有理數(shù)培優(yōu)題(有答案)

1、有理數(shù)培優(yōu)題 基礎(chǔ)訓(xùn)練題 一、填空： 1在數(shù)軸上表示一2的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于（）。 2、若 I a I = a,則 a （） 0. 3、任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是（）。 4、如果a+b=O,那么a、b 一定是（）。 5、將0.1毫米的厚度的紙對(duì)折20次，列式表示厚度是（） 6、已知 |a| = 3,|b| = 2,|a-b|=a-b，貝U a （） 7、|x-2|，|x 3|的最小值是（）。 ）0 （ ）0 z這三個(gè) 1 1 8在數(shù)軸上，點(diǎn)A B分別表示-，貝U線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是（ 4 2 2010 9、 若a,b互為相反數(shù)，m, n互為倒數(shù)，P的絕對(duì)值為3，則b mn - p2二 p 1

2、0、若 ab* 0,則 |a|，b，|c| 的值是（）. a b c 11、下列有規(guī)律排列的一列數(shù)：1、3、J 5、3、，其中從左到右第100個(gè)數(shù)是（ 43 85 二、解答問題： 1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4, z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離是7,求x、y、 數(shù)兩兩之積的和 3、若2x |5x| |3x| 4的值恒為常數(shù)，求x滿足的條件及此時(shí)常數(shù)的值 4、若 a,b,c為整數(shù)，且 |a -b|2010 |c -a|2010=1，試求 |c-a|a-b| b - c|的值 1 5 7.911丄 1315 丄 17 5、計(jì)算：一一 2 _ 一 十一十一十 6 122030425672

3、 6、應(yīng)用拓展：將七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下?，F(xiàn)要求每次翻轉(zhuǎn)其中任意 四只，使它們杯口朝向相反，問能否經(jīng)有限次翻轉(zhuǎn)后，讓所有杯子杯口朝下? 能力培訓(xùn)題 知識(shí)點(diǎn)一：數(shù)軸 例1:已知有理數(shù)a在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù) b在原點(diǎn)的左方，那么（） A. ab : b B . ab b C . a b 0 D . a - b 0 拓廣訓(xùn)練： 1、如圖a,b為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在ab,b-2a, a-b,b-a中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）“祖 沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）a aOb A. 1 B . 2 C . 3 D . 4 3、把滿足2a -3，試討論a與3的大小 2、已知兩數(shù)a, b，如果a

4、比b大，試判斷 a與 b的大小 4、利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題。 a+b+a+b + b-c 化簡結(jié)果為（） 例5:有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子 A. 2a 3b-c B . 3b-c C . b c D . c-b -1 a 1 b c 拓廣訓(xùn)練： 1有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡a+b b-1 ac - 1-c的結(jié)果為 A ba O c 1 2、已知a+b +ab =2b，在數(shù)軸上給出關(guān)于 a,b的四種情況如圖所示，則成立的是 。 a 0 bb 0 a 0 a b0 b a 3、已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的位置如下圖：貝Uc 1+a c + a-

5、b化簡后的結(jié)果是（） （湖北省初中數(shù)學(xué)競賽選撥賽試題） -1 c O a b A. b -1 B . 2a b 1 C . 1 2a b 2c D . 1 - 2c b 5 且 -i-M B，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn) 0 1 三、培優(yōu)訓(xùn)練 1、已知是有理數(shù)，且（xlf+（2y+lf=0，那以x + y的值是（ 1 31 亠 33 A.B . C . 或一 D .1 或 2 22 22 2（ 07樂山）如圖，數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn) A向左移動(dòng)2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn) 點(diǎn)C表示的數(shù)為1,則點(diǎn)A表示的數(shù)為（） A . 7B . 3C . - 3D . - 2 AB CD 且d - 2a =10，那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)

