信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)7連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分析

1、實(shí)驗(yàn)七連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)S域零極點(diǎn)分析 一、目的 (1) 掌握連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系 (2) 掌握零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)沖激響應(yīng)時(shí)域特性之間的關(guān)系 (3) 掌握利用MATLAB進(jìn)行S域分析的方法 二、零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)穩(wěn)定性 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H (s)的零極點(diǎn)分布來(lái)分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是零極點(diǎn)分析的重要應(yīng) 用之一。穩(wěn)定性是系統(tǒng)固有的性質(zhì)，與激勵(lì)信號(hào)無(wú)關(guān)，由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)包含了系統(tǒng) 的所有固有特性，顯然它也能反映出系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 對(duì)任意有界信號(hào)f(t)，若系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn) 定系統(tǒng)，否則，則稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 上述穩(wěn)定性的定義可以等效為下列條件： 時(shí)域條件：連續(xù)系

2、統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為h(t)dt，即沖激響應(yīng)絕對(duì)可積； 復(fù)頻域條件：連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為系統(tǒng)函數(shù) H(s)的所有極點(diǎn)位于S平面 的左半平面。 系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)域條件和頻域條件是等價(jià)的。因此，只要考察系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn) 分布，就可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于三階以下的低階系統(tǒng)，可以利用求根公式方便地求 出極點(diǎn)位置，從而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，但對(duì)于告階系統(tǒng)，手工求解極點(diǎn)位置則顯得非常困 難。這時(shí)可利用MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程。 例7-1 :已知某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為: H(s) 試用MATLAB求出該系統(tǒng)的零極點(diǎn), s2 3s 2 8s4 2s3 3s2 s 5 畫出零極點(diǎn)圖，并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 解：調(diào)用實(shí)

3、驗(yàn)六介紹的繪制連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖函數(shù)sjdt即可解決此問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的 MATLAB命令為： a=8 2 3 1 5; b=1 3 2; p,q=sjdt(a,b) 運(yùn)行結(jié)果為： P = -0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i0.4905 - 0.7196i0.4905 + 0.7196i q = -2 -1 繪制的零極點(diǎn)圖如圖7-1所示。 由程序運(yùn)行結(jié)果可以看出，該系統(tǒng)在S平面的右半平面有一對(duì)共軛極點(diǎn)，故該系統(tǒng) 是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)。 三、零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)沖激響應(yīng)時(shí)域特性 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H (s)，沖激響應(yīng)為h(t)，貝U H(s) 0 h(t)estdt 顯然

4、，H(s)必然包含了 h(t)的本質(zhì)特性。 對(duì)于集中參數(shù)的LTI連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)可表示為關(guān)于s的兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即 B(s)(s q) (7-1) H(s)少C誤 A(s)(s Pi) i 1 連續(xù)系詵零極點(diǎn)圖 實(shí)釉 u 1 J 圖7-1例7-1的系統(tǒng)零極點(diǎn)圖 其中qj(j 1,2,M)為H(s)的M個(gè)零點(diǎn)，Pi(i 1,2, N)為H (s)的N個(gè)極點(diǎn)。 若系統(tǒng)函數(shù)的N個(gè)極點(diǎn)是單極點(diǎn)，則可將H(s)進(jìn)行部分分式展開為： N k H(s) 丄(7-2) i 1 s Pi 從式(7-1)和(7-2)可以看出，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的時(shí)域特性完全由系統(tǒng)函數(shù) H(s) 的極點(diǎn)位置決定。H(s)的每

5、一個(gè)極點(diǎn)將決定h(t)的一項(xiàng)時(shí)間函數(shù)。顯然，H(s)的極點(diǎn) 位置不同，則h(t)的時(shí)域特性也完全不同。下面利用例子說(shuō)明 H (s)的極點(diǎn)分布與h(t)時(shí) 域特性之間的關(guān)系。 例7-2：已知連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布如圖 7-2所示，試用MATLAB分析系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t) 的時(shí)域特性。 解：系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖已知，則系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)就可確定。這樣就可利用繪制連續(xù) 系統(tǒng)沖激響應(yīng)曲線的 MATLAB函數(shù)impulse。，將系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的時(shí)域波形繪制出 來(lái)。 對(duì)于圖7-2(a)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s) 1，即系統(tǒng)的極點(diǎn)位于原點(diǎn)，繪制 s 沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下： a=1 0

