專題22與圓相關(guān)的比例線段

1、專題22與圓相關(guān)的比例線段閱讀與思考比例線段是初中數(shù)學的一個核心問題.我們開始是用平行線截線段成比例進行研究的，隨著學習的深入、知識的增加，在平行線法的基礎(chǔ)上，我們 可以利用相似三角形研究證明比例線段，在這兩種最基本的研究與證明比例線段方法的基礎(chǔ)上，在不同的圖形中又發(fā)展為新的形式.在直角三角形中，以積的形式更明快地表示直角三角形內(nèi)線段間的比例關(guān)系在圓中，又有相交弦定理、切割線定理及其推論，這些定理用乘積的形式反映了圓內(nèi)的線段的比例關(guān)系.相交弦定理、切割線定理及其推論，它們之間有著密切的聯(lián)系：1 從定理的形式上看，都涉及兩條相交直線與圓的位置關(guān)系；2 從定理的證明方法上看，都是先證明一對三角形相

2、似，再由對應(yīng)邊成比例而得到等積式熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論DBPBACDP例題與求解【例1】如圖，已知 AB是O O的直徑，弦 CD與AB交于點E,過點A作圓的切線與 CD的延長線交于點3F.若DE=4CE , AC=8 5，點D為EF的中點，貝U AB=.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：設(shè)法求出AE、BE的長，可考慮用相交弦定理，勾股定理等.例1題圖【例2】如圖，在Rt ABC中，/ C=90 , AC=4 , BC=3,以BC上一點0為圓心作O O與AC、AB都相切,又O O與BC的另一個交點為 D，則線段BD的長為（）（武漢市中考試題）解題思路：由切割線定理知BE2=BD BC,欲

3、求BD,應(yīng)先求BE.須加強對圖形的認識，充分挖掘隱含條件.【例3】如圖，AB是半圓的直徑， 0是圓心，C是AB延長線上一點，CD切半圓于 D, DE丄AB于E.已知AE : EB=4 :1, CD=2,求 BC 的長.（成都市中考試題）解題思路：由題設(shè)條件“直徑、切線”等關(guān)鍵詞聯(lián)想到相應(yīng)的知識，尋找解題的突破口【例4】如圖，AC為O O的直徑且FAX AC, BC是O O的一條弦，直線PB交直線AC于點D,器蘭嶺(1)(2)（呼和浩特市中考試題）2）,將問題轉(zhuǎn)化為求線段的比值A(chǔ)【例5】如圖，已知 AB為O O的直徑，C為O O上一點.延長BC至D , O于F, AF交CE于P.求證：PE=PC

4、.使 CD = BC, CE丄AD 于 E, BF 交O解題思路：易證PC為O O切線，則PC2=PF PA,只需證明PE2= PF 助線，突破相關(guān)角.（太原市競賽試題）FA.證厶PEFPAE,作出常用輔求證：直線FB是O O的切線; 求cos/ BCA的值.解題思路：對于（1）,恰當連線，為已知條件的運用創(chuàng)設(shè)條件；對于（【例6】如圖，已知點P是O O外一點，PS、PT是O O的兩條切線.過點P作O O的割線PAB,交O O于A、 B兩點，與ST交于點C.1 1/1 1、求證：（+ 二）.PC 2 PA PB（國家理科實驗班招生試題） 解題思路：利用切割線定理，再由三角形相似即可證.T（遼寧省

5、中考試題）（第 5題圖）（第 6題圖）（第 7題圖）能力訓練A級1.如圖，PA切O O于A點， OO的半徑為PC 交O O 于 B、C 兩點，M 是 BC 上一點，且 PA=6, PB=BM=3, OM=2，貝U（青島市中考試題）則 CD=.（四川省競賽試題）C0PE（第 1題圖）（第2題圖）（第3題圖）（第 4題圖）2 .如圖，已知 ABC內(nèi)接于O O,且AB=AC，直徑AD交BC于點E, F是0E的中點.如果BD / CF, BC=2 . 5,3.如圖，AB切O 0于點B, AD交O 0于點C、D, 0P丄CD于點P.若AB=4cm , AD=8cm , O O的半徑為5cm，貝H OP=

6、（天津市中考試題）4. 如圖，已知O O的弦AB、CD相交于點 P, PA=4, PB=3, PC=6, EA BO O于點A, AE與CD的延長線 交于點E, AE=2 .5，那么PE的長為.（成都市中考試題）5. 如圖，在O O中，弦AB與半徑OC相交于點 M ,且OM = MC,若AM=1.5, BM=4,則OC的長為（D . 2.26. 如圖，兩個同心圓，大圓的弦AB與小圓相切于點 P,大圓的弦CD經(jīng)過點P,且CD=13, PD=4，則兩圓組成的圓環(huán)的面積為（）A . 16nB. 36 nC. 52 nD. 81 n（南京市中考試題）（武漢市中考試題）（第 4題圖）（第5題圖）（第 6

