直線平面簡單幾何體(B)(第19課)空間向量的直角坐標及其運算(三)

1、精品資源課題： 9 6 空間向量的直角坐標及其運算(三 )教學目的：1. 進一步掌握空間向量的夾角、距離等概念，并能熟練運用；2. 能綜合運用向量的數(shù)量積知識解決有關立體幾何問題；3. 了解平面法向量的概念教學重點： 向量的數(shù)量積的綜合運用教學難點： 向量的數(shù)量積的綜合運用授課類型： 新授課課時安排： 1 課時教具：多媒體、實物投影儀教學過程 ：一、復習引入：1 空間直角坐標系：（ 1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫 單位正交z基底 ，用 i, j , k 表示；（ 2）在空間選定一點 o 和一個單位正交基底 i, j , k ，以點 oa(x,y,z)為原點，分別

2、以 i, j , k 的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x 軸、kiyo jy 軸、 z 軸，它們都叫坐標軸我們稱建立了一個空間直角x坐標系 o xyz ，點 o 叫原點，向量i , j , k 都叫坐標向量通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為xoy 平面， yoz 平面， zox 平面；2空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系oxyz 中，對空間任一點a ，存在唯一的有序實數(shù)組( x, y, z) ，使 oa xi yj zk ，有序實數(shù)組 ( x, y, z) 叫作向量 a 在空間直角坐標系 o xyz 中的坐標，記作 a( x, y, z) ， x 叫橫坐標， y 叫縱坐標， z 叫豎

3、坐標3空間向量的直角坐標運算律：（ 1）若 a(a1, a2 , a3 ) ， b (b1 ,b2, b3 ) ，則 a b (a1b1, a2 b2 , a3 b3 ) ，a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ， a ( a1 , a2 , a3 )(r) ，歡下載精品資源ab a1b1 a2 b2 a3b3 ， a / b a1 b1 ,a2b2 ,a3b3 (r) ，ab a1b1 a2b2a3b3 0 （ 2）若 a( x1 , y1, z1 )， b(x2 , y2 , z2 ) ，則 ab (x2x1 , y2y1 , z2z1) 一個向量在直角坐標系中的坐標等于

4、表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標4模長公式： 若 a (a1, a2 ,a3 ) ， b (b1 ,b2 , b3 ) ，則 | a |a aa12a22a32， | b |b bb12b22b3 25夾角公式： cos aba ba1b1a2b2a3 b3| a | |b |a12a22a32b12b22b3 26兩點間的距離公式：若 a( x1, y1 , z1 ) ， b(x2 , y2 , z2 ) ，則 | ab |ab2x1 )2( y2y1 )2(z2z1) 2 ，(x2或 da, b( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )2二、講解范例：例 1求證：

5、如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行已知：直線 oa于 o ， bd于 b 求證： oa / bd 證明：以 o 為原點，射線 oa 為非負 z 軸，建立空間直角坐標系oxyz ，i , j , k 分別為沿 x 軸， y 軸， z 軸的坐標向量，設 bd(x, y, z) ， bd， bdi ， bdj ，bdi(x, y, z) (1,0,0)x0，bdj(x, y, z) (0,1,0)y0 ， bd(0,0, z) ，即 bdzk ，歡下載精品資源又知 o ， b 為兩個不同的點，bd / oa 點評： 如果表示向量a 的有向線段所在直線垂直于平面，記作 a，此時向量 a 叫

6、做平面的法向量例 2 在棱長為 1的正方體 abcd a1b1c1 d1 中， e, f 分別是 dd1, db 中點， g 在棱 cd 上， cg 1 cd ， h 是 c1g 的中點，4（ 1）求證： efb1c ；（ 2）求 ef 與 c1g 所成的角的余弦；（ 3）求 fh 的長解：如圖以d 為原點建立直角坐標系dxyz ，則 b1 (1,1,1)， c (0,1,0) ， e(0,0, 1) ， f ( 1 , 1 ,0) ，222g(0, 3 ,0) ， c1 (0,1,1)， h (0,7 , 1) ，482z（ 1）111) ， b1c(1,0,1)，d1ef (,222a 1

