2016年全國3卷文科數(shù)學(xué)試題及答案詳解

1、絕密啟封并使用完畢前試題類型:2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1 .本試卷分第i卷(選擇題)和第n卷俳選擇題)兩部分.第i卷1至3頁，第n卷3至5頁.2 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置3 .全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效4 .考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回第i卷.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)集合 a 0,2,4,6,8,10, b 4,8,則 6ab =(d)0,2,4,6,8,10(a)4,8(b)0 26(c)0,2,6,10(2)若 z 4 3i，

2、貝u 三= |z|4 3.43.+ i i(a) 1(b)1(c) 5 5(d) 5 5(3)已知向量 ba= ( ,), bc =(23 ,1)，則/ abc=2222(a) 30 ( b) 45(c) 60 (d) 120(4)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中a點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15c, b點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 c .下面敘述不正確的是(a)各月的平均最低氣溫都在0 c以上(b)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(c)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同(d)平均最高氣溫高于 20 c的月份有5個(gè)(5)小敏打開計(jì)

3、算機(jī)時(shí)，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是m, i,n中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是8111(a) 15 (b) 8 (c) 15 (d) 30(6)若 tan 0 =3 ,貝u cos2 0 =4114(a)5(b)5 (c)5(d)5421(7)已知 a 2ab 33,c 253,則(a)bac (b) abc(c) bca (d)cab(8)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a=4, b=6,那么輸出的n=(a) 3(b) 4(c) 5(d) 6 1一.一,bc邊上的局等于 bcusina(9)在 vabc 中，b=43310

4、53 10(a)10(b) 10(c) 5(d) 10(10)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面 體的三視圖，則該多面體的表面積為(a)18 36 5(b)54 18 5(c)(d)9081(11)在封閉的直三棱柱 abc a1b1c1內(nèi)有一個(gè)體積為 v的球.若abbc, ab=6, bc=8, aa1=3, 則v的最大值是(a) 4 兀(b) 9 (c) 6 兀(d) 322t22(12)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，f是橢圓c:與 4 1(a b 0)的左焦點(diǎn)，a, b分別為c的 a b左，右頂點(diǎn).p為c上一點(diǎn)，且pfx軸.過點(diǎn)a的直線l與線段pf交于點(diǎn)m,與y軸交于點(diǎn)e. 若直

5、線bm經(jīng)過oe的中點(diǎn)，則c的離心率為(a) - (b) - (c) - (d)-3234第ii卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都 必須作答.第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分2x y 1 0,(13)設(shè)x, y滿足約束條件 x 2y 1 0,則z=2x+3y - 5的最小值為 .x 1,(14)函數(shù)y=sin x-錯(cuò)誤!未指定書簽。cosx的圖像可由函數(shù) y=2sin x的圖像至少向右平移 個(gè)單位長度得到.(15)已知直線l: x 3y 6 0與圓x2+y2=12交于a、b兩點(diǎn)，過a、b分別作

6、l的垂線與x軸交于c、d兩點(diǎn)，則|cd|二.(16)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f(x) e x 1 x,則曲線y= f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程式.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a, 1, a2 (2an 1 1)an 2an 1 0.(d 求 a2,a3;(ii)求an的通項(xiàng)公式(18)(本小題滿分12分)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖i.so(j.ao年份代碼工1.60i 401.20,00(n)建立y關(guān)于 附注：注：年份代碼1-7分別對應(yīng)年份 2008

7、 -2014.(i)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;參考數(shù)據(jù):yi9.32 ，7(yiy)20.55,錯(cuò)誤！未指定書簽。=2.646.i 1參考公式:n(ti i 1 nn(ti t)2 (yi y)i 1i 1t)(yi y)回歸方程y a bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:n(ti t)( y y)i 1n(tii 1t)2(19)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐 p-abcd中，paa地面 abcd, ad/bc, ab=ad=ac=3 pa=bc=4 m 為線段 ad上一點(diǎn)，am=2md , n為pc的中點(diǎn).(i)證明mn /平面pab;(

8、ii)求四面體 n-bcm的體積.t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量(20)(本小題滿分12分)已知拋物線c: y2=2x的焦點(diǎn)為f,平彳t于x軸的兩條直線11, 12分別交c于a, b兩點(diǎn), 交c的準(zhǔn)線于p, q兩點(diǎn).(i)若f在線段ab上，r是pq的中點(diǎn)，證明 ar/ fq;(ii)若 pqf的面積是 abf的面積的兩倍，求 ab中點(diǎn)的軌跡方程.(21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f(x) 1n x x 1.(i)討論f (x)的單調(diào)性；,x 1(ii)證明當(dāng)x (1,)時(shí)，1x；in x(iii)設(shè) c 1,證明當(dāng) x (0,1)時(shí)，1 (c 1)

9、x cx.請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請寫清題號(22)(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖，。中”內(nèi)的中點(diǎn)為p,弦pc, pd分另1j交ab于e, f兩點(diǎn)。(i )若/ pfb=2/ pcr 求/ pcd的大小;(ii)若ec的垂直平分線與 fd的垂直平分線交于點(diǎn) g,證明ogl cd。(23)(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程0為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x v5cm /在直線坐標(biāo)系xoy中，曲線g的參數(shù)方程為(x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線c2的極坐標(biāo)方程為psin伊十：)=d1.(i)寫出ci的普通方程和