7、題圖）7.如圖，兩圓相交于C、D, AB 為公切線，若 AB=12 , CD=9，貝U MD =(（第 8題圖）（第9題圖）（第10題圖）A . 3B . 3 3C. 6D. 6 3& 如圖，OO的直徑 AB=10, E是OB上一點，弦CD過點E,且BE=2 , DE=2 2,則弦心距 OF為(A . 1B.2C. 7D.3（包頭市中考試題）DE丄BE交AB于D, O O是厶BDE的外接圓9.如圖，已知在厶 ABC中，/ C=90 , BE是角平分線,（1）求證：AC是O O的切線；(2)若 AD=6, AE=6 2，求 DE 的長.（南京市中考試題）10 .如圖，PA切O O于A,割線PBC

8、交O O于B、C兩點，D為PC的中點，連結(jié) AD并延長交O O于E, 已知：BE2=DE EA.求證：（1） PA=PD;（ 2） 2BP2=AD DE.（天津市中考試題）11. 如圖， ABC是直角三角形，點 D在斜邊BC上，BD=4DC.已知O O過點C且與AC相交于F，與AB 相切于AB的中點G.求證：AD丄BF.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）12. 如圖，已知 AB是O O的直徑，AC切O O于點A.連結(jié)CO并延長交O O于點D、E,連結(jié)BD并延 長交邊AC于點F.（1）求證：AD AC=DC EA;（2）若AC=nAB （n為正整數(shù)），求 tan/ CDF的值.（太原市競賽試題）1.如圖，

9、兩個同心圓，點A. 4 nB級A在大圓上，AXY為小圓的割線，若 AX AY=8，則圓環(huán)的面積為（8 nC.12nD. 16n2.如圖,a，/ ACB= 3PA切圓于A, PA=8, .連結(jié)AB、心則霍的值等于（P為圓外一點,直線PCB交圓于C、（咸陽市中考試題）B，且 PC=4, AD 丄 BC 于 D, / ABC=C.（黑龍江省中考試題）3.如圖, 的長為（正方形）P（第 2題圖）（第 1題圖）ABCD內(nèi)接于O O , E為DC的中點，直線（第3題圖）BE交O O于點F，若O O的半徑為.2，則BFA .仝24.如圖， 的值等于（A. OM的長已知O）（南京市中考試題）O的半徑為12,銳

10、角 ABC內(nèi)接于O O, BD丄AC于點D, OM丄AB于點M，貝U sin/ CBDB . 2OM的長C. CD的長D . 2 CD的長B15 .如圖，PC為O O的切線，C為切點，PAB是過0點的割線，CD丄AB于D若tan / B=-, PC=10cm，求 BCD的面積.（北京市海淀區(qū)中考試題）6.如圖，已知 CF為O 0的直徑，CB為O 0的弦，CB的延長線與過 F的O 0的切線交于點 P.（1）若/ P=45 , PF=10,求O 0 半徑的長；（2）若E為BC上一點，且滿足 PE =PB PC,連結(jié)FE并延長交O 0于點A.求證：點A是BC的中點.（濟南市中考試題）AB 是O 0

11、的弦，AB AC.(1)(2) 說明理由;(3)7.已知AC、如圖1,能否在 AB上確定一點 E,使AC2=AE AB?為什么?如圖2,在條件（1）的結(jié)論下延長 EC到P,連結(jié)PB,如果PB=PE，試判斷PB與O 0的位置關(guān)系并在條件（2）的情況下，如果E是PD的中點，那么 C是PE的中點嗎？為什么?（重慶市中考試題）圖1（第 7題圖）&如圖，P為O 0外一點，PA與O 0切于A, PBC是O 0的割線，AD丄P0于D,求證：BD=CD.（四川省競賽試題）（第 9題圖）（第 10題圖）（第 11題圖）10 .如圖，已知BC是半圓O的直徑,d是AC的中點，四邊形ABCD的對角線 AC、BD交于點

12、E.(1) 求證：AC BC=2BD CD;(2) 若AE=3, CD=2 5，求弦AB和直徑BC的長.（天津市競賽試題）11. 如圖，PA是O O的切線，切點為 A, PBC是O O的割線, 證明：AD2=BD CD.AD丄OP,垂足為D.9.如圖，正方形 OABC的頂點0在坐標原點，且 OA邊和AB邊所在的直線的解析式分別為：y=- x和425y= _3x .D、E分別為邊OC和AB的中點，P為OA邊上一動點（點 P與點0不重合），連接 DE和CP，33其交點為Q.（1）求證：點Q COP的外心；（2）求正方形OABC的邊長；3）當O Q與AB相切時，求點 P的坐標.（河北省中考試題）Ay