7、 efb1c( 1 , 1 ,1 ) ( 1,0,1) 0 ，e222 efb1c d1 ,af（ 2） c1g(0,1) ，x4 efc1g( 1 , 1 ,1 ) (0,1 ,1)3，22248| ef |( 1)2( 1 )2( 1 )23，| c1g |(0)2( 1 ) 2( 1)2222243c 1b 1hcgyb17，4 cos(ef , c1g)851317，1724歡下載精品資源 ef 與 c1g 所成的角的余弦51 17（ 3） fh( 1 , 3, 1) ，282 | fh |( 1)2(3)2( 1)241 2828例 3已知點 p 是平行四邊形abcd 所在平面外一點

8、，如果ab (2, 1, 4) ，ad (4,2,0) ， ap(1,2,1)（ 1）求證： ap 是平面 abcd 的法向量；（ 2）求平行四邊形 abcd 的面積（ 1）證明： apab(1,2,1) (2,1, 4) 0，ap ad(1,2,1) (4,2,0)0 ， apab， apad ，又 abada ， ap平面 abcd ， ap 是平面abcd 的法向量（ 2） | ab |(2) 2(1)2( 4) 221， | ad |42220225 ， ab ad(2, 1, 4) (4,2,0)6， cos(ab, ad)653 105 ，212105 sin bad1932，10

9、535 s abcd| ab | | ad | sinbad86例 4 在長方體 abcda b c d 中， ab a， bcb， aa c，求異面直線bd 和111111b1c 所成角的余弦值分析一： 利用bd1babcbb1bcbc bb1，以及數(shù)量積的定義， 可1歡下載精品資源求出 cos bd1 , b1c ，從而得到異面直線bd 1 和 b1c 所成角的余弦值分析二 ：建立空間直角坐標系，利用向量，且將向量的z運算轉化為實數(shù)（坐標）的運算，以達到證明的目的d 1c 1解：建立如圖所示空間直角坐標系，使d 為坐標原點，a 1b 1則 b(b,a,0),d1(0,0,c),b1(b,a

10、,c),c(0,a,0)bd1( b,a,c), bc(b,0,c)dcy1abbd1 b1c ( b)2( a) 0 c ( c) b2c2x| bd1 |b2a2c2 ,| b1c |b2c2 ,bd1b cb2c2cos bd1, b1c1| bd1 | b1c |(a2b2c2 )(b2c2 )設異面直線 bd 1 和 b1c 所成角為 ，則 cosb 2c2(a 2b 2c2 )(b2c2 )三、課堂練習 ：1 設 a(a , a2 ,a3 ) ， b (b ,b2 , b3 ) ，且 ab ，記 | a b |m ，11求 ab 與 x 軸正方向的夾角的余弦值解： 取 x 軸正方向

11、的任一向量 c ( x,0,0)，設所求夾角為， (a b)c (ab , a2 b2 , a3b3 ) (x,0,0) (ab )x1111 cos(ab) c(a1 b1) xa1b1 ，即為所求| ab | | c |mxm2 在abc中，已知ab (2,4,0),bc ( 1,3,0)，則 abc解：ba(2,4,0), bc( 1,3,0),cosba, bcba bc2122| ba | bc |2 5102 abc 453已知空間三點a(0,2,3),b( 2,1,6),c(1, 1,5)求以向量 ab, ac 為一組鄰邊的平行四邊形的面積s；歡下載精品資源若向量 a 分別與向量 ab, ac 垂直，且 |a |3 ，求向量 a 的坐標分析： ab( 2,1,3), ac(1, 3,2),cosab ac1bac2| ab | ac | bac60，s | ab | ac | sin6073設 a (x,y,z)，則 aab2xy3z0,a acx 3 y 2z0,| a |3x2y2z23解得 x