機(jī)械設(shè)計(jì)培訓(xùn)教學(xué)PPT優(yōu)化設(shè)計(jì)1

1、 是現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的重要內(nèi)容之一。它以是現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的重要內(nèi)容之一。它以為為 理論基礎(chǔ)，以理論基礎(chǔ)，以為工具，在充分考慮多種設(shè)計(jì)約束的前提為工具，在充分考慮多種設(shè)計(jì)約束的前提 下，尋求滿足某項(xiàng)預(yù)定目標(biāo)的下，尋求滿足某項(xiàng)預(yù)定目標(biāo)的最佳設(shè)計(jì)方案最佳設(shè)計(jì)方案的一種設(shè)計(jì)方法。的一種設(shè)計(jì)方法。 主要介紹了主要介紹了： 內(nèi)容簡(jiǎn)介內(nèi)容簡(jiǎn)介 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念及數(shù)學(xué)模型的建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念及數(shù)學(xué)模型的建立 常用的一維優(yōu)化方法常用的一維優(yōu)化方法 多維無(wú)約束優(yōu)化方法多維無(wú)約束優(yōu)化方法 約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法 多目標(biāo)優(yōu)化方法多目標(biāo)優(yōu)化方法 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般步驟及設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般步驟及設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例

2、 2.1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)基本概念優(yōu)化設(shè)計(jì)基本概念 （）是是20世紀(jì)世紀(jì)60年代發(fā)展起來(lái)的一種年代發(fā)展起來(lái)的一種 現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。它是將現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。它是將和和應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域， 為為工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法。工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法。 利用這一設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)者就可利用這一設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)者就可從從眾多的設(shè)計(jì)方案眾多的設(shè)計(jì)方案中尋找出中尋找出 ，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，因此，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，因此是現(xiàn)代是現(xiàn)代 設(shè)計(jì)理論和方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，它已廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)設(shè)計(jì)理論和方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，它已廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng) 域和各種產(chǎn)品設(shè)計(jì)中。域和各種

3、產(chǎn)品設(shè)計(jì)中。 所謂所謂優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是在規(guī)定的設(shè)計(jì)限制條件下，運(yùn)用就是在規(guī)定的設(shè)計(jì)限制條件下，運(yùn)用 和和將實(shí)際將實(shí)際轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，然后以，然后以為為 工具進(jìn)行工具進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算尋優(yōu)計(jì)算，在全部可行設(shè)計(jì)方案中，尋求滿足預(yù)定設(shè)計(jì)目，在全部可行設(shè)計(jì)方案中，尋求滿足預(yù)定設(shè)計(jì)目 標(biāo)的標(biāo)的。 2.1 概述概述 進(jìn)行進(jìn)行時(shí)：時(shí)： 必須將必須將實(shí)際問(wèn)題加以數(shù)學(xué)描述實(shí)際問(wèn)題加以數(shù)學(xué)描述，形成一組由，形成一組由數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式組成組成 的的； 選擇一種選擇一種最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法和和計(jì)算機(jī)程序計(jì)算機(jī)程序，在，在計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)上進(jìn)上進(jìn) 行行尋優(yōu)運(yùn)算求解尋優(yōu)運(yùn)算求解，得到，得到。就是就是 。 設(shè)

4、計(jì)課題分析設(shè)計(jì)課題分析 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法 上機(jī)電算求解上機(jī)電算求解 獲得最優(yōu)解獲得最優(yōu)解 與與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法不同，不同，優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程一般分為一般分為如下四步如下四步： 將將工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題用用的形式予以全面地、準(zhǔn)確地描的形式予以全面地、準(zhǔn)確地描 述，即建立述，即建立。 通過(guò)對(duì)通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)課題的分析設(shè)計(jì)課題的分析，提出，提出，它可以是單項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，它可以是單項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)， 也可以是多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的組合。也可以是多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的組合。 從技術(shù)經(jīng)濟(jì)的觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)而言，機(jī)器的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力從技術(shù)經(jīng)濟(jì)的觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)而言

5、，機(jī)器的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力 學(xué)性能、體積、重量、效率、成本、可靠性等都可以作為學(xué)性能、體積、重量、效率、成本、可靠性等都可以作為 。 然后分析設(shè)計(jì)應(yīng)滿足的要求，主要的有：某些參數(shù)的取值范圍；然后分析設(shè)計(jì)應(yīng)滿足的要求，主要的有：某些參數(shù)的取值范圍； 某種設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)按設(shè)計(jì)規(guī)范推導(dǎo)出的技術(shù)性能；還有工藝條件對(duì)某種設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)按設(shè)計(jì)規(guī)范推導(dǎo)出的技術(shù)性能；還有工藝條件對(duì) 設(shè)計(jì)參數(shù)的限制等。設(shè)計(jì)參數(shù)的限制等。 根據(jù)所建立的根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)方程式的性質(zhì)數(shù)學(xué)方程式的性質(zhì)、設(shè)計(jì)精度的要求設(shè)計(jì)精度的要求等選用合適等選用合適 的的，并做出相應(yīng)的，并做出相應(yīng)的。 將所編程序及有關(guān)數(shù)據(jù)將所編程序及有關(guān)數(shù)據(jù)，自動(dòng)得出，自

6、動(dòng)得出。然后對(duì)計(jì)。然后對(duì)計(jì) 算結(jié)果做出分析和判斷，則得出算結(jié)果做出分析和判斷，則得出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。 上述上述的四步的四步其核心是進(jìn)行如下其核心是進(jìn)行如下： 分析設(shè)計(jì)任務(wù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，即分析設(shè)計(jì)任務(wù)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題，即 ； 選用適用的優(yōu)化方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型，選用適用的優(yōu)化方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型， 。 例例2-1 如如圖圖2-1所示，有所示，有 一圓形等截面的銷軸，一端一圓形等截面的銷軸，一端 固定，一端作用著集中固定，一端作用著集中載荷載荷f =1000n和轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩t =100nm。 由于結(jié)構(gòu)需要，軸的長(zhǎng)度由于結(jié)構(gòu)需要，軸的長(zhǎng)度l 不

7、不 得小于得小于8cm，已知銷軸材料的，已知銷軸材料的 許用彎曲應(yīng)力許用彎曲應(yīng)力w 120mpa，許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力 =80mpa，允許撓度，允許撓度f(wàn) =0.01cm，密度，密度=7.8t/m3， ，彈 彈 性模量性模量e=2105 80mpa。 下面通過(guò)下面通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例，說(shuō)明，說(shuō)明的一般形的一般形 式及其有關(guān)概念。式及其有關(guān)概念。 圖圖2-1 圓形等截面的銷軸圓形等截面的銷軸 在滿足使用要求在滿足使用要求的條件下，的條件下，一個(gè)一個(gè)用料最省用料最?。ㄤN軸質(zhì)（銷軸質(zhì) 量最輕）量最輕）的方案的方案。 2.1.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 解：解：根據(jù)上述

8、問(wèn)題，該銷軸的根據(jù)上述問(wèn)題，該銷軸的是一個(gè)懸臂梁。設(shè)銷軸是一個(gè)懸臂梁。設(shè)銷軸 直徑為直徑為d ，長(zhǎng)度為，體積為，長(zhǎng)度為，體積為v，則該問(wèn)題的，則該問(wèn)題的如下：如下： l 2 1 min 4 vd l l l 可見可見取決于其直徑取決于其直徑 d 和長(zhǎng)度。這是一個(gè)和長(zhǎng)度。這是一個(gè) d 和和 而使體積而使體積v 最小的最小的。 (2) 滿足的條件滿足的條件： w d fl 3 max 1 . 0 3 2 . 0 d t f de fl ej fl f 4 33 3 64 3 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式 撓度表達(dá)式撓度表達(dá)式 (1) 銷軸用料最省銷軸用料最?。大w積最小即體積最?。?結(jié)