6、; b=1； impulse(b,a) 繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3(a)所示，此時(shí)h(t)為單位階躍信號(hào)。 63 圖7-2例7-2的系統(tǒng)零極點(diǎn)圖 葉址陽(yáng)耳城n萌 ine aec I (c) Q由一_百* D D? n,4 OE OB m(3tc. (a)(b) (e) (d) 圖7-3例7-2的系統(tǒng)沖激響應(yīng)時(shí)域波形圖 對(duì)于圖7-2 (b)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為 H(s) 丄，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位于 S平 s 面左半平面的實(shí)極點(diǎn)，令 2，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下： a=1 2; b=1； impulse(b,a) 繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3 (b)所示，此時(shí)h(

7、t)為衰減指數(shù)信號(hào) 對(duì)于圖7-2(c)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位于S平 面右半平面的實(shí)極點(diǎn)，令 a=1 -2; b=1; s 2，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的MATLAB命令如下： impulse(b,a) 繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3(c)所示，此時(shí)h(t)為隨時(shí)間增長(zhǎng)的指數(shù)信號(hào) 對(duì)于圖7-2(d)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H (s)2，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位 (s ) 于S平面左半平面的一對(duì)共軛極點(diǎn)，令0.5、4，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的 MATLAB命令如下： a=1 1 16.25; b=1; impulse(b,a,5) 繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3(d)所示，此

8、時(shí)h(t)為按指數(shù)衰減的正弦振蕩信 號(hào)。 對(duì)于圖7-2(e)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位于 S s 平面虛軸上的一對(duì)共軛極點(diǎn)，令4，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的 MATLAB命令如下： a=1 0 16; b=1; impulse(b,a,5) 繪制的沖激響應(yīng)h(t)波形如圖7-3(e)所示，此時(shí)h(t)為等幅正弦振蕩信號(hào)。 對(duì)于圖7-2(f)所示的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)22，即系統(tǒng)的極點(diǎn)為位 (s ) 于S平面右半平面上的一對(duì)共軛極點(diǎn)，令0.5、4，繪制沖激響應(yīng)時(shí)域波形的 MATLAB命令如下： a=1 -1 16.25; b=1; impulse(b,a,5) 繪制的沖激響

9、應(yīng)h(t)波形如圖7-3(f)所示，此時(shí)h(t)為按指數(shù)增長(zhǎng)的正弦振蕩信 號(hào)。 從上述程序運(yùn)行結(jié)果和繪制的系統(tǒng)沖激響應(yīng)曲線，可以總結(jié)出以下規(guī)律：系統(tǒng)沖激 響應(yīng)h(t)的時(shí)域特性完全由系統(tǒng)函數(shù) H(s)的極點(diǎn)位置決定，H(s)位于S平面左半平面 的極點(diǎn)決定了 h(t)隨時(shí)間衰減的信號(hào)分量，位于 S平面虛軸上的極點(diǎn)決定了沖激響應(yīng)的 穩(wěn)態(tài)信號(hào)分量，位于S平面右半平面的極點(diǎn)決定了沖激響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)的信號(hào)分量。 三、由連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性 由前面分析可知，連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布完全決定了系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，顯然, H(j )的方法- 系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布也必然包含了系統(tǒng)的頻率特性。 下面介

10、紹如何通過(guò)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布來(lái)直接求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng) H(j )的一種直 幾何矢量法，以及如何用MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程。 幾何矢量法是通過(guò)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)分布來(lái)分析連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng) 觀而又簡(jiǎn)便的方法。該方法將系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)是為S平面上的矢量，通過(guò)對(duì)這些矢量 的模和幅角的分析，即可快速確定出系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。其基本原理如下： 設(shè)某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為： M B(s)(s qj) H(s) -(-) C4 A(s)(s P) i 1 其中qj(J 1,2,M)為H(s)的M個(gè)零點(diǎn)，Pi(i 1,2,N)為H(s)的N個(gè)極點(diǎn)。則頻率 響應(yīng)為: M (s qj) H(j ) H(s)Sj C

