中考初中數(shù)學(xué)精講精練——幾何題如何添加輔助線

1、初中幾何常見(jiàn)輔助線作法歌訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，

2、比例中項(xiàng)一大片。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。切勿

3、盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。初中數(shù)學(xué)證明題輔助線典型訓(xùn)練一些幾何問(wèn)題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分繁難，若通過(guò)適當(dāng)?shù)难a(bǔ)形來(lái)進(jìn)行，即添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形填補(bǔ)成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原題的本質(zhì)得到充分顯示。通過(guò)對(duì)新圖形的分析，使原問(wèn)題順利獲解。這種方法我們稱(chēng)之為補(bǔ)形法。它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過(guò)的三解形、平行四邊形、圓都可以作為補(bǔ)形對(duì)象?，F(xiàn)舉幾例：一、補(bǔ)成三角形：1、補(bǔ)成三角形：例1：如圖1，已知：e為梯形abcd的腰c(diǎn)d的中點(diǎn)；求證：abe的面積等于梯形abcd面積的一半。分析：延長(zhǎng)a

4、e交底邊ac延長(zhǎng)線于f，構(gòu)造等面積三 角形。這也是梯形常用的添加輔助線的方法。abcdef圖 1證明：由題意得，aeef deef aedcefcfedae故有，sbfesabe由圖可知，梯形面積等于cbeadeabe即，cbecfeabebfeabeabeabe2abe即abe面積等于梯形面積的一半2：補(bǔ)成等腰三角形，例 2 如圖 2.已知a90，abac，12，cebd，求證：bd2ce 分析：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱(chēng)圖形，角平分線是對(duì)稱(chēng)軸，故根據(jù)對(duì)稱(chēng)性作出輔助線，不難發(fā)現(xiàn) cf2ce，再證 bdcf 即證abdacf即可。 證明：由題意得aed與adb同為1的余角abcdef圖2aedadb 且b

5、adcaf90 又已知abac 故由可得rtabdrtacf 因此有bdcf 即bdcfcefe fbc關(guān)于be對(duì)稱(chēng) fece 故可寫(xiě)為bd2ce 證畢3.補(bǔ)成直角三角形例 3.如圖 3，在梯形 abcd 中，adbc，bc90，f、g分別是 ad、bc 的中點(diǎn)，若 bc18，ad8，abcdefg圖3求 fg 的長(zhǎng)。分析：從b、c 互余，考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕?，故延長(zhǎng) ba、cd，要求 fg，需求 ef、eg。解：4.補(bǔ)成等邊三角形例 4.圖 4，abc 是等邊三角形，延長(zhǎng) bc 至 d，延長(zhǎng) ba 至 e，使 aebd，連結(jié) ce、ed。 求證：eced分析：要證明 eced，通常要

6、證ecdedc，但難以實(shí)現(xiàn)。這樣可采 用補(bǔ)形法即延長(zhǎng) bd 到 f，使 bfbe，連結(jié) ef。二、補(bǔ)成特殊的四邊形1.補(bǔ)成平行四邊形例 5.如圖 5，四邊形 abcd 中，e、f、g、h 分別是 ab、cd、ac、bd 的中點(diǎn)，并且 e、f、g、h 不在同一條直線上，求證：ef 和 gh 互相平分。 分析：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故要證結(jié)論，需考慮四邊 形 gehf 是平行四邊形。證明：2.補(bǔ)成矩形例 6.如圖 6，四邊形 abcd 中，a60，bd90，ab200m，cd100m，求 ad、bc 的長(zhǎng)。 分析：矩形具有許多特殊的性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造矩形，可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角 形，于是

7、一些四邊形中較難的計(jì)算題不難獲解。 圖6 3.補(bǔ)成菱形例 7.如圖 7，凸五邊形 abcde 中，a=b120，eaabbc2，cd de4，求其面積分析：延長(zhǎng) ea、cb 交于 p，根據(jù)題意易證四邊形 pcde 為菱形。解：圖7 4.補(bǔ)成正方形例 8.如圖 8，在abc 中，adbc 于 d，bac45，bd3，dc2。 求abc 的面積。 分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實(shí)有些困難，如果 從題設(shè)bac45，adbc 出發(fā)，可以捕捉到利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)正方 形的信息，那么問(wèn)題立即可以獲解。 解： 圖85.補(bǔ)成梯形例 9如圖 9，已知： g 是abc 中 bc 邊上的中線的

8、中點(diǎn)，l 是abc 外的一條直線，自 a、b、 1 c、g 向 l 作垂線，垂足分別為 a1、b1、c1、g1。求證：gg1 4 (2aa1bb1 cc1)。分析：本題從已知條件可知，中點(diǎn)多、垂線多特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形 來(lái)加以解決比較恰當(dāng)，故過(guò) d 作 dd1l 于 d1，則 dd1 既是梯形 bb1c1c 的中 位線，又是梯形 dd1a1a 的一條底邊，因而，可想到運(yùn)用梯形中位線定理突破， 使要證的結(jié)論明顯地顯示出來(lái)，從而使問(wèn)題快速獲證。 證明：圖9 三、鞏固練習(xí) 1、在abc 中，ac=bc，d 是 ac 上一點(diǎn)，且 ae 垂直 bd 的延長(zhǎng)線于 e，又 2ae=bd 求證：be 平分abc。2、如圖，已知：在abc 內(nèi)，bac=60，acb=40，p、q 分別在 bc、ca 上，并且 ap、bq 分別 是bac、abc 的角平分線，求證：bq+