解析函數(shù)展開成羅朗級數(shù)的方法分析

1、解析函數(shù)展開成羅朗級數(shù)的方法分析摘 要本文給出解析函數(shù)展開成羅朗級數(shù)的兩類方法（即直接展開法和間接展開法）的分析通過分析可見，由于直接法要求函數(shù)的各階導數(shù)，顯然困難，繁雜因此，我們常采用間接法關鍵詞雙邊冪級數(shù)；羅朗級數(shù)；直接展開；間接展開定義及定理定義：級數(shù) (1) (2)當且僅當時，（1）及（2）有公共的收斂區(qū)域即圓環(huán)H：r|za|R稱級數(shù)（1）與（2）之和為雙邊冪級數(shù)可表示為 (3)其中Cn（n=0,1,）為復常數(shù)，稱為雙邊冪級數(shù)的系數(shù)由以上定義、阿貝爾定理及冪級數(shù)和的解析性可得定理：設雙邊冪級數(shù)(3)的收斂圓環(huán)為，則(1) (3)在H內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂于：(2) 在H內(nèi)解析(3)

2、在H內(nèi)可逐項求導p次(p=1，2，)(4) 函數(shù)可沿H內(nèi)曲線C逐項積分前面指出了雙邊冪級數(shù)在其收斂圓環(huán)內(nèi)表一解析函數(shù)，反過來有羅朗定理： 在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)必可展成雙邊冪級數(shù)： (4)其中（ n=0,1,） (5)為圓周，并且展式是惟一的（即由f(z)及H惟一地決定系數(shù)）定義：(4)稱為函數(shù)在點a的羅朗展式，(5)稱為其系數(shù)，而(4)右邊的級數(shù)則稱為羅朗級數(shù)2 方法分析要將一個解析函數(shù)展成羅朗級數(shù)，需要考慮的問題要比展為泰勒級數(shù)要多首先羅朗級數(shù)是在圓環(huán)域內(nèi)的奇點a展開的，它的系數(shù)為：可見，一個函數(shù)在不同的圓環(huán)域內(nèi)有不同的羅朗展式，因此給定一個函數(shù)后，首先是找出它的奇點，進而要確定函數(shù)可以在哪個

3、圓環(huán)域內(nèi)展為羅朗級數(shù)然后是找到展開的方式，即直接展開法和間接展開法2.1直接展開法即：依據(jù)羅朗定理的系數(shù)公式，（n=0，1，2，）先求出系數(shù)，然后再寫出例1 在0| z |+內(nèi)，將展為羅朗級數(shù)解：在復平面上除點在z0=0外，發(fā)處處解析，所以f(z)在圓環(huán)域0| z |+內(nèi)解析取c為圓周，則，（n=0，1，2，）而當時，在上解析，；當時，由高階導數(shù)公式，有即于是，得2.2 間接展開法根據(jù)函數(shù)展開為雙邊冪級數(shù)的唯一性，通過利用已知的一些初等函數(shù)的泰勒展開式來展開，在展開函數(shù)為羅朗級數(shù)時，仍然以泰勒級數(shù)為基礎，常用方法如下： 2.2.1 用公式（|z|1正數(shù))內(nèi)展為羅朗級數(shù) 在內(nèi)，有 ；在內(nèi)，有 ;

4、在內(nèi)，因為，所以有 ;在(a1正數(shù))內(nèi)，有 2.2.2 代換法即在已知函數(shù)展開式中，通過代換因式得到新的羅朗級數(shù)例3 求函數(shù)在去心領域的羅朗級數(shù)解：在內(nèi) 例4 求函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為羅朗級數(shù)解： 因為在內(nèi)解析，所以在圓環(huán)域內(nèi)，有，亦可寫為令，即得：在內(nèi)，有2.2.3部分分式法當發(fā)為有理分式函數(shù)時，先分解為部分分式，然后展為羅朗級數(shù)例5 求函數(shù)在圓環(huán)域和內(nèi)的羅朗級數(shù)展開式解：因為，所以 在內(nèi)，有 在內(nèi)，有 2.2.4 微分方程法利用被展開函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的關系，建立微分方程，通過解微分方程求得函數(shù)的各階導數(shù)值，進而寫出函數(shù)的洛朗級數(shù)展開式一般適用于不易找到合適展開式可以利用，而函數(shù)導數(shù)有保留原來函

5、數(shù)因式的情形如的情形例6 在點的去心領域內(nèi)，將函數(shù)展成羅朗級數(shù)解：令，得而是此函數(shù)的解析點，記此函數(shù)簡記為，于是， ， ， ， ， 所以這里是的可去奇點，令則可化為解析點2結束語通過對羅朗級數(shù)求解方法的分析，舉例希望能給讀者學習羅朗級數(shù)問題帶來幫助，使讀者學起來更容易，并且更好、更系統(tǒng)的掌握它參考文獻1鐘玉泉復變函數(shù)論（第四版）M北京：高等教育出版社，2004184-192 2孫清華，趙德修新編復變函數(shù)題解M武漢：華中科技大學出版社，2001199-2093余家榮復變函數(shù)（第三版）M北京：高等教育出版社，200073-83致謝：本文得到韓山師范學院劉波老師的指導，特此致謝！This artic

6、le gives the analytic function to launch Cheng the Luo bright progression two kind of methods the analysis（namely direct method of development and indirect method of development） By analyzing the visible, as a result of direct method request function various steps derivative, obviously difficult, numerous and diverse. Therefore, we often use the indirect methodKey word : Bilater