11、 稈(7-3) (s pj i 1 現(xiàn)在從幾何矢量空間的角度分析S平面，即將S平面的任一點(diǎn)看成是從原點(diǎn)到該點(diǎn) 的矢量，則j即是從S平面原點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量。同理，qj(j 1,2, ,M ) 和Pi(i 1,2,N)即是從S平面原點(diǎn)到系統(tǒng)函數(shù)各零點(diǎn)和極點(diǎn)的矢量。 現(xiàn)在考慮矢量j qj，由矢量運(yùn)算可知，它實(shí)際上就是零點(diǎn)q到虛軸上角頻率為 的點(diǎn)的矢量，如圖7-3所示；而矢量j Pi則是極點(diǎn)Pi到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量 圖7-3連續(xù)系統(tǒng)幾何矢量法示意圖 jq BjJ jPi Aej 其中，Bj為矢量j 的幅角。 因此有： qj的模, j為該矢量的幅角; A為矢量j Pi的模，i為該矢量

12、M j j (7-4) J) H(j ) C |H(j )ej () (Aeji) i 1 則系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性為: M Bj H(j ) c j 1 C N (7-5) () A i 1 MN ji j 1i 1 (7-6) 由上述分析可以得出如下結(jié)論： 連續(xù)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng) H(j )等于系統(tǒng)函數(shù)所有零點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn) 的距離之積與系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的距離之積的比值； 連續(xù)系統(tǒng)的相頻響應(yīng)()等于系統(tǒng)函數(shù)所有零點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的 矢量相角之和與系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)到虛軸上角頻率為的點(diǎn)的矢量相角之和的 差值。 讓矢量j沿著虛軸變化，即角頻率由0 進(jìn)行改變，便可直觀

13、地求出系統(tǒng)幅頻 響應(yīng)和相頻響應(yīng)隨的變化，從而分析出系統(tǒng)的頻率特性。 根據(jù)上述結(jié)論，若已知系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布，即可直接由幾何矢量法分析出系統(tǒng)的頻 率特性。 上述過(guò)程可用MATLAB快速實(shí)現(xiàn)。用MATLAB實(shí)現(xiàn)已知系統(tǒng)零極點(diǎn)分布，求系統(tǒng) 頻率響應(yīng)，并繪制其幅頻特性和相頻特性曲線的程序流程如下： (1) 定義包含系統(tǒng)所有零點(diǎn)和極點(diǎn)位置的行向量q和p； (2) 定義繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的頻率范圍向量fl和f2、頻率取樣間隔k，并產(chǎn) 生頻率等分點(diǎn)向量f; (3) 求出系統(tǒng)所有零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)的距離； (4) 求出系統(tǒng)所有零點(diǎn)和極點(diǎn)到這些等分點(diǎn)的矢量相角； (5) 根據(jù)式(7-5)和(7-6)求出fl

14、到f2頻率范圍內(nèi)各頻率等分點(diǎn)的|H (j )和 ()； (6) 繪制f1f2頻率范圍內(nèi)系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。 下面是完成上述分析過(guò)程的MATLAB實(shí)用函數(shù)splxy()。 function splxy(f1,f2,k,p,q) %根據(jù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線程序 %f1、f2:繪制頻率響應(yīng)曲線的頻率范圍(即頻率起始和終止點(diǎn)，單位為赫茲) %p、q：系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)位置行向量 %k:繪制頻率響應(yīng)曲線的頻率取樣間隔 p=p; q=q; f=f1:k:f2;%定義繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的頻率 范圍 w=f*(2*pi); y=i*w; n=len gth(p); m=le ng

15、th(q); if n=0%如果系統(tǒng)無(wú)極點(diǎn) yq=on es(m,1)*y; vq=yq-q* on es(1,le ngth(w); bj=abs(vq); cosaij=a ngle(vq)./pi.*180; ai=1; %如果系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn) thetai=O; elseif m=0 yp=on es( n,1)*y; vp=yp-p* on es(1,le ngth(w); ai=abs(vp); thetai=a ngle(vp)./pi.*180; bj=1; cosaij=0; else yp=on es( n,1)*y; yq=on es(m,1)*y; vp=yp-p* on e

16、s(1,le ngth(w); vq=yq-q* on es(1,le ngth(w); ai=abs(vp); thetai=a ngle(vp)./pi.*180; bj=abs(vq); cosaij=a ngle(vq)./pi.*180; end subplot(121); Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1); plot(f,Hw); title(連續(xù)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線) xlabel(瀕率w (單位：赫茲) ylabel(F(jw) subplot(122); An gw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1); plot(f,A ngw); titl