9、構(gòu)尺寸邊界條件：結(jié)構(gòu)尺寸邊界條件： min 8 cmll 12 , xdxl 12 tt xd lx x 222 1212 11 min ()0.785 44 f xvd lx xx x 將題意的有關(guān)已知數(shù)值代入，按將題意的有關(guān)已知數(shù)值代入，按的規(guī)范形式，可歸納為的規(guī)范形式，可歸納為 如下如下： 設(shè)設(shè)： 33 121 33 21 3434 321 42 ()8.338.330 () ()6.256.250 () ()0.340.340 () () 880 () g xldxx gxdx gxldxx gxlx 彎曲強(qiáng)度條件 扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件 剛度條件 長(zhǎng)度的邊界條件 ，這是一個(gè)具有，這是一個(gè)具有

10、4個(gè)約束條件的二維非線性的個(gè)約束條件的二維非線性的。 例例2-2 現(xiàn)用薄鋼板制造一體積為現(xiàn)用薄鋼板制造一體積為5，長(zhǎng)度不小于，長(zhǎng)度不小于4m的無(wú)上蓋的無(wú)上蓋 的的。要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、。要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、 寬和高的尺寸。寬和高的尺寸。 3 m 解：解：分析可知，分析可知，與貨箱的表面積成正比。與貨箱的表面積成正比。 設(shè)貨箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，貨箱的設(shè)貨箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，貨箱的，則，則 該問(wèn)題的該問(wèn)題的為：為： 123 ,x x x 121323 2()minsx xx xx x 2 x 3 x (1) 貨箱的貨箱的鋼板耗費(fèi)量鋼板耗費(fèi)量（即貨

11、箱的表面積用料即貨箱的表面積用料）最少最少： 可見可見取決于貨箱的長(zhǎng)度、寬度和高度取決于貨箱的長(zhǎng)度、寬度和高度 。 1 x 123 4; 0; 0 xxx (2) 滿足的條件滿足的條件： 按按的規(guī)范形式，可歸納為如下的規(guī)范形式，可歸納為如下： 123 txxxx 121323 min ()2()f xsx xx xx x 11 22 33 123 ()40 ()0 ()0 ()50 g xx gxx gxx h xx x x 由由可知，三個(gè)設(shè)計(jì)變量中只有兩個(gè)是可知，三個(gè)設(shè)計(jì)變量中只有兩個(gè)是，即，即 。所以，該問(wèn)題的。所以，該問(wèn)題的應(yīng)寫為：應(yīng)寫為： 3 12 5 x x x 12 txxx 12

12、132312 21 11 min ()2()10()f xx xx xx xx x xx 11 22 123 ()40 ()0 ()50 gxx gxx h xx x x 這樣，使這樣，使的的更為準(zhǔn)確、精煉。更為準(zhǔn)確、精煉。 某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材 料料9kg、3個(gè)工時(shí)、個(gè)工時(shí)、4kw電，可獲利潤(rùn)電，可獲利潤(rùn)60元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材 料料4kg、10個(gè)工時(shí)、個(gè)工時(shí)、5kw電，可獲利電，可獲利120元。若每天能供應(yīng)材料元。若每天能供應(yīng)材料360kg， 有有300個(gè)工時(shí)，能供個(gè)工時(shí)，能供2

13、00kw電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天 可能獲得的利潤(rùn)最大。可能獲得的利潤(rùn)最大。 12 ,x x 12 ( ,)f x x 1212 ( ,)60120maxf x xxx 112 212 312 ()94360 ()310300 ()45200 gxxx gxxx gxxx 每天實(shí)際消耗的材料、工時(shí)和電力可分別用以下每天實(shí)際消耗的材料、工時(shí)和電力可分別用以下表示：表示： 這是一個(gè)這是一個(gè)，可歸結(jié)為既滿足各項(xiàng)生產(chǎn)條件，又，可歸結(jié)為既滿足各項(xiàng)生產(chǎn)條件，又 使每天所能獲得的利潤(rùn)達(dá)到最大的使每天所能獲得的利潤(rùn)達(dá)到最大的。 設(shè)每天生產(chǎn)的設(shè)每天生產(chǎn)的分別為分

14、別為 件，件，可可 用用 表示，即表示，即 12 txxx 1212 min ()(,)60120f xf x xxx 于是于是上述生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題上述生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題的的應(yīng)寫為：應(yīng)寫為： 112 ()94360g xxx 212 ()310300gxxx 312 ()45200gxxx 41 ()0gxx （工時(shí)約束）（工時(shí)約束） （電力約束）（電力約束） （材料約束）（材料約束） 52 ()0gxx 由于由于和所有和所有均為均為的的，故此優(yōu)，故此優(yōu) 化問(wèn)題屬化問(wèn)題屬。 12 ,t n xx xx 12 ()( ,) n f xf x xx ()0 (1,2,) u gxum ()0 (1,2,)

15、v h xvpn ()0 u gx ()0 v h x 從以上從以上可以看出，可以看出，需要用需要用、 和和等基本概念才能予以完整的描述，可以寫成等基本概念才能予以完整的描述，可以寫成 ： (2-1) (2-2) 其中，稱為其中，稱為，稱為，稱為。 若用若用表示表示， 表示向量表示向量x 屬于屬于n 維實(shí)歐氏空間；維實(shí)歐氏空間； 用用、表示極小化和極大化，表示極小化和極大化， （subjected to的英文縮寫）表示的英文縮寫）表示 ， 分別表示分別表示和和的的。 12 ,t n xx xx n xr min () . . ()0 (1,2,) ()0 (1,2,) n u v f xxr

16、st gxum h xvpn (2-3) min () n f x xr 就是就是的的。這一優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，稱為。這一優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，稱為 。 (2-4) 這一優(yōu)化問(wèn)題不受任何約束，稱為這一優(yōu)化問(wèn)題不受任何約束，稱為。式（。式（2-4）即）即 為為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的的。 若上式所列若上式所列數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型內(nèi)內(nèi) m = p = 0，則成為，則成為 上述上述還還可以寫成如下可以寫成如下： min ( )f xmax()f x ( )f x ()0 u gx ()0 v h x 當(dāng)涉及問(wèn)題要當(dāng)涉及問(wèn)題要目標(biāo)函數(shù)時(shí)，只要將式中目標(biāo)函數(shù)時(shí)，只要將式中 改寫為改寫為 f (x)即可。因?yàn)楹途哂邢?/p>

17、同的解。即可。因?yàn)楹途哂邢嗤慕狻?同樣，當(dāng)同樣，當(dāng)不等式約束不等式約束為：為：“” 時(shí)，只要將不等式兩端同乘以時(shí)，只要將不等式兩端同乘以 “1”，即可得到，即可得到 “” 的一般形式。的一般形式。 一個(gè)完整的規(guī)格化的一個(gè)完整的規(guī)格化的應(yīng)包含有應(yīng)包含有，即，即 設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量 x； 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) ； 約束條件約束條件 和。和。 它們又被稱為：它們又被稱為：。 建立出的建立出的，在計(jì)算機(jī)上，在計(jì)算機(jī)上稱為稱為 ，它包括：，它包括： 最優(yōu)方案最優(yōu)方案： 最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值： * 12 , t n xx xx * ()f x * ()f x 即即由由（或稱（或稱）和）和最優(yōu)目標(biāo)函最優(yōu)