6、是（） A. A點(diǎn) B . B點(diǎn) C . C點(diǎn) D . D點(diǎn) 4、數(shù)a,b, c,d所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A, B, C, D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么a c與b d的大小關(guān)系是（） AD 0 C B A. a c ： b db . a c=b d C . a c . b d d .不確定的 5、 不相等的有理數(shù) a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 A, B, C,若ab+bc=a c，那么點(diǎn)B （） A.在A、C點(diǎn)右邊 B .在A、C點(diǎn)左邊 C .在A C點(diǎn)之間 D .以上均有可能 6、 設(shè)y = X-1 +|x +1，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題） A. y沒有最小值B.只一個(gè)x使y

7、取最小值 C.有限個(gè)x （不止一個(gè)）使 y取最小值 D.有無窮多個(gè)x使y取最小值 1 1 7、 在數(shù)軸上，點(diǎn) A B分別表示-和，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是。 3 5 8、 若a 0,b c0，則使x a| +卜b =a b成立的x的取值范圍是 。 9、 100| 95 x+ x + 221| 221 x是有理數(shù)，則 的最小值是 o b OA B o a b B A O b a o O (A)B B O A d b O a c 10、已知a,b,c,d為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示: 且 6a =6b =3c =4d =6,求 3a2d 3b2a + 2bc 的值。 11、（南京市中考題）

8、（1）閱讀下面材料: 點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù) a,b, A、B兩點(diǎn)這間的距離表示為 AB，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí), 不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1, AB = OB =|b = ab ;當(dāng)A B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)， 如圖2，點(diǎn)A B都在原點(diǎn)的右邊 AB = OB-OA = b-a=b-a=a-b ； 如圖3，點(diǎn)A B都在原點(diǎn)的左邊 AB = OB-OA=b-ab （a）=a-b 如圖 4，點(diǎn) A、B在原點(diǎn)的兩邊 AB = OA+|OB =|a+|b =a+( b)=|a b。 綜上，數(shù)軸上 A B兩點(diǎn)之間的距離AB = a b。 (2)回答下列問題： 數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)

9、軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸 上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是 ； 數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 ，如果 AB =2，那么x為； 當(dāng)代數(shù)式x+1+x-2取最小值時(shí)，相應(yīng)的 x的取值范圍是 求 x -1 + x -2 +|x -3 + +|x -1997 的最小值。 聚焦絕對(duì)值 一、閱讀與思考 絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，引入絕對(duì)值概念之后，對(duì)有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的算術(shù)根 可以有進(jìn)一步的理解；絕對(duì)值又是初中代數(shù)中一個(gè)基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、解方程與 解不等式時(shí)，常常遇到含有絕對(duì)值符號(hào)的問題，理解、掌握絕對(duì)值概念應(yīng)注意以下幾個(gè)方面： 1、

10、脫去絕值符號(hào)是解絕對(duì)值問題的切入點(diǎn)。 脫去絕對(duì)值符號(hào)常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法。 去絕對(duì)值符號(hào)法則： a (a 0 ) a = 0(a = 0 ) -a(a 0 ) 2、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義 從數(shù)軸上看a表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離; a - b表示數(shù)a、數(shù)b的兩點(diǎn)間的距離。 ab = a b a+ b牛+|b 3、靈活運(yùn)用絕對(duì)值的基本性質(zhì) aO a2=a?=a2 a b蘭a - b 二、知識(shí)點(diǎn)反饋 1去絕對(duì)值符號(hào)法則 例 1:已知 a = 5, b = 3且 a _b = b _a 那么 a + b =。 拓廣訓(xùn)練： 1、已知a =1,b =2, c =3,且a b c，

11、那么（a+bcf =。（北京市“迎春杯”競賽題） 2、若a =8, b =5，且a+bO，那么a b的值是（） A. 3 或 13 B . 13 或-13 C . 3 或-3 D . -3 或-13 2、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義 例2 : X+1+X1的最小值是（） A. 2 B . 0 C . 1 D . -1 解法1、分類討論 當(dāng) X 1 時(shí)，x +1 + x -1 = （X +1 ）（x 1 ）= 2xa2 ； 當(dāng)一 1 2。 比較可知，X+1 + X-1的最小值是2,故選A。 解法2、由絕對(duì)值的幾何意義知X-1表示數(shù)X所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；X + 1表示數(shù)X 所對(duì)應(yīng)的

