2010高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品不等式的證明

1、2010高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品(五)：不等式的證明(1)【知識點精講】1比較法證明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比較法的兩種形式： 比差法：要證 ab，只須證a-b0。 比商法：要證 ab且b0,只須證 a 0。b說明：作差比較法證明不等式時，通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷；一般地運用比商法時要考慮正負，尤其是作為除式式子的值必須確定符號； 證幕指數(shù)或乘積不等式時常用比商法，證對數(shù)不等式時常用比差法。- 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證 的不等式的方法。證明時要注意字母是否為正和等號成立的條件

2、?；静坏仁剑? +厲2+厲少(1)若a 0,b0,則 aaab當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等V 22a b號。2 2(2) a,bR, a b - 2ab 當(dāng)且僅當(dāng)a二b時取等號(3) a,b同號，a b _2 當(dāng)且僅當(dāng)a二b時取等號b a3. 分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備， 那么就可以判定所證的不等式成立。這種證明方法叫做分析法。要注意書寫的格式，綜合法是分析法的逆過程4. 重點難點：作差比較法的順序是“作差 -變形-判斷差式的正負”；作商比較法的順序 是“作商-變形-判斷商式與1的大小”

3、(注意商式的分子分母均正)；綜合法證明不等式是 “由因?qū)Ч薄?思維方式：掌握證明不等式的常用方法，對較復(fù)雜的不等式先用分析法探求證明途徑，再用綜合法加以證明。6.特別注意：在利用不等式的性質(zhì)或基本不等式時要注意等號、不等號成立的條件。 【例題選講】例 1、已知 a,b R,求證:a2+b2+1ab+a證明：p=a2+b2+1-ab-a= (a2 -2ab b2) (a2 - 2a 1) b21(a - b)2 (a -1)2 b212 2顯然p0得證思維點拔作差比較法的順序是“作差 -變形-判斷差式的正負”通常是進行因式分解，利用各因式的符號進行判斷，或進行配方，利用非負數(shù)的性質(zhì)進行判斷2

4、1 2 1 1 1例 2、設(shè) a 0,b 0,求證(旦)2 (b 戶 _a b.b a【分析】不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明。證法一】左邊-右邊=C-a）_（b） _（ a . . b）0,右邊0。左邊=（a Sa-ab b） =（aab b） _2ab- .ab =1.原不等式成立。右邊.ab（、. a b）ab. ab思維點拔用比較法證不等式，一般要經(jīng)歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟。變形的主要手段是通分、因式分解或配方。在變形過程中，也可以利用基本不等式放縮，如證法二。例3、已知a,b,c為正數(shù)n,是正整數(shù)，且f（n）=lg，求證2f（n） 0,y0 且 xm

5、y求證 x3 y3 ： x2 y2i1證明：由 x0,y0且 xmy,要證明 x3y3x2 y2 2只需 x3 y3： ；： ：；x2y2 即 2x3y3 ：3x2y2 x2 y2只需 2xy : x2y2由條件，顯然成立原不等式成立思維點拔分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，要注意書寫的格式練習(xí)：若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：ga2b gc2b ga2c gb gc【分析】根據(jù)本題的條件和要證明的結(jié)論，既可用分析法由可用綜合法。a b【證法】(綜合法)：幕a,b,cR ,又 a、b、 ig(2c是不全相等的正數(shù)，.有2c b a ca b ,)Ig abc 即 igIg2 2 22a c

6、, abc。2c b , a c + lg 2Ig a ig b ig c【證法二】即證 lg(a b c b(分析法)要證 Ig -一b Ig c_b Ig a c Ig a Ig b Ig c2 22a c) . Ig abc成立。只需證衛(wèi). abc成立。2 2 2 2c -. cb 0 , c. ac 0。2 2-ab 0,-abc 0(*)2又 a、b、c是不全相等的正數(shù)，(*)式等號不成立。原不等式成立。例5、已知i, m, n是正整數(shù)，且 1 i mv n(I)證明 n A m(1+ n)m.(I)證明:對于1 i乞m,有A 二:m- (m-i 1),Am_ mm Tm i +1i mmmm 同理iPnn n=1n -i 1in n nn由于m : n,對整數(shù)k士 n -k m -k= 1,2, ,i -1,有n m所以即合,即口人 niAmn m(II)證明：由二項式定理有n(1 m)n = micn,i=0m(1 n)m 八 nCm