18、目標(biāo)函 數(shù)值數(shù)值兩部分組成。兩部分組成。 是是帶入目標(biāo)函數(shù)帶入目標(biāo)函數(shù) 所求得的所求得的 ，它是，它是評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度的一個(gè)的一個(gè)。 ()f x * ()f x 下面就下面就的有關(guān)問(wèn)題說(shuō)明如下的有關(guān)問(wèn)題說(shuō)明如下: : 在在過(guò)程中需要調(diào)整和優(yōu)選的參數(shù)，稱為過(guò)程中需要調(diào)整和優(yōu)選的參數(shù)，稱為?？煽?表示為：表示為： 12 ,.,t n n xx xxxr 由于實(shí)際工程由于實(shí)際工程的不同，則選取的的不同，則選取的也就不同。也就不同。 它可以是它可以是：如零件外形尺寸、截面尺寸、機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)：如零件外形尺寸、截面尺寸、機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng) 尺寸等；也可以是尺寸等；也可以是：如零部件的重量、體

19、積、力與力矩、：如零部件的重量、體積、力與力矩、 慣性矩等；還可以是慣性矩等；還可以是：如應(yīng)力、變形等。：如應(yīng)力、變形等。 總之，總之，必須對(duì)該項(xiàng)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)必須對(duì)該項(xiàng)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)有有。 是一組相互獨(dú)立的基本參數(shù)。一般用向量是一組相互獨(dú)立的基本參數(shù)。一般用向量 x 來(lái)表示。來(lái)表示。 設(shè)計(jì)變量的每一個(gè)分量都是相互獨(dú)立的。設(shè)計(jì)變量的每一個(gè)分量都是相互獨(dú)立的。 以以n 個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的實(shí)數(shù)空間稱為個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的實(shí)數(shù)空間稱為，或，或 稱稱 n 維實(shí)歐式空間，用維實(shí)歐式空間，用 表示。 表示。 1. 設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量 當(dāng)當(dāng) n=2 時(shí)，時(shí)，x=x1,x2t 是是二維設(shè)計(jì)向量二維設(shè)計(jì)

20、向量； 當(dāng)當(dāng) n=3 時(shí)，時(shí)，x=x1,x2, x3t 為為三維設(shè)計(jì)向量三維設(shè)計(jì)向量，設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)變量x1, x2, x3 組組 成一個(gè)成一個(gè)三維空間三維空間； 當(dāng)當(dāng) n3 時(shí)，設(shè)計(jì)空間是一個(gè)想象的超越空間，稱時(shí)，設(shè)計(jì)空間是一個(gè)想象的超越空間，稱 n 維實(shí)屬空間。維實(shí)屬空間。 其中二維和三維設(shè)計(jì)空間如其中二維和三維設(shè)計(jì)空間如圖圖2-2所示。所示。 圖圖2-2設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間 (a) (b) 在工程設(shè)計(jì)中，當(dāng)有些設(shè)計(jì)變量的取值要求是離散型量，則稱在工程設(shè)計(jì)中，當(dāng)有些設(shè)計(jì)變量的取值要求是離散型量，則稱 ，如齒輪的齒數(shù)、模數(shù)，鋼管的直徑、鋼板的厚度等。，如齒輪的齒數(shù)、模數(shù)，鋼管的直徑、鋼板的厚度等

21、。 對(duì)于對(duì)于，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中常是先把它視為連續(xù)量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中常是先把它視為連續(xù)量， 再求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用再求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用 的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。 設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量的的，稱為，稱為（），它決定了優(yōu)化問(wèn)題的，它決定了優(yōu)化問(wèn)題的 ，當(dāng)：，當(dāng)： n210 為小型優(yōu)化問(wèn)題為小型優(yōu)化問(wèn)題 ； n1050 為中型優(yōu)化問(wèn)題；為中型優(yōu)化問(wèn)題； n 50 為大型優(yōu)化問(wèn)題為大型優(yōu)化問(wèn)題 可分為可分為和和。 2. 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 是用來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，又稱是用來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，又稱。它。它是是 設(shè)計(jì)變量

22、的函數(shù)，常記為設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，常記為 12 ( )( ,) n f xf x xx ，是優(yōu)化設(shè)計(jì)中最重要的決策之一。因?yàn)檫@不僅直，是優(yōu)化設(shè)計(jì)中最重要的決策之一。因?yàn)檫@不僅直 接影響優(yōu)化方案的質(zhì)量，而且還影響到接影響優(yōu)化方案的質(zhì)量，而且還影響到。 可以根據(jù)工程問(wèn)題的要求從可以根據(jù)工程問(wèn)題的要求從不同角度不同角度來(lái)建立，例如：來(lái)建立，例如：機(jī)機(jī) 械零件設(shè)計(jì)械零件設(shè)計(jì)中的重量、體積、效率、可靠性、中的重量、體積、效率、可靠性、幾何尺寸、幾何尺寸、承載能力；承載能力； 機(jī)械設(shè)計(jì)機(jī)械設(shè)計(jì)中的運(yùn)動(dòng)誤差、中的運(yùn)動(dòng)誤差、功率、應(yīng)力、功率、應(yīng)力、動(dòng)力特性；動(dòng)力特性；產(chǎn)品設(shè)計(jì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的成本、中的成本、 壽命等。

23、壽命等。 就是要尋求一個(gè)就是要尋求一個(gè)，即，即，從而使，從而使 達(dá)到達(dá)到。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般取最優(yōu)值為。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般取最優(yōu)值為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 的最小值的最小值。 * ()f x 一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可以用一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可以用一個(gè)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)來(lái)衡量，稱之為目標(biāo)函數(shù)來(lái)衡量，稱之為 ；也可以用；也可以用多個(gè)多個(gè)目標(biāo)函數(shù)來(lái)衡量目標(biāo)函數(shù)來(lái)衡量，稱之為，稱之為。 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)可以通過(guò)可以通過(guò)（）在在設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間中表現(xiàn)出來(lái)。中表現(xiàn)出來(lái)。 現(xiàn)以現(xiàn)以為例，來(lái)說(shuō)明為例，來(lái)說(shuō)明 目標(biāo)函數(shù)的等值線目標(biāo)函數(shù)的等值線( (面面) )的幾何意義。的幾何意義。 圖圖2-3二維目標(biāo)函數(shù)的等值線二維目標(biāo)函數(shù)的等值線 由

24、于每一條曲線上的各點(diǎn)都具有由于每一條曲線上的各點(diǎn)都具有，所以，所以這些曲線這些曲線 稱為稱為。 如如圖圖2-3所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù) f(x) 等等 于某一值于某一值ci (i =1, 2, )時(shí)，就可得到時(shí)，就可得到 ，它是在設(shè)計(jì)平面上由，它是在設(shè)計(jì)平面上由 f (x) ci 的的 所連成，當(dāng)所連成，當(dāng) f(x)為為 不等的函數(shù)值不等的函數(shù)值c1， ，c2，時(shí)，可以得到一 時(shí)，可以得到一 族等值線。族等值線。 所謂所謂（），），就就 是當(dāng)是當(dāng)依次等于一系依次等于一系 列列常數(shù)常數(shù) ( i =1, 2, )時(shí)，時(shí)，設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量x 取取 得一系列值的集合。得一系列值的集合。 i c