12、點(diǎn)與數(shù)-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；x+1+|x-1的最小值是指X點(diǎn)到1與-1兩點(diǎn)距離和的最小 值。如圖易知 x -1 x 1 x 當(dāng)一 1蘭X蘭1時(shí)，x+1 +|x1的值最小，最小值是 2故選A。 拓廣訓(xùn)練： 1、已知X 3 + x +2的最小值是a , X3x+2的最大值為b，求a + b的值。 三、培優(yōu)訓(xùn)練 1如圖，有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示:-2 a -10 b 1 則在a+b,b 2a, b a, a b, a+2b 4中，負(fù)數(shù)共有（）（湖北省荊州市競賽題） A. 3個(gè)B . 1個(gè)C . 4個(gè)D . 2個(gè) 2、若m是有理數(shù)，則 m m 定是（） A.零B .非負(fù)數(shù) C .正數(shù)D

13、.負(fù)數(shù) 3、如果X2 +x2 = 0,那么x的取值范圍是（） A. x . 2 B . x：2 C . x_2 D . xe2 4、 a,b是有理數(shù)，如果a-b =a+b ,那么對(duì)于結(jié)論（1） a 一定不是負(fù)數(shù)；（2） b可能是負(fù)數(shù)，其中（） （第15屆江蘇省競賽題） A.只有（1）正確 B .只有（2）正確 C . （1） （2）都正確 D . （1） （2）都不正確 5、已知a = a，則化簡a -1 一 a - 2所得的結(jié)果為（） A . -1 B . 1 C . 2a -3 D . 3 -2a 6、已知0蘭a蘭4，那么a 2 +|3a的最大值等于（） A . 1 B . 5 C . 8

14、 D . 9 ab cabc 7、 已知a, b,c都不等于零，且x = +門，根據(jù)a,b,c的不同取值，x有（） a |b| cabC A.唯一確定的值 B . 3種不同的值 C . 4種不同的值 D . 8種不同的值 8、滿足a -b = a +|b成立的條件是（）（湖北省黃岡市競賽題） A . ab 亠 0 B . ab 1 C . ab 二 0 D . ab 豈 1 x 5 x 2 x 9、 若2 ex c5，則代數(shù)式+ 的值為。 x - 52 - x x 10、若 ab 0，則 列衛(wèi)旦的值等于 a b ab abc abc 11、已知a,b, c是非零有理數(shù)，且 a+b+c = 0,

15、 abc a 0 ,求 + + +的值。 |a|b c abc 12、已知 a,b,c,d 是有理數(shù)，a_b 蘭9, c_d 0 ） 我們知道|x = 0（x=0 ），現(xiàn)在我們可以用這一個(gè)結(jié)論來化簡含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式 -x （X 0 ） x +1 + x -2時(shí)，可令x +1 =0和x -2 = 0 ,分別求得x = 1,x = 2 （稱一 1,2分別為x + 1與x 2的 零點(diǎn)值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值 x - -1和x = 2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況： （1）當(dāng) x ： -1 時(shí)，原式x 1 - x-2 - -2x 1; （2）當(dāng) 一1 空 x :：:

16、 2 時(shí)，原式=x 1 - x -2=3 ； （3）當(dāng) x _ 2 時(shí)，原式=x 1 x-2=2x-1。 2x+1（X_1） 綜上討論，原式=3 （一1蘭x 2 ） .2x-1（x32） 通過以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問題： （1）分別求出x + 2和x4的零點(diǎn)值；（2）化簡代數(shù)式x + 2 + x 4 14、（ 1）當(dāng)x取何值時(shí)，x-3有最小值？這個(gè)最小值是多少？（ 2）當(dāng)x取何值時(shí)，5- x+2有最大值? 這個(gè)最大值是多少？ （3）求x4+|x-5的最小值。（4）求x7十収-8+|x 9的最小值。 15、某公共汽車運(yùn)營線路 AB段上有A D、C、B四個(gè)汽車站，如圖，現(xiàn)在要在 AB段上修建一個(gè)加