10、c2的直角坐標(biāo)方程；(ii)設(shè)點(diǎn)p在g上，點(diǎn)q在c2上，求i pqi的最小值及此時(shí) p的直角坐標(biāo)(24)(本小題滿分10分)，選修45:不等式選講已知函數(shù) f(x)= i 2x-a i +a.絕密啟封并使用完畢前試題類型：新課標(biāo)出2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)正式答案、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1) c(2) d(3) a a(8) b(9) d(4) d c(6) d(10) b (11) b (12) a第ii卷填空題：本大題共3小題，每小題5分(13) 10(14) (15) 4(16) y 2x3三、解答題

11、：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分12分)1 1斛：(i)由題思得 a2 , a3 一5 分2 4()由an2(2an11)an2an 10得 2%1(41)an(an1).a因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以 n 1an一11故an是首項(xiàng)為1,公比為一的等比數(shù)列，因此 an 12分22n 1(18)(本小題滿分12分)7t 4,(tit)2i 1解：(i)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得7 ,228,(x y) 0.55,i 1(ti 1t)( y y)ti yii 140.17 4 9.32 2.89 ,2.89r 0.55 2 2.6460.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系

12、數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合 y與t的關(guān)系6(n)由 y932 1.331 及(i)得 b?77(tit)(v y)i 172(tit)2i 12.89280.103,i? y bt 1.331 0.103 4 0.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為： ？ 0.92 0.10t10將2016年對應(yīng)的t 9代入回歸方程得：y 0.92 0.10 9 1.82 .所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸12 分(19)(本小題滿分12分)2解：(i)由已知得 am ad 2 ,取bp的中點(diǎn)t ,連接at,tn ,由n為pc中點(diǎn)知 31

13、 -tn / bc , tn -bc 23 分2又ad/ bc ,故tn平行且等于am ,四邊形amnt為平行四邊形，于是mn /at .因?yàn)閍t 平面pab , mn 平面pab ,所以mn 平面pab6 分(n)因?yàn)閜a 平面abcd, n為pc的中點(diǎn),1 _.所以n到平面abcd的距離為-pa9 分2取bc的中點(diǎn)e ,連結(jié)ae .由ab ac 3得aebc, ae jab2 be2 5.由am / bc得m到bc的距離為寸5，故s bcmbcm1所以四面體n bcm的體積vn bcm 1 s bcm31 452pa 4 5232 5.12(20)(本小題滿分12分)1 .i)由題設(shè) 5弓

14、,0).設(shè)11：丫 a,l2:y b,則 ab 0,且22a b111 a ba(a2-,0),b(b2-,b),p( 1,a),q( 2,b),r( a2b)-記過a, b兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x (a b)y ab 03分(i)由于f在線段ab上，故1 ab 0.記ar的斜率為k1，fq的斜率為k2,則, a ba b1ab, ,k1 22b k2.1aa ab aa所以ar / fq5 分(n)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為d(x1,0),2一 1.11則 sabf 21ba|fd| 21ba|x11spqf一 1.11ab由題設(shè)可得一b a x1 - 1,所以x1 0 (舍去)，x1 1.

15、2122設(shè)滿足條件的ab的中點(diǎn)為e(x,y).當(dāng)ab與x軸不垂直時(shí)，由kab kde可得一2- -y(x 1).a b x 1而 a_b y ,所以 y2 x 1(x 1).2(21)解：(本小題滿分12分)當(dāng)ab與x軸垂直時(shí)，e與d重合.所以，所求軌跡方程為y2 x 1.12分1i)由題設(shè)，f (x)的定義域?yàn)?0,), f (x) 1 ,令f (x) 0,解得x 1.x 當(dāng)0 x 1時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x 1時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞減.4分(n)由(i)知， f(x)在x 1處取得最大值，最大值為f (1) 0.所以當(dāng)x 1時(shí)，ln x x 1.11x

16、1(m)由題設(shè)c 1,設(shè)g(x) 1故當(dāng) x (1,)時(shí)，ln x x 1, ln 1,即 1 x. x xln x(c 1)x cx,則 g(x) c 1 cxlnc,令 g(x) 0,解得x0lnc 1in cin c當(dāng)x x0時(shí)，g(x) 0, g(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x x0時(shí)，g(x) 0, g(x)單調(diào)遞減.9分c 1由(n)知，1 c,故0 xo 1,又 g(0)g(1) 0,故當(dāng) 0 x 1 時(shí)，g(x) 0.in c所以當(dāng) x (0,1)時(shí)，1 (c 1)x cx. 12分22 .(本小題滿分10分)選修4-1 :幾何證明選講解：(i)連結(jié) pb, bc,則 bfd pba b

17、pd, pcd pcb bcd.因?yàn)閍p bp ,所以 pbapcb,又 bpdbcd,所以 bfd pcd.又 pfdbfd 180 , pfb 2 pcd，所以 3 pcd 180pcd 60(n)因?yàn)?pcdbfd ,所以 pcdefd 180 ,由此知c,d,f,e四點(diǎn)共圓，其圓心既在ce的垂直平分線上,又在df的垂直平分線上，故g就是過c, d, f ,e四點(diǎn)的圓的圓心，所以 g在cd的垂直平分線上，因此 og cd.23 .(本小題滿分10分)選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程2x 2解：(i) ci的普通方程為 一 y2 1, c2的直角坐標(biāo)方程為 x y 4 0.5分3(n)由題意，可設(shè)點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為(v3 cos ,sin ),因?yàn)閏2是直線，所以|pq|的最小值，即 為 p 到c2的 距 離 d() 的 最 小 值 ，d( ) | 3cos;in4| 2|sin( j 2|.238分當(dāng)且僅當(dāng)2k -(k z)時(shí)，d()取得最小值，最小值為 *2,此時(shí)p的直角坐標(biāo)3