(完整版)推理與證明總結(jié)課,推薦文檔

1、推理與證明考綱要求：1 合情推理與演繹推理（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情 推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；（2 ）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一 些簡(jiǎn)單推理；（3） 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。2 直接證明與間接證明（1） 了解直接證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法；了解分析法和綜合 法的思考過程、特點(diǎn)；（2） 了解間接證明的一種基本方法一一反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)。3 數(shù)學(xué)歸納法：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。、推理 1.歸納推理1 ）歸納推理的定義：從個(gè)別事實(shí) 中推演出一般

2、性 的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。2 ）歸納推理的思維過程大致如圖：實(shí)驗(yàn)、觀察-I概括、推:猜測(cè)一般性結(jié)論3 ）歸納推理的特點(diǎn)： 歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，因此，它 不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。 歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們 發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。 2.類比推理1 ）根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?這樣的推理稱為類比推理。2 ）類比推理的思維過程是：觀察、比

3、較聯(lián)想、類推*1 _推測(cè)新的結(jié)論 3.演繹推理1 ）演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到 新結(jié)論的推理過程。2 ）主要形式是三段論式推理。3 ）三段論式推理常用的格式為：M P（M是 P）是大前提，它提供了一個(gè)一般性的原理；S-M（S 是 M）是小前提，它指出了一個(gè)特殊對(duì)象；SP（S 是 P）是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般結(jié)論；小前提 所研究的特殊情況；結(jié)論 根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。討論：演繹推理與合情推理有什么區(qū)別?合情推理歸納推理：由特殊到一般類比推理：由特

4、殊到特殊 演繹推理：由-般到特殊二、證明直接證明:是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。綜合法就是“由因?qū)Ч保瑥囊阎獥l件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為 “執(zhí)果索因”。要注意敘述的形式：要證 A,只要證B, B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用，不 要將它們割裂開。2間接證明：即反證法：是指從結(jié)論的否定出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò) 誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。反證法的一般步驟

5、是：反設(shè)一一推理一一矛盾一一原命題成立。（所謂矛盾是指：與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已證明了的結(jié)論矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；或與已知條件矛盾）。常見的“結(jié)論詞”與“反議詞”如下表：原結(jié)論詞否定原結(jié)論詞否定至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對(duì)所有的x都成立存在某個(gè)x不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x成立至少有n個(gè)至多有n 1個(gè)p或q? p 且? q至多有n個(gè)至少有n+ 1個(gè)p且q? p 或? q典例精講:1. 觀察下列等式：13 233,13 233362，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為.2. 觀察(x2) 2x， (x4)4x3， (cosx) sin x ,由歸納

6、推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f ( x) f (x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，貝U g( x)=()(A) f(x) (B)f(x)(C)g(x) (D)g(x)3. 下列表述正確的是(). 歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一 般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理A.；B .；C.；D.4.已知p是q的充分不必要條件，則q是p的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件5. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線 b平面，

7、直線a平面，直線b /平面，則直線b /直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B. 小前提錯(cuò)誤 C. 推理形式錯(cuò)誤 D. 非以上錯(cuò)誤6. 用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于 60度”時(shí)，反設(shè)正確的是()。(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；(B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；(D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。7. 觀察下列等式： cos2a=2 cos2 a -1; cos4a=8 cos4 a - 8 cos2 a + 1; cos6a=32 cos6 a - 48 cos4 a + 18 cos2 a - 1; cos8a=

8、128 cos8 a - 256 cos6 a + 160 cos4 a - 32 cos2 a + 1; cos10a= m cos10 a - 12 80 cos8 a + 1120 cos6 a + n cos4 a + p cos2 a - 1.可以推測(cè)，m - n + p = .彳 n 28.利用數(shù)學(xué)歸納法證明(a工1，n N)”時(shí)，在驗(yàn)證n=1成2 |. n+11 a1 + a+ a + a = 立時(shí)，左邊應(yīng)該是(A)1(B)1+ a (C)1+ a+ a2(D)1+ a+ a2 + a39 某個(gè)命題與正整數(shù) n有關(guān)，如果當(dāng)n k(k N )時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n k 1時(shí)命題

9、也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n 7時(shí)該命題不成立，那么可推得( )A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立C.當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立B.D.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立當(dāng)n=8時(shí)該命題成立10.用數(shù)學(xué)歸納法證明“ (n1)(n 2)(n n) 2n 1 2(2n1) ”(n N )時(shí)，從nk到 n k 1 ”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是()2k 12k2A. 2k 1B. 2(2k1)C.D.k 1k111.已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明11 1 1 12(111 )時(shí),234n1 n2n4 2n若已假設(shè)n k(k 2為偶數(shù))時(shí)命題為真，貝U還需要用歸納假設(shè)再證()A. nk 1時(shí)等式成立B. n k 2時(shí)等式成立C.n2k 2時(shí)等式成立D. n 2(k2