25、 對(duì)于對(duì)于來(lái)說(shuō)，它可以有來(lái)說(shuō)，它可以有的的?？梢哉f(shuō)?？梢哉f(shuō) 等值線充滿了設(shè)計(jì)空間。等值線充滿了設(shè)計(jì)空間。 由圖可見，由圖可見，反映了目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律，等值線越反映了目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律，等值線越 向里面，目標(biāo)函數(shù)值越小。向里面，目標(biāo)函數(shù)值越小。 對(duì)于對(duì)于來(lái)說(shuō)，等值線族的來(lái)說(shuō)，等值線族的就是目標(biāo)函數(shù)就是目標(biāo)函數(shù) 的的 。故從幾何意義上來(lái)說(shuō)，求目標(biāo)函數(shù)無(wú)約束。故從幾何意義上來(lái)說(shuō)，求目標(biāo)函數(shù)無(wú)約束極極 小點(diǎn)小點(diǎn)也就是求其等值線族的也就是求其等值線族的。 * x 有以下有以下： (1) 不同值的等值線不相交；不同值的等值線不相交； (2) 除極值點(diǎn)外，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，等值線不會(huì)中斷；除極值點(diǎn)外，在設(shè)

26、計(jì)空間內(nèi)，等值線不會(huì)中斷； (3) 等值線充滿整個(gè)設(shè)計(jì)空間；等值線充滿整個(gè)設(shè)計(jì)空間； (4) 等值線分布的疏或密，反應(yīng)出函數(shù)值變化的慢或快等值線分布的疏或密，反應(yīng)出函數(shù)值變化的慢或快 ； (5) 一般來(lái)說(shuō)，在極值點(diǎn)附近，等值線近似是同心橢圓族，極值一般來(lái)說(shuō)，在極值點(diǎn)附近，等值線近似是同心橢圓族，極值 點(diǎn)就是橢圓的中心點(diǎn)。點(diǎn)就是橢圓的中心點(diǎn)。 在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，： 對(duì)于對(duì)于二維優(yōu)化問(wèn)題二維優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)成了，構(gòu)成了等值線等值線； 對(duì)于對(duì)于三維優(yōu)化問(wèn)題三維優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)成了，構(gòu)成了等值面等值面； 對(duì)于對(duì)于四維以上的優(yōu)化問(wèn)題四維以上的優(yōu)化問(wèn)題，則構(gòu)成了，則構(gòu)成了等值超曲面等值超曲面。 3. 約

27、束條件約束條件 是設(shè)計(jì)變量選取的限制條件，或稱是設(shè)計(jì)變量選取的限制條件，或稱設(shè)計(jì)約束設(shè)計(jì)約束。 按照約束條件的形式不同，約束有不等式和等式約束兩類，按照約束條件的形式不同，約束有不等式和等式約束兩類， 一般表達(dá)式為一般表達(dá)式為： ( )01,2, u g xum ( )01,2, v h xvp 按照按照的性質(zhì)不同，約束又可分為的性質(zhì)不同，約束又可分為： 是根據(jù)設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)要求而確定的一種是根據(jù)設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)要求而確定的一種 約束條件，例如零件的工作應(yīng)力、變形的限制條件以及對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件，例如零件的工作應(yīng)力、變形的限制條件以及對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué) 參數(shù)如位移、速度、加速度值的限制條件均屬性能約束。參數(shù)

28、如位移、速度、加速度值的限制條件均屬性能約束。 則是對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制，例如對(duì)則是對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制，例如對(duì) 齒輪的模數(shù)、齒數(shù)的上、下限的限制以及對(duì)構(gòu)件長(zhǎng)度尺寸的限制齒輪的模數(shù)、齒數(shù)的上、下限的限制以及對(duì)構(gòu)件長(zhǎng)度尺寸的限制 都是邊界約束。都是邊界約束。 任何一個(gè)任何一個(gè)不等式約束方程不等式約束方程的圖形將的圖形將劃分為劃分為兩部分兩部分： 滿足約束，滿足約束，即即 g j (x)0 0； 則不滿足約束，即則不滿足約束，即 g j (x)0 0。 故將故將該分界線該分界線或分界面稱為或分界面稱為（或約束面）。（或約束面）。 本身也是約束邊界，不過(guò)此時(shí)只有約束邊界上的點(diǎn)滿足本身也是約束

29、邊界，不過(guò)此時(shí)只有約束邊界上的點(diǎn)滿足 約束，而邊界兩邊的所有部分都不滿足約束。約束，而邊界兩邊的所有部分都不滿足約束。 以以為例，如為例，如圖圖2-4所示，其中所示，其中表示不滿足約表示不滿足約 束的區(qū)域。束的區(qū)域。 圖圖2-4約束邊界約束邊界 uv d=x| g (x)0, h (x)=0 (u=1,2,m ; v=1,2,pn) (2-5) 圖圖2-5二維問(wèn)題的可行域二維問(wèn)題的可行域 不滿足約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成該優(yōu)化問(wèn)題的不滿足約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成該優(yōu)化問(wèn)題的。 也可看做也可看做滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)的的，因此，可用，因此，可用 表示如下：表示如下： 約束的幾何意

30、義約束的幾何意義 是它將是它將一分一分 為二，形成了為二，形成了 和和。 每一個(gè)不等式約每一個(gè)不等式約 束或等式約束都將設(shè)束或等式約束都將設(shè) 計(jì)空間分為兩部分，計(jì)空間分為兩部分， 滿足所有約束的部分滿足所有約束的部分 形成一個(gè)形成一個(gè)集集， 稱為此約束問(wèn)題的稱為此約束問(wèn)題的 ，記做，記做 ，見，見 圖圖2-5。 綜上所述，綜上所述，是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)描述和概括，是和概括，是 進(jìn)行進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。因此，根據(jù)的基礎(chǔ)。因此，根據(jù)設(shè)計(jì)問(wèn)題的具體要求設(shè)計(jì)問(wèn)題的具體要求和條件建立和條件建立 完備的完備的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是關(guān)系是關(guān)系優(yōu)化設(shè)計(jì)成敗優(yōu)化設(shè)計(jì)成敗的關(guān)鍵。的關(guān)鍵。

31、這是因?yàn)閮?yōu)化問(wèn)題的這是因?yàn)閮?yōu)化問(wèn)題的完全是圍繞完全是圍繞進(jìn)行的。也進(jìn)行的。也 就是說(shuō)，優(yōu)化計(jì)算所得的就是說(shuō)，優(yōu)化計(jì)算所得的實(shí)際上只是實(shí)際上只是。此。此 解是否滿足實(shí)際問(wèn)題的要求，是否就是實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解，完全取解是否滿足實(shí)際問(wèn)題的要求，是否就是實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解，完全取 決于決于和和的符合程度。的符合程度。 建立建立是一項(xiàng)重要而復(fù)雜的工作：是一項(xiàng)重要而復(fù)雜的工作： 一方面希望建立一個(gè)盡可能完善的一方面希望建立一個(gè)盡可能完善的，以求精確地表達(dá)實(shí)，以求精確地表達(dá)實(shí) 際問(wèn)題，得到滿意的結(jié)果；際問(wèn)題，得到滿意的結(jié)果； 另一方面又力求使所建立的另一方面又力求使所建立的盡可能簡(jiǎn)單，以方便于計(jì)算盡可能簡(jiǎn)單，以