17、油站 M, 為了使加油站選址合理，要求 A，B, C, D四個(gè)汽車站到加油站 M的路程總和最小，試分析加油站 M在何 處選址最好? 16、先閱讀下面的材料，然后解答問題: 在一條直線上有依次排列的 n n .1臺(tái)機(jī)床在工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站P,使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng) 站P的距離總和最小，要解決這個(gè)問題，先“退”至吐匕較簡單的情形： AlA2A1 A2（ P） DA3 甲P乙甲乙 :丙 如圖，如果直線上有 2臺(tái)機(jī)床（甲、乙）時(shí)，很明顯P設(shè)在A,和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵曳?別到P的距離之和等于 A,到A2的距離. P設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床 A2處最合適，因?yàn)槿绻?如圖，如果直線上有3臺(tái)機(jī)

18、床（甲、乙、丙）時(shí)，不難判斷, P放在A2處，甲和丙分別到 P的距離之和恰好為 A到A3的距離；而如果 P放在別處，例如 D處，那么甲 和丙分別到P的距離之和仍是 A到A3的距離，可是乙還得走從 A2到D近段距離，這是多出來的，因此 P 放在A2處是最佳選擇。不難知道，如果直線上有4臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方；有 5臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)位置。 問題（1）:有n機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？ 問題（2）根據(jù)問題（1）的結(jié)論，求 x1 + x2 + x 3 +卜617的最小值。 有理數(shù)的運(yùn)算 、閱讀與思考 在小學(xué)里我們已學(xué)會(huì)根據(jù)四則運(yùn)算法則對(duì)整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴(kuò)

19、大到了有 理數(shù)范圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計(jì)算，有理數(shù)的計(jì)算與算術(shù)數(shù)的計(jì)算有很大的不同：首先，有理數(shù)計(jì)算 每一步要確定符號(hào)；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計(jì)算很多是字母運(yùn)算，也就 是通常說的符號(hào)演算。 數(shù)學(xué)競賽中的計(jì)算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特 點(diǎn)，將推理與計(jì)算相結(jié)合， 靈活選用算法和技巧， 提高計(jì)算的速成度，有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有: 二、知識(shí)點(diǎn)反饋 1利用運(yùn)算律：加法運(yùn)算律 加法交換律a +b =b +a乘法運(yùn)算律 加法結(jié)合律a +(b +c卜但十b J+c 1利用運(yùn)算律；2、以符代數(shù)；3、裂項(xiàng)相消；4、分解相約；5

20、、巧用公式等。 乘法交換律ab =b a 乘法結(jié)合律a b c = ab c 乘法分配律a b - c = ab亠ac 232、(2 例 1：計(jì)算：23 42 i_2.75+ 7 5i3丿I3丿 22 解：原式=4.6 42 -2.75 - 7 - 2 =4.6 一 2.75 一 3 = 4.6 一 5.75 - -1.15 33 拓廣訓(xùn)練： 2 275 1 計(jì)算(1) -0.6 -0.080.922 5 1111 (2)31 59 411 3 + 丄一 .4八 - 79 1 9 114 4 例2:計(jì)算： 、25 丿 解：原式=一 10 一丄 儀50 = - 10漢50-丄玄50一(500-2

21、)=*98 、25 丿、_25 丿 拓廣訓(xùn)練： 1 計(jì)算： 2 3 4 51_1_丄_1 12345 丿 2、裂項(xiàng)相消 a b 11 (1) =+ ab a b (4) 21 1 n n 1 n 2 n n 1 in 1 n 2 1 1 1 1 + + + + 1 2 2 3 3 4 2009 2010 計(jì)算 解：原式=1W+畀丄一丄】 、2 丿 12 3 丿 3 4 丿（2009 2010 丿 丄.1 4 2009 1 2010 1 一丄二迎 2010 2010 1、計(jì)算: 拓廣訓(xùn)練: 2007 2009 3、以符代數(shù) 例4 :計(jì)算:（1727+2711紆譜+磅一碣） 解：分析：17 =16

