)的距離相等到AE、AF距離相等的點(diǎn)，至U DE DF的距離也相等A、1個(gè)B

6、 、2個(gè) C 、3個(gè)D、4個(gè)5. 如圖，已知點(diǎn) D是/ ABC勺平分線上一點(diǎn)，點(diǎn) F在 BD上, PAI AB PCL BCAA / f Al 垂足分別為A, C下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.PA. AD=CPB . ABPA CBPD BCC. ABDA CBD D . / ADBZ CDB、解答題6 .已知：AD是厶ABC角平分線，DEI AB, DFL AC,垂足分別是 E、F, BD= CD證：/ B=Z C.B7 如圖，已知在 ABC中， C 90，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，AB 2BC , DE AB交AC于E .求證：BE平分 ABC .&如圖，/ B=Z C=90 , M是BC的中點(diǎn)，DM

7、平分/ ADC求證：AM平分/ DAB9.如圖，在/ AOB的兩邊 OA 0B上分別取 OM=ON OD=OE DN和EM相交于點(diǎn) C.求證：點(diǎn) C在/ AOB的平分線上.第八部分：中考體驗(yàn)一 選擇題（共3小題）1 .（2011?衢州）如圖，OP平分/ MONPAI ON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=2貝UPQ的最小值為（）A.1B. 2C. 3D. 42. （2011?恩施州）如圖， AD是厶ABC的角平分線,分別為50和39，則 EDF的面積為（）DF丄 AB,垂足為 F, DE=D(G ADGD AED 的面積A. 11B.C.3. （2010?鄂州）如圖， 人。是厶ABC中/ BAC的平分線,DE=2, AB=4,貝U AC長是（）7D.DEL AB于點(diǎn) E, DF丄 AC交 AC于點(diǎn) F. SA ab=7,A. 4B. 3C.6D. 54. （2011?岳陽）