32、方便于計(jì)算 與求解。與求解。 工程設(shè)計(jì)的工程設(shè)計(jì)的，總的來(lái)說(shuō)，它可以分為，總的來(lái)說(shuō)，它可以分為： 總體方案優(yōu)化總體方案優(yōu)化 設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化 之間有著之間有著，但也存在著，但也存在著。 2.1.3 優(yōu)化問(wèn)題的分類優(yōu)化問(wèn)題的分類 是指總體布局、結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的類型以及幾何形是指總體布局、結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的類型以及幾何形 式的優(yōu)化設(shè)計(jì)；式的優(yōu)化設(shè)計(jì)； 是在總體方案選定后，對(duì)具體設(shè)計(jì)參數(shù)（幾何是在總體方案選定后，對(duì)具體設(shè)計(jì)參數(shù)（幾何 參數(shù)、性能參數(shù)等）的優(yōu)化設(shè)計(jì)。參數(shù)、性能參數(shù)等）的優(yōu)化設(shè)計(jì)。 是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，必須依靠思考與推理，綜合是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，必須依靠思考與推理，綜合 運(yùn)用多學(xué)科的專門知識(shí)和

33、豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，才能獲得正確、合理的運(yùn)用多學(xué)科的專門知識(shí)和豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，才能獲得正確、合理的 設(shè)計(jì)。因此，設(shè)計(jì)。因此，其大量工作是依據(jù)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行其大量工作是依據(jù)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行 ，可用人工智能方法（特別是專家系統(tǒng)技術(shù)）適宜于求解這，可用人工智能方法（特別是專家系統(tǒng)技術(shù)）適宜于求解這 類問(wèn)題。類問(wèn)題。 是擇優(yōu)確定具體的設(shè)計(jì)參數(shù)，屬于數(shù)值計(jì)算型工是擇優(yōu)確定具體的設(shè)計(jì)參數(shù)，屬于數(shù)值計(jì)算型工 作，比較容易總結(jié)出可供計(jì)算分析用的數(shù)學(xué)模型，因而一般采用數(shù)作，比較容易總結(jié)出可供計(jì)算分析用的數(shù)學(xué)模型，因而一般采用數(shù) 學(xué)規(guī)劃方法來(lái)求解。學(xué)規(guī)劃方法來(lái)求解。 主要介紹主要介紹。 根據(jù)根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的的是否

34、含有是否含有，可將，可將工程優(yōu)化工程優(yōu)化 問(wèn)題問(wèn)題： 中的絕大多數(shù)問(wèn)題都是中的絕大多數(shù)問(wèn)題都是。 一維優(yōu)化問(wèn)題一維優(yōu)化問(wèn)題 多維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題多維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 非線性規(guī)劃問(wèn)題非線性規(guī)劃問(wèn)題 線性規(guī)劃問(wèn)題線性規(guī)劃問(wèn)題 二次規(guī)劃問(wèn)題二次規(guī)劃問(wèn)題 凸規(guī)劃問(wèn)題凸規(guī)劃問(wèn)題 對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題的求解，目前可采用的的求解，目前可采用的有三種：有三種： ：就是把優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)模型描述出來(lái)后，用就是把優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)模型描述出來(lái)后，用 （如微分、變分發(fā)等）來(lái)求出如微分、變分發(fā)等）來(lái)求出，如高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極，如高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極 值或條件極值的方法。值或條件極值的方法。 是優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。但它僅限于是

35、優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。但它僅限于且易求且易求 導(dǎo)的優(yōu)化問(wèn)題的求解。導(dǎo)的優(yōu)化問(wèn)題的求解。 數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法 圖解法數(shù)圖解法數(shù) 值迭代法值迭代法 ：就是直接用就是直接用來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)畫出目來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)畫出目 標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出最優(yōu)解。標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出最優(yōu)解。 是簡(jiǎn)單直觀，但僅限于是簡(jiǎn)單直觀，但僅限于n2的低維優(yōu)化問(wèn)題的求解。的低維優(yōu)化問(wèn)題的求解。 2.1.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代算法 圖圖2-6 所示為采用所示為采用圖圖來(lái)求解如下來(lái)求解如下： min f(x) = x12+x224x1+4 s.t. g1(x) = x2x120 g2(x) = x

36、12x2+10 g3(x) = x10 g4(x) = x20 該問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的該問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的如如圖圖2-6(a)所示；所示； 該問(wèn)題的該問(wèn)題的如如圖圖2-6(b)所示，陰影線部分即為所示，陰影線部分即為 由所有約束邊界圍成的由所有約束邊界圍成的。 該問(wèn)題的該問(wèn)題的為為，即，即 x* = x1*, x2*t = 0.58, 1.34 t 為：為： 的的最優(yōu)解最優(yōu)解的結(jié)果。的結(jié)果。 f (x*) = 0.38。 (a)問(wèn)題的立體圖問(wèn)題的立體圖 (b)設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖 圖圖2-6 二維優(yōu)化問(wèn)題的幾何解二維優(yōu)化問(wèn)題的幾何解 完全是依賴于計(jì)算機(jī)的完全是依賴于計(jì)算機(jī)

37、的而產(chǎn)生的，而產(chǎn)生的， 它是具有一定邏輯結(jié)構(gòu)并按一定格式反復(fù)迭代計(jì)算，逐步逼近優(yōu)化問(wèn)它是具有一定邏輯結(jié)構(gòu)并按一定格式反復(fù)迭代計(jì)算，逐步逼近優(yōu)化問(wèn) 題最優(yōu)解的一種方法。采用題最優(yōu)解的一種方法。采用可以求解各種優(yōu)化問(wèn)題可以求解各種優(yōu)化問(wèn)題。 ：搜索、迭代、逼近。：搜索、迭代、逼近。 為了求得目標(biāo)函數(shù)為了求得目標(biāo)函數(shù) 的的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ，其，其迭代過(guò)程迭代過(guò)程如下：如下： 在設(shè)計(jì)空間給出一在設(shè)計(jì)空間給出一初始迭代點(diǎn)初始迭代點(diǎn) ； 從從 出發(fā)，按照確定的搜索方向出發(fā)，按照確定的搜索方向 和迭代步長(zhǎng)和迭代步長(zhǎng) ，求，求 得第一個(gè)得第一個(gè)改進(jìn)設(shè)計(jì)點(diǎn)改進(jìn)設(shè)計(jì)點(diǎn) ，它應(yīng)該滿足：，它應(yīng)該滿足： ； 再以再以 為

38、為新的初始點(diǎn)新的初始點(diǎn)，重復(fù)，重復(fù)上述步驟上述步驟，求得，求得 ， 如此反復(fù)迭代，得到一個(gè)如此反復(fù)迭代，得到一個(gè)不斷改進(jìn)的點(diǎn)列不斷改進(jìn)的點(diǎn)列 及一相應(yīng)的及一相應(yīng)的遞減函數(shù)值數(shù)列遞減函數(shù)值數(shù)列 。 (0) x (0) s (0) (1) x (1)(0) ()()f xf x ( ) ,0,1,2, k xk ( ) (),1,2, k f xk ()f x * x (1) x (2)(3) ,xx (0) x (1)( )()( ) (1)( ) (1) (0,1,2,) ()() ()0 (1,2,) kkkk kk k u xxsk f xf x gxum 式中：式中：x (k) 前一步已