17、e(連續(xù)系統(tǒng)相頻響應(yīng)曲線) xlabel(瀕率w (單位：赫茲) ylabel(A ngle(jw) 下面舉例說(shuō)明如何調(diào)用該函數(shù)。 例7-3：已知系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，試用MATLAB繪制出該系統(tǒng)的 (s 50)(s 100) 頻率特性曲線(幅頻曲線和相頻曲線)。 解：通過(guò)調(diào)用上述實(shí)用函數(shù)求解，命令如下： q=0; p=-100 -50; f仁0; f2=100; k=0.01; splxy(f1,f2,k,p,q); 運(yùn)行結(jié)果如圖7-4所示。 連擴(kuò)喬統(tǒng)相頻吋應(yīng)臟線 100 00 B0 4J -23 -40 -60 - 1111 0200 ED 00100 壩率創(chuàng)(瑩位：赫勒 2D 400

18、0 EO 100 頻率卑程：描船) 圖7-4系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性曲線 四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 已知連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別如下所示，試用MATLAB繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，并 根據(jù)零極點(diǎn)圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時(shí)繪制出系統(tǒng)的頻率特性曲線(提示：系統(tǒng)的零極 點(diǎn)可用MATLAB (1)H(s) (3)H (s) 函數(shù)roots求得)。 S s 2 32 3s 5s 4s 6 2 3s(s 9) s420s264 (2) H(s) (4) H(s) 2( 4s 5) 2 s 4s 5 1 32 s 2s 2s 1 fun ctio n p,q=sjdt(A,B) %繪制連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖程序 %A:系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式

19、系數(shù)向量 %B:系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)向量 %p:函數(shù)返回的系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)位置行向量 %q:函數(shù)返回的系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)位置行向量 p=roots(A); q=roots(B); p=p; q=q; x=max(abs(p q); x=x+0.1; y=x; elf %求系統(tǒng)極點(diǎn) %求系統(tǒng)零點(diǎn) %將極點(diǎn)列向量轉(zhuǎn)置為行向量 %將零點(diǎn)列向量轉(zhuǎn)置為行向量 %確定縱坐標(biāo)范圍 %確定橫坐標(biāo)范圍 axis(-x x -y y); axis(square) plot(-x x,0 0) plot(0 0,-y y) hold on %確定坐標(biāo)軸顯示范圍 %畫橫坐標(biāo)軸 %畫縱坐標(biāo)軸 %畫極點(diǎn) %畫零點(diǎn) %標(biāo)注標(biāo)題 p

20、lot(real(p),imag(p),x) plot(real(q),imag(q),o) title( 連續(xù)系統(tǒng)零極點(diǎn)圖 ) text(0.2,x-0.2, 虛軸 ) text(y-0.2,0.2, 實(shí)軸 ) function splxy(f1,f2,k,p,q) %根據(jù)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線程序 %f1、f2 :繪制頻率響應(yīng)曲線的頻率范圍(即頻率起始和終止點(diǎn)，單位為赫茲) %p、q：系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)位置行向量 %k:繪制頻率響應(yīng)曲線的頻率取樣間隔 p=p; q=q; f=f1:k:f2;%定義繪制系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的頻率范圍 w=f*(2*pi); y=i*w; n=leng

21、th(p); m=length(q); if n=0%如果系統(tǒng)無(wú)極點(diǎn) yq=ones(m,1)*y; vq=yq-q*ones(1,length(w); bj=abs(vq); cosaij=angle(vq)./pi.*180; ai=1; thetai=0; elseif m=0% 如果系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn) yp=ones(n,1)*y; vp=yp-p*ones(1,length(w); ai=abs(vp); thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=1; cosaij=0; else yp=ones(n,1)*y; yq=ones(m,1)*y; vp=yp-p*ones(1

22、,length(w); vq=yq-q*ones(1,length(w); ai=abs(vp); thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=abs(vq); cosaij=angle(vq)./pi.*180; end subplot(121); Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1); plot(f,Hw); title( 連續(xù)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線 ) xlabel( 頻率 w (單位：赫茲) ) ylabel(F(jw) subplot(122); Angw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1); plot(f,Angw); title( 連續(xù)系統(tǒng)相頻響應(yīng)曲線 ) xlabel( 頻率 w (單位：赫茲) ) ylabel(Angle(jw) 1.求零極點(diǎn) A=3 5 4 6; B=1 1 2; p,q=sjdt(A,B) -1.6101 -0.0283 - 1.1142i-0.0283 + 1.1142i q = -0.5000 - 1.3229i-0.5000 + 1.3229i 連娃痕垛參磁點(diǎn)也 1 j5虛錮