圣維南方程組

1、簡(jiǎn)介一百多年來，雖然為了考慮更多的因素和實(shí)際應(yīng)用方便對(duì)它的基本假定作了某些簡(jiǎn)化或 改進(jìn)，產(chǎn)生出多種不同的表達(dá)形式，但其實(shí)質(zhì)沒有變化。主要進(jìn)展表現(xiàn)在求解方法的改進(jìn)和 創(chuàng)新。1877年法國(guó)工程師克萊茨提出了瞬態(tài)法。1938年蘇聯(lián)C . A .赫里斯季安諾維奇提出另一類解法特征線法。 但均因計(jì)算量較大，不得不進(jìn)行各種簡(jiǎn)化處理,使實(shí)際應(yīng)用受到限制 自50年代以來，隨著電子計(jì)算機(jī)的普及，研究和提出了一整套解法，并研究出若干個(gè)通用性 較強(qiáng)的應(yīng)用軟件（即程序系統(tǒng)），促進(jìn)了圣維南方程組在水文和其他工程領(lǐng)域中的應(yīng)用。方程組的形式一維單寬水流情況下，圣維南方程組的典型形式為：式中t為時(shí)間；s為距水道某固定斷面沿流

2、程的距離；h、v、Z0分別為相應(yīng)于s處過水?dāng)嗝娴乃?、斷面平均流速和水底高程；Hf為由于摩阻損失而引起的能量比降；g為重力加速度；t和s為自變量；h和v為因變量；ZO、Hf可由s、h和v確定。（1）式為連續(xù)方程，反映 了水道中的水量平衡，即蓄量的變化率（第一項(xiàng)）應(yīng)等于沿程流量的變化率 （第二項(xiàng)）。（2）式為運(yùn)動(dòng)方程。其中第一項(xiàng)反映某固定點(diǎn)的局地加速度，第二項(xiàng)反映由于流速的空間分布不均 勻所引起的對(duì)流加速度。以上兩項(xiàng)稱為慣性項(xiàng)。第三項(xiàng)反映由于底坡引起的重力作用，稱為 重力項(xiàng)。第四項(xiàng)反映了水深的影響，稱為壓力項(xiàng)。第三、四項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，即水面比降。 第五項(xiàng)為水流內(nèi)部及邊界的摩阻損失。該式表達(dá)了重力

3、與壓力的聯(lián)合作用使水流克服慣性力 和摩阻引起的能量損失而獲得加速度。圣維南方程組還有許多其他形式。例如：以斷面流量代替流速，以面積代替水深作為因 變量；也可考慮河道兩側(cè)的沿程入流、地轉(zhuǎn)力和水面風(fēng)力的影響；還可把垂線平均流速作為 因變量，寫出二維水體漸變不恒定明流的運(yùn)動(dòng)方程?；炯俣ń⑹ゾS南方程組的基本假定是： 流速沿整個(gè)過水?dāng)嗝妫ㄒ痪S情形）或垂線（二維情形）均勻分布，可用其平均值代替。不考慮水流垂直方向的交換和垂直加速度，從而可假設(shè)水壓力呈靜水壓力分布，即與水深成正比； 河床比降小，其傾角的正切與正弦值近似相等； 水流為漸變流動(dòng)，水面曲線近似水平。此外，在計(jì)算不恒定的摩阻損失Hf時(shí)，常假設(shè)可

4、近似采用恒定流的有關(guān)公式，如曼寧公式（見河水運(yùn)動(dòng)）。圣維南方程組描述的不恒定水流運(yùn)動(dòng)是一種淺水中的長(zhǎng)波傳播現(xiàn)象，通常稱為動(dòng)力波。 因?yàn)樗鬟\(yùn)動(dòng)的主要作用力是重力，屬于重力波的范疇。如忽略運(yùn)動(dòng)方程中的慣性項(xiàng)和壓力 項(xiàng)，只考慮摩阻和底坡的影響，簡(jiǎn)化后方程組所描述的運(yùn)動(dòng)稱為運(yùn)動(dòng)波。如只忽略慣性項(xiàng)的 影響，所得到的波稱為擴(kuò)散波。運(yùn)動(dòng)波、擴(kuò)散波及其他簡(jiǎn)化形式可以較好地近似某些情況的 流動(dòng)，同時(shí)簡(jiǎn)化計(jì)算便于實(shí)際應(yīng)用。求解方法圣維南方程組在數(shù)學(xué)上屬于一階擬線性雙曲型偏微分方程組。聯(lián)解方程組并使其符合給 定的初始條件和邊界條件，就可得出不恒定水流的流速和水深（或其他因變量）隨流程和時(shí)間的變化，即v = v（s