13、（全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題）專題22與圓相關(guān)的比例線段例 1 設(shè) CE=4k ,貝U DA = DF=3k,AF=AC= 船提示：設(shè)EB=x，則AE=二:-CE 遊 UJ2=8，又 BE=16，故 AB=AE + BE=24.例 2AE gAE=4x.設(shè) CB=y，則由 仞：二伽心，加2=林!?，DE+=0廠，得 4=y（y+5x），駅 + （雷 +=4.例 4（1）聯(lián)結(jié) OB，OP，可證明 理DCPAE，有匚廠“ .；:二又 OC為 MBD的中位線，二 OC II AD，貝U CE丄OC，知CE為。0的切線，故 一二二有U 二：即 PE=PC.D（例5題圖）（例6題圖）例6解法一：如圖1，過

14、 P作 PH丄ST于 H ,貝U H是 ST的中點，由勾股定理得.二.又由切割線定理和相交弦定理，有 一二七.；二一二二一 工-一一二 7：-_， 一，即2,聯(lián)結(jié)PO交ST于D，貝U PO丄ST.聯(lián)結(jié)SO,作OE丄PB于E,貝U E為AB的中點，于是苓.v C，E，O，D四點共圓，匚二-二.v RtASPD s RtAOPS，A 級 1.翦 2祐 提示：BDECFE , DE = EF , OF = FE = ED，設(shè) OF=x，則 OA=OD=3x , AE=5x，由朋:士 ,1八匚5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略(2)蕊- -=12 ，ZAEDAD得月=：金打=:，心二 二 -

15、 7. 3. 4 cm 4.4,BE=2x，而 -解得 X=.10. ( 1)略(2)龐肚血廠ABE,=.設(shè) DE=BE AB 1二二 cm .七七 _二工一.可得 PB=BD= PD， PB=PD= DC，1 1J = J 二又 BDCD=ADDE ,m 二J 二.11.作DE丄AC于E,貝U AChAE, AG-DE.由切割線定理得臚二妙抵出爐肚，故一 =-，即劑杓應(yīng)妁：AB=5DE，占何詁點，于是二444屈助又/ BAF = / AED=90 BAFAED，于是又/ ABF= / EAD./ EAD+ / DAB=90 ，/ ABF+ / DAB=90。，故 AD 丄 BE.AD EA

16、12. 如圖，連接 AD，AE. / DAC= / DAE， ADC EACAD AC =DC EA. 丁DC AC/ CDF= / 1 = / 2= / DEA , tan/ CDF=tan / DEA= .由知.AD = DC，故 tan/CDF= 匹.由圓的切割線定理知 AEAEACAC22AC 二DC EC ，而 EC=ED+DC ，貝UAC = DCDC ED.又AC=nAB ， ED=AB，代入上式得n1 2AB2 二 DC DC2AB，即 DC AB2 2 DC n AB =0，故1 ： -M 4n2DC=.顯然，上式只能取加號，于是tan. CDF =匹AC nABDC . 1

17、 4n2 - 12nAF(第12題圖)B級1. B 2. B 3. C 4. A 5.提示：tanB AD =CD =- =-AC .設(shè) AD=x，則 CD DB 2 BCPA ac 1CD=2x, DB=4x，AB=5兀由厶 PA3A PCB得，=， PA=5,又 PC6. 略. 連接 FB，證明 PF=PE，/ BFA= / AFC.7. 能.連接BC ,作/ ACE= / B , CE交AB于E. (2) PB與O O相切.C是PE的中點. =PA *PB，即 102=5 5 5x ，PC CB 228.連接 OA、OB、OC,貝U PA 二 PD PO 二PB PCPC O O ,于是

18、，B、C、O、D四點共圓，有厶PCDPOB ,貝UCD OB9.10.PO pb又由POCPBD得，由得OC BDPB PCBD CD略 A (4,3),0A=5. P (3, 9 )4延長BA , CD交于點G,由Rt CAG s Rt BDC ,得,即 AC BC =BD CG ,又 DG CD BD EC故 AC BC=2BD CG .由Rt CDE s Rt CAG ,得Ci =CD ,即CE 空，解得CG AC 4 一 5 CE 3CE=5 ,從而AG=)(3+5 2 =4CG2 -AC2 =,GA GB = GDGC ,即 4 AB 4 =2 5 4 .5 ,AB=6 ,BCbc = Jab2 +ac2 =62 +(3+5 2 =10.（第10題圖）11. 延長AD交O O于E,連接PE、