39、取得的設(shè)計(jì)方案（迭代點(diǎn)）；前一步已取得的設(shè)計(jì)方案（迭代點(diǎn)）； x(k+1) 新的改進(jìn)設(shè)計(jì)方案（新的迭代點(diǎn)）；新的改進(jìn)設(shè)計(jì)方案（新的迭代點(diǎn)）； s (k) 第第 k次迭代計(jì)算的搜索方向；次迭代計(jì)算的搜索方向； (k) 第第 k次迭代計(jì)算的步長(zhǎng)因子。次迭代計(jì)算的步長(zhǎng)因子。 （2-6） 這樣一步步地重復(fù)數(shù)值計(jì)算，不斷用改進(jìn)的這樣一步步地重復(fù)數(shù)值計(jì)算，不斷用改進(jìn)的迭代迭代 ，逐步改進(jìn)，逐步改進(jìn) 值并使值并使設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)點(diǎn)最終逼近最終逼近 。 ()f x * x 這一這一如如圖圖2-7所示。所示。 這一這一用數(shù)學(xué)式子表達(dá)，得用數(shù)學(xué)式子表達(dá)，得的的為：為： 圖圖2-7二維優(yōu)化問(wèn)題的迭代過(guò)程二維優(yōu)化問(wèn)題的迭代

40、過(guò)程 在在優(yōu)化算法優(yōu)化算法中，關(guān)于中，關(guān)于迭代方法迭代方法有多種，有多種，它們之間的區(qū)別它們之間的區(qū)別就在于就在于 確定確定(k) 和和s (k)的方式不同。的方式不同。特別是特別是s (k)的確定，在各種方法中起著的確定，在各種方法中起著 關(guān)鍵性的作用。關(guān)鍵性的作用。關(guān)于關(guān)于(k) 和和s (k)的確定的確定，將在，將在后面各節(jié)后面各節(jié)中介紹。中介紹。 由以上分析及由以上分析及 圖圖2-7 可知，要用可知，要用數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法尋尋 找找最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)x *，這里關(guān)鍵，這里關(guān)鍵 要解決要解決三個(gè)問(wèn)題三個(gè)問(wèn)題： 一是如何確定一是如何確定 二是怎樣選定二是怎樣選定 三是如何判斷是否三是如何判斷是

41、否 找到了找到了，以終，以終 止迭代。止迭代。 2. .迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則 目前，通常采用的目前，通常采用的有有以下以下幾種幾種： 點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則 函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則 函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則 (1)( ) 1 kk xx 相鄰兩迭代點(diǎn)之間的距離已達(dá)到充分小，即相鄰兩迭代點(diǎn)之間的距離已達(dá)到充分小，即 （2-7） 式中，式中， 給定的計(jì)算精度，一般可取給定的計(jì)算精度，一般可取 。 （）（）函數(shù)函數(shù) 相鄰兩迭代點(diǎn)的函數(shù)值下降量已達(dá)到充分小，即相鄰兩迭代點(diǎn)的函數(shù)值下降量已達(dá)到充分小，即 (1)( ) 2 ()() kk f xf x

42、（2-8） 式中，式中， 給定的計(jì)算精度，給定的計(jì)算精度，一般可取一般可取 。 目標(biāo)函數(shù)在目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)的梯度已達(dá)到充分小，即迭代點(diǎn)的梯度已達(dá)到充分小，即 (1) 3 () k f x （2-9） 1 2 35 1010 35 1010 上述上述都可以單獨(dú)使用。只要其中一個(gè)得到滿足，就可都可以單獨(dú)使用。只要其中一個(gè)得到滿足，就可 以認(rèn)為達(dá)到了以認(rèn)為達(dá)到了，迭代計(jì)算到此結(jié)束。，迭代計(jì)算到此結(jié)束。 對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題，不同的優(yōu)化方法有各自的終止準(zhǔn)則，在此對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題，不同的優(yōu)化方法有各自的終止準(zhǔn)則，在此 不在介紹。不在介紹。 這是由于這是由于的的是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度值的模是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度值

43、的模 為零。因此當(dāng)?shù)c(diǎn)的為零。因此當(dāng)?shù)c(diǎn)的已充分小時(shí)，則認(rèn)為迭代可以已充分小時(shí)，則認(rèn)為迭代可以 終止。終止。 3 式中，式中， 給定的計(jì)算精度，給定的計(jì)算精度，一般可取一般可取。 3 10 )(xf 在介紹有關(guān)在介紹有關(guān)時(shí)，常常要用到時(shí)，常常要用到和和 的概念。這里簡(jiǎn)要介紹之。的概念。這里簡(jiǎn)要介紹之。 1. 多元函數(shù)的多元函數(shù)的梯度梯度 ( )( )( ) ( ) 12 ()()() (), , , t kkk k n f xf xf x f x xxx 已知一已知一 n 元函數(shù)元函數(shù) ，則，則在點(diǎn)處的在點(diǎn)處的可記為：可記為： （2-19） 在優(yōu)化設(shè)計(jì)中有著十分重要的作用。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中有著

44、十分重要的作用。 由于由于，而，而是函數(shù)具有最大變化率的方向。是函數(shù)具有最大變化率的方向。 亦即亦即是指函數(shù)的最速上升方向，而是指函數(shù)的最速上升方向，而一則為函數(shù)的一則為函數(shù)的 。如如圖圖2-11所示所示。 ( )k x 2.2 優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(略略) 圖圖2-11 梯度方向與等值線的關(guān)系梯度方向與等值線的關(guān)系 2. 多元函數(shù)的海森矩陣多元函數(shù)的海森矩陣 )(xf ( )k x ( ) () k h x 2( )2( )2( ) 2 1121 2( )2( )2( ) ( )2( )2 2122 2( )2( )2( ) 2 12 ()()() ()()() ()() (

45、)()() kkk n kkk kk n kkk nnn f xf xf x xx xx x f xf xf x h xf xx xxx x f xf xf x xxxxx 已知一已知一 n 元函數(shù)，則該函數(shù)在點(diǎn)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成元函數(shù)，則該函數(shù)在點(diǎn)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成 的矩陣，稱為的矩陣，稱為函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)的在點(diǎn)的或或 ，經(jīng)常記作。該，經(jīng)常記作。該的組成形式如下：的組成形式如下： )(xf ( )k x (2-21) 由于由于的偏導(dǎo)數(shù)有的偏導(dǎo)數(shù)有nn 個(gè)，而且偏導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)次序無(wú)個(gè)，而且偏導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)次序無(wú) 關(guān)，所以函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣是一個(gè)關(guān)，所以函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣是一個(gè)nn 階的階

46、的。 在判別在判別以及在以及在構(gòu)構(gòu) 造牛頓搜索方向時(shí)都有重要用途。造牛頓搜索方向時(shí)都有重要用途。 ( ) () k h x 求解求解最優(yōu)解的過(guò)程，稱為最優(yōu)解的過(guò)程，稱為(或一維搜索或一維搜索)， 所使用的方法稱為所使用的方法稱為。 )(xf 一維優(yōu)化方法，它不僅可用來(lái)解決一維目標(biāo)函數(shù)的求優(yōu)問(wèn)題，且一維優(yōu)化方法，它不僅可用來(lái)解決一維目標(biāo)函數(shù)的求優(yōu)問(wèn)題，且 常用于多維優(yōu)化問(wèn)題在既定方向上尋求常用于多維優(yōu)化問(wèn)題在既定方向上尋求的一維搜索。的一維搜索。 由前由前可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時(shí)，可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時(shí)，迭代過(guò)程迭代過(guò)程每一每一 步的格式都是從步的格式都是從某一定點(diǎn)某一定點(diǎn) 出發(fā)，沿著