5、，t）和h= h（s，t） o初始條件為某一起始時(shí)刻的水流狀態(tài)，如水道沿程各 斷面的水深和流速。邊界條件為所計(jì)算的水體的邊界水流狀態(tài)，如某一河段上、下游邊界斷 面處的水位過程、流量過程或水位流量關(guān)系等。給定的初始條件和邊界條件的數(shù)目和形式必 須恰當(dāng)，符合水流的性質(zhì)，才能保證方程組的解存在和唯一，保證不致因數(shù)據(jù)的微小變化而 使方程的解發(fā)生很大的變化。此時(shí)，問題稱為是適定的，求解才有意義。除特殊情況外，很難用解析方法求得圣維南方程組的解析解。一般只能通過數(shù)值計(jì)算獲 得個(gè)別情況的近似解。常用的數(shù)值計(jì)算方法主要有以下三類：有限差分法。將所計(jì)算的水 體按照一定的網(wǎng)格劃分，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處的微分形式的圣維南方

6、程組，用某種形式的差分方程 組來逼近。邊界條件也寫成差分形成。然后逐時(shí)段地求解差分方程組，得出各網(wǎng)格點(diǎn)（如斷 面）處的水深及流速。根據(jù)所采用的差分計(jì)算方法的不同，對(duì)每一計(jì)算時(shí)段來說，或可逐個(gè) 算出各網(wǎng)格點(diǎn)處的水力要素，或是必須聯(lián)立求解各網(wǎng)點(diǎn)處的水力要素。前者稱為顯式差分法， 后者稱為隱式差分法?？巳R茨提出的瞬態(tài)法就屬于一種簡(jiǎn)化的顯式差分法。特征法。把圣 維南方程組由偏微分方程組變換為在所謂“特征”上成立的常微分方程組，通常稱為特征方 程組。在空間為一維的情況下，“特征”的幾何表示稱為特征線，而在二維則為特征面。不 恒定水流中的波動(dòng)和干擾是沿“特征”傳播的。用有限差分法聯(lián)立求解表達(dá)“特征”幾何位

7、 置的方程和特征方程組，即可求得所需的數(shù)值解。有限單元法。把水體劃分成幾何形狀簡(jiǎn) 單的單元（如一維的直線段，二維的矩形、直邊或曲邊三角形等 ），在每一單元內(nèi)，解用數(shù)學(xué)處 理比較簡(jiǎn)單的內(nèi)插函數(shù)來逼近。把圣維南方程組應(yīng)用于每個(gè)單元，變換為積分形式，并根據(jù) 某種準(zhǔn)則（如逼近的殘差最?。﹣泶_定內(nèi)插函數(shù)中的待定系數(shù)便可定解。常用的是伽遼金半 離散有限單元法。除了求解完全或簡(jiǎn)化形式的圣維南方程組的上述解法，在水文學(xué)中多年來還對(duì)一維流動(dòng) 發(fā)展出許多簡(jiǎn)化計(jì)算方法。例如，把運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為計(jì)算時(shí)段內(nèi)計(jì)算河段的蓄水量與出流量 之間關(guān)系的方程，然后聯(lián)立求解。同時(shí)，已對(duì)水文學(xué)中常用的方法與求解圣維南方程組的關(guān) 系進(jìn)行了研究。如應(yīng)用廣泛的馬斯金格姆（曾譯“馬斯京根”）流量演算法，可列為擴(kuò)散波中的特殊情形。水文學(xué)方法簡(jiǎn)單，而且能較好地適用于某些情況，今后仍將長(zhǎng)期廣泛地被應(yīng) 用。對(duì)于非漸變的流動(dòng)， 水流通過激波把兩部分漸變流連接起來。如通過水躍實(shí)現(xiàn)由急流（超臨界流）至煖流（次臨界流）的過渡。在漲潮和潰壩波中也常出現(xiàn)近乎垂直的波前。此時(shí)， 兩邊的漸變流仍可用圣維南方程組來描述。只要補(bǔ)充激波處的跳躍條件和用以判別物理上是 否許可的某種準(zhǔn)則（如熵條件等）即可求解。圣維南方程組所描述的具有自由表面的水體的漸變不恒定流動(dòng)的計(jì)算具有重要的實(shí)際意 義。洪流演進(jìn)計(jì)算是洪水預(yù)報(bào)、堤防設(shè)計(jì)