22、理,27 丄=ZG24,37 =10西 27 27 17 17 39 39 人八12 17 38 7 1 37 34 24 76 令 A = 13 - 8 - -5-， 則17 27 11 =16 - 26 -102A 17 27 39 27 17 39 27 17 39 原式=2A r A =2 拓廣訓(xùn)練: 1、計(jì)算： 口 +1 + +)漢 1 + 】 + + I- 1 + - +- + f- +1 +； 12 32006 丿 2 32005丿 i 2 32006 丿 1.2 32005丿 4、分解相約 例5:計(jì)算： 尹玄2 1 x2x4+2x4x8 + n 2n 4n i 訂 x3x9 +

23、 2乂6x18+ +n 3n 9n 丿 解：原式= 巾 X2 X4 + 2 匯(1 X2 X4 )+ 十n(1 x 2匯 4 )彳=,x2 x 4(1 十2 + 十 n )丫 11：9+2汽(1匯3工9)+- + n(1=3x9)丿1疋3漢9漢(1+2+. + n)j 2 =1x2x4）64 訂述3過9丿_729 三、培優(yōu)訓(xùn)練 1、a是最大的負(fù)整數(shù), .2009 b是絕對(duì)值最小的有理數(shù)，則a2007 -一 2008 2、計(jì)算: (1) 1 1 1 1 + + + . .+ 3 55 77 91997 1999 (2) (0.25( 乂 (一8丫 一2 + ( 2$+(6十丄 1= 4 ;當(dāng) /

24、 時(shí)，a4 ;當(dāng) aw時(shí)，a4. 拓廣訓(xùn)練：略。 例5、C 拓廣訓(xùn)練：1、一 2;2、3、D 三、培優(yōu)訓(xùn)練 1、C 2、D 3、B4、A 5、C 6、D 7、 8、b - x - a ； 9、225 10、5;11、3, 3, 4; x 1 , 1 或一3;-仁 X : 997002 聚焦絕對(duì)值 例 1、一 2 或一8. 2、A 拓廣訓(xùn)練：1、4或0; 例2、A 拓廣訓(xùn)練：1、通過零點(diǎn)值討論得 a=5,b=5;所以a+b=10. 三、培優(yōu)訓(xùn)練 1、- -1； 2 、 998 8；3 、 1； 4 、 1225 5997 2 6、 1998 1997 98 97 7、C； 8、D -一 a 原式

25、二1 - 丄 2009 ,12752 解析如下: 332 t 12 =9 =(1 2) 13233 =36 =(1 23)2 .13 十23 十33 十+n3 = (1+2+3+十 n)2 = 1 n( n +1 2 2、 3、 實(shí)戰(zhàn)演練 1、1997.解析如下 原式=999 X (998998998+1) 998 X (999999999- 1) 333 668 1, 4、 20 13299 分析如下: 1_1 F 1丄12 a-2aa2 8a-2 a 2 a 64 729 2 解析： 713 23 33 +n3 =(123n)2 = n n 1 2 原式 一1 疋2 疋4(1 +8 + + n3 )丁 3 1 疋3 疋9(1 +8 + .+ n 6、A解析如下 22 15 223344200= 4000 13243520012001 7、20 21 解析如下: “411811 + , + 4011 =+ 19 211921 1 313 3 535 10、 1 1 1 1 O 1 2 2 - 丄21 1 一19 丄一 1335 8、2 . 12123123 412 2010 -1 9、 200 101 解析如下 =2丄丄 2 1212312 34 2丄丄丄 6 12 20 1 =1 - 3 5050 =2 1 1 11 2.36 1