47、某一使目標(biāo)函數(shù)下降的規(guī)定出發(fā)，沿著某一使目標(biāo)函數(shù)下降的規(guī)定方方 向向 搜索，以找出此方向的搜索，以找出此方向的極小點(diǎn)極小點(diǎn) 。這一過(guò)程是各種最優(yōu)化方。這一過(guò)程是各種最優(yōu)化方 法的一種法的一種。 )(k x )(k s )1( k x )(k x )(k s )(k )(k x )(k s )(k 在此過(guò)程中因在此過(guò)程中因 、 已確定，要使目標(biāo)函數(shù)值為最小，只需找已確定，要使目標(biāo)函數(shù)值為最小，只需找 到到一個(gè)合適的步長(zhǎng)一個(gè)合適的步長(zhǎng) 就可以了。這也就是說(shuō)，在任何一次迭代計(jì)算就可以了。這也就是說(shuō)，在任何一次迭代計(jì)算 過(guò)程中，當(dāng)過(guò)程中，當(dāng)起步點(diǎn)起步點(diǎn) 和和搜索方向搜索方向 確定之后，就把求多維目標(biāo)函

48、確定之后，就把求多維目標(biāo)函 數(shù)極小值數(shù)極小值這個(gè)多維問(wèn)題這個(gè)多維問(wèn)題，化解為求，化解為求一個(gè)變量一個(gè)變量（步長(zhǎng)因子步長(zhǎng)因子)的的最優(yōu)值最優(yōu)值 的的一維問(wèn)題一維問(wèn)題。 2.3 一維優(yōu)化方法一維優(yōu)化方法 一維搜索方法一維搜索方法主要有主要有： )(k s 一般一般： 首先在首先在方向方向 上上確定確定一個(gè)包含函數(shù)極小點(diǎn)的一個(gè)包含函數(shù)極小點(diǎn)的初始區(qū)間初始區(qū)間，即，即 確定確定函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是單峰區(qū)間單峰區(qū)間； 然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法得到得到最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)，即求出，即求出 該搜索區(qū)間內(nèi)的該搜索區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)和

49、和一維極小點(diǎn)一維極小點(diǎn)。 分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 二次插值二次插值 黃金分割法黃金分割法（0.618法法） 三次插值法等三次插值法等 本節(jié)本節(jié)介紹最常用的介紹最常用的和和。 根據(jù)根據(jù)函數(shù)的變化情況函數(shù)的變化情況，可將，可將分為分為單峰區(qū)間單峰區(qū)間和和多峰區(qū)間多峰區(qū)間。 所謂所謂，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個(gè)峰值一個(gè)峰值，即函，即函 數(shù)的數(shù)的極小值極小值，如，如圖圖2-18所示。所示。 即在即在內(nèi)的內(nèi)的的的左側(cè)左側(cè)：函數(shù)呈：函數(shù)呈， 而在而在極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)x* 的的右側(cè)右側(cè)：函數(shù)呈：函數(shù)呈上升趨勢(shì)上升趨勢(shì)。 也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，的函數(shù)值呈的函數(shù)值呈的變化特征。的變化特征

50、。 設(shè)設(shè)區(qū)間區(qū)間 1，3 為為單峰區(qū)間單峰區(qū)間， 而而2為為該區(qū)間內(nèi)該區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，的一點(diǎn)， 若有若有1223 成立，則必有成立，則必有 f(1) f(2) f(3) 同時(shí)成立。同時(shí)成立。 圖圖2-18單峰區(qū)間單峰區(qū)間 2.3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 目前，在一維優(yōu)化搜索中，確定目前，在一維優(yōu)化搜索中，確定單峰區(qū)間單峰區(qū)間常用的方法是常用的方法是進(jìn)退試進(jìn)退試 算法算法。 為：為： 按照一定的規(guī)律給出按照一定的規(guī)律給出若干試算點(diǎn)若干試算點(diǎn)， 依次比較各依次比較各試算點(diǎn)的函數(shù)值試算點(diǎn)的函數(shù)值的大小，的大小， 直到找到直到找到相鄰三點(diǎn)相鄰三點(diǎn)的函數(shù)值按的函數(shù)值按“高高-低低-高高”變化的變

51、化的單峰區(qū)間單峰區(qū)間為止為止 。 進(jìn)退試算法進(jìn)退試算法的的如下：如下： 圖圖2-19 求搜索區(qū)間求搜索區(qū)間 (2)將將0及及0+h 代入代入目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) f(x) 進(jìn)行進(jìn)行計(jì)算計(jì)算并并比較比較它們的大小。它們的大小。 (1)給定給定初始點(diǎn)初始點(diǎn)0和和初始步長(zhǎng)初始步長(zhǎng)h，設(shè)設(shè)搜索區(qū)間搜索區(qū)間a, b，如，如圖圖2-19所示。所示。 (3)，則表明，則表明極小點(diǎn)極小點(diǎn)在試算點(diǎn)的在試算點(diǎn)的，需做，需做前進(jìn)前進(jìn) 試算試算。 在做在做前進(jìn)運(yùn)算前進(jìn)運(yùn)算時(shí)，為加速計(jì)算，可將步長(zhǎng)時(shí)，為加速計(jì)算，可將步長(zhǎng)h增加增加2倍，并取計(jì)算倍，并取計(jì)算 新點(diǎn)為新點(diǎn)為0 0+h+2h=0 0+3h。 ，則所計(jì)算的相鄰三點(diǎn)

52、的函數(shù)值已具，則所計(jì)算的相鄰三點(diǎn)的函數(shù)值已具 “高高-低低-高高”特征，這時(shí)可確定特征，這時(shí)可確定搜索區(qū)間搜索區(qū)間為為 00 ()()ffh 00 ()(3 )fhfh 00 , 3abh 否則，將步長(zhǎng)再加倍，并重復(fù)上述運(yùn)算。否則，將步長(zhǎng)再加倍，并重復(fù)上述運(yùn)算。 00 ()()ffh 00 ()() 4 h ff 00 , 4 h abh 0 0 /4h 否則，將步長(zhǎng)再加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)否則，將步長(zhǎng)再加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)上述步驟上述步驟，直到滿足，直到滿足單峰區(qū)間單峰區(qū)間 條件為止。條件為止。 (4) ，則表明，則表明極小點(diǎn)極小點(diǎn)在試算點(diǎn)的在試算點(diǎn)的，需做，需做后退后退 試算試算。在做。在做

53、時(shí)，應(yīng)將時(shí)，應(yīng)將后退的步長(zhǎng)后退的步長(zhǎng)縮短為原步長(zhǎng)縮短為原步長(zhǎng)h的的1/4，則取，則取 步長(zhǎng)為步長(zhǎng)為h/4，并從，并從點(diǎn)出發(fā)，得到后退點(diǎn)為點(diǎn)出發(fā)，得到后退點(diǎn)為 ， ，則，則搜索區(qū)間搜索區(qū)間可取為可取為 上述上述，如，如圖圖2-20所示。所示。 圖圖2-20 進(jìn)退法的程序框圖進(jìn)退法的程序框圖 是：是： 通過(guò)比較通過(guò)比較單峰區(qū)間單峰區(qū)間內(nèi)兩個(gè)插點(diǎn)的函數(shù)值，不斷舍棄內(nèi)兩個(gè)插點(diǎn)的函數(shù)值，不斷舍棄單峰區(qū)間單峰區(qū)間的左的左 端或右端一部分，使端或右端一部分，使區(qū)間區(qū)間按照按照固定區(qū)間縮短率固定區(qū)間縮短率（縮小后的新區(qū)間與原縮小后的新區(qū)間與原 區(qū)間長(zhǎng)度之比區(qū)間長(zhǎng)度之比）逐步縮短，直到逐步縮短，直到極小點(diǎn)極小點(diǎn)

54、所在的區(qū)間縮短到給定的誤差所在的區(qū)間縮短到給定的誤差 范圍內(nèi)，而得到范圍內(nèi)，而得到近似最優(yōu)解近似最優(yōu)解。 黃金分割法黃金分割法，又稱，又稱 0.618法法，它是一種，它是一種等比例縮短區(qū)間等比例縮短區(qū)間的直接搜的直接搜 索方法。索方法。 如如圖圖2-21所示，所示，為使為使ab 區(qū)間區(qū)間縮小，縮小，在在單峰區(qū)間單峰區(qū)間a, b內(nèi)內(nèi)插入插入兩兩 個(gè)內(nèi)分點(diǎn)個(gè)內(nèi)分點(diǎn) ，且滿足且滿足 ，并計(jì)算并計(jì)算它的函數(shù)值它的函數(shù)值 f(1 1), f(2 2)，比較它們的大小，可能發(fā)生以下情況：，比較它們的大小，可能發(fā)生以下情況： 、 1 ab (1) 若若 f(1 1) f(2 2)，顯然，顯然，極小點(diǎn)極小點(diǎn)必

55、位于必位于1，b內(nèi)，因而可內(nèi)，因而可 去掉去掉區(qū)間區(qū)間a，1，得到，得到新區(qū)間新區(qū)間1，b，如，如圖圖2-21(b)所示；所示； 圖圖2-21 黃金分割法的序列消去原理黃金分割法的序列消去原理 (3) 若若 f(1 1) = f(2 2)，極小點(diǎn)極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間應(yīng)在區(qū)間1，2內(nèi)，因而可去內(nèi)，因而可去 掉掉a，1 或或 2，b，甚至將此二段都，甚至將此二段都去掉去掉，如，如圖圖2-21(c)所示。所示。 對(duì)于上述對(duì)于上述縮短后的新區(qū)間縮短后的新區(qū)間，可在其內(nèi)再取一個(gè)，可在其內(nèi)再取一個(gè)新點(diǎn)新點(diǎn)3，然后將，然后將 此點(diǎn)和該區(qū)間內(nèi)剩下的那一點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)值大小的比較，以再次按照此點(diǎn)和該區(qū)間內(nèi)剩下的那一點(diǎn)進(jìn)行

56、函數(shù)值大小的比較，以再次按照 上述方法上述方法，進(jìn)一步，進(jìn)一步縮短區(qū)間縮短區(qū)間，這樣不斷進(jìn)行下去，直到，這樣不斷進(jìn)行下去，直到所保留的區(qū)所保留的區(qū) 間間縮小到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到縮小到給定的誤差范圍內(nèi)，而得到近似最優(yōu)解近似最優(yōu)解。 黃金分割法黃金分割法的的是：是： 每次每次區(qū)間縮短區(qū)間縮短都取都取。按照這一原則，。按照這一原則，其區(qū)間縮其區(qū)間縮 短率短率都是取都是取=0.618，即該法是按區(qū)間全長(zhǎng)的，即該法是按區(qū)間全長(zhǎng)的0.618倍的關(guān)系來(lái)選取兩倍的關(guān)系來(lái)選取兩 個(gè)對(duì)稱內(nèi)插點(diǎn)個(gè)對(duì)稱內(nèi)插點(diǎn)1, ,2的。的。 圖圖2-22 0.618法新、舊區(qū)間的幾何關(guān)系法新、舊區(qū)間的幾何關(guān)系 為縮短區(qū)間，為

57、縮短區(qū)間，黃金分割黃金分割 法法要求在區(qū)間要求在區(qū)間a，b上對(duì)稱上對(duì)稱 地地取兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)取兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)1和和2，設(shè)，設(shè) 兩個(gè)對(duì)稱內(nèi)分點(diǎn)交錯(cuò)離兩端兩個(gè)對(duì)稱內(nèi)分點(diǎn)交錯(cuò)離兩端 點(diǎn)距離為，則點(diǎn)距離為，則 l l l ()ll l 如如圖圖2-22所示，所示， 設(shè)設(shè)原區(qū)間原區(qū)間a，b長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為l， 區(qū)間縮短率區(qū)間縮短率為為。 根據(jù)根據(jù)每次區(qū)間縮短率相等每次區(qū)間縮短率相等的原則，則有的原則，則有 ()lll ll 2 10 ll ll 2 10 2 ()0ll ll由此得由此得 即即 ，或，或 ，解此方程解此方程取其取其正根正根可得可得 51 0.61803398870.618 2 這意味著，只要取這意味

58、著，只要取，就以滿足，就以滿足區(qū)間縮短率不變區(qū)間縮短率不變的要求。的要求。 即即后，后，所得到的區(qū)間所得到的區(qū)間是是原區(qū)間原區(qū)間的的0.618倍，倍，舍棄的區(qū)間舍棄的區(qū)間 是是原區(qū)間原區(qū)間的的0.382倍。倍。 1 2 (1)()0.382() ()0.618() abaaba abaaba 根據(jù)以上結(jié)果，根據(jù)以上結(jié)果，黃金分割法黃金分割法的的的的取點(diǎn)規(guī)則取點(diǎn)規(guī)則為：為： （2-30） 111 222 0.382(), () 0.618(), () abaff abaff 2 1 (1) 給定給定初始單峰區(qū)間初始單峰區(qū)間 a, b和收斂精度和收斂精度； (2) 在在區(qū)間區(qū)間 a, b內(nèi)內(nèi)取兩個(gè)

59、內(nèi)插點(diǎn)取兩個(gè)內(nèi)插點(diǎn)并計(jì)算其函數(shù)值：并計(jì)算其函數(shù)值： ，則取 ，則取a, 為新區(qū)間，而為新區(qū)間，而 則作為新區(qū)間內(nèi)的第一則作為新區(qū)間內(nèi)的第一 個(gè)試算點(diǎn)，即令個(gè)試算點(diǎn)，即令 (3) 比較函數(shù)值比較函數(shù)值 f1和和 f2 的大?。旱拇笮。?綜上所述，綜上所述，如下：如下： 而而另一試算點(diǎn)另一試算點(diǎn)可按下式計(jì)算出來(lái)：可按下式計(jì)算出來(lái)： 2 1 222 0.618(), ()abaff 22121 , , bff 而而另一試算點(diǎn)另一試算點(diǎn)可按下式計(jì)算出可按下式計(jì)算出 111 0.382(), ()abaff ，則取 ，則取 ，b為新區(qū)間，而為新區(qū)間，而 作為新區(qū)間內(nèi)的第一個(gè)作為新區(qū)間內(nèi)的第一個(gè) 試算點(diǎn)，

60、即令試算點(diǎn)，即令 11212 , , aff * , () 2 ab xff x 圖圖2-23 黃金分割法的計(jì)算框圖黃金分割法的計(jì)算框圖 (4) 迭代迭代終止條件終止條件判別判別 若滿足若滿足b-a ，則轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn) 下一步；下一步； 否則否則返回步驟返回步驟(3)，進(jìn)，進(jìn) 行下一次迭代計(jì)算，進(jìn)一步行下一次迭代計(jì)算，進(jìn)一步 縮短區(qū)間?？s短區(qū)間。 (5) 輸出輸出最優(yōu)解最優(yōu)解 ， 如如圖圖2-23所示。所示。 又稱又稱。 是：是： 在給定的在給定的單峰區(qū)間單峰區(qū)間中，利用目標(biāo)函數(shù)上的中，利用目標(biāo)函數(shù)上的三個(gè)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)來(lái)來(lái)構(gòu)造構(gòu)造一個(gè)一個(gè)二次二次 插值函數(shù)插值函數(shù)，以近似地表達(dá)，以近似地表達(dá)原目標(biāo)函數(shù)原目