數(shù)學(xué)建模論文江河競渡的優(yōu)化模型

1、江河競渡的優(yōu)化模型一、符號說明：水流的速度 單位：m/s：游泳者的速度 單位 m/sv：第一名游泳的速度 單位：m/st：第一名游泳所用的時間 單位：s：游泳方向與 水流方向的夾角y：競賽區(qū)兩岸的垂直距離 單位：ms：競賽區(qū)的水平距離 單位：ml：水的位移 單位：mt：游泳者所用的時間 單位：s ：競賽區(qū)第i段的垂直距離 單位：m：競賽區(qū)的第i段的水平距離 單位：m 1000漢陽南岸咀v(水)1160v武昌漢陽門 圖1二、模型的建立與求解 模型假設(shè)： 不考慮風(fēng)力對水速的影響。不考慮水溫對人的體力影響。不考慮江面風(fēng)浪等水情對人的影響。將起點(diǎn)和終點(diǎn)均看作一點(diǎn)，記為a，b。江面寬度保持不變，即兩岸是

2、保持平行的。 模型 ：（水流恒速模型） 問題1：通過對本題的分析，利用流體力學(xué)原理及圖論的分析方法，建立模型。當(dāng)競渡區(qū)域每點(diǎn)的流速均為1.89m/s時，在148的時間內(nèi)，水流的位移為： l=1602.72 m斷定游泳者的速度在逆水方向上有一分量，即游泳者速度的方向應(yīng)與水流的反方向成一定夾角，設(shè)此夾角為，如圖。于是可得 解得 由題可知，長江水流速度的大小和方向是不變的，令游泳者的速度為v，方向與水流反方向成角，于是可得：消去，我們可以得到夾角與速度的關(guān)系為：。當(dāng)v=1.5m/s時，代入可得。此時，=1160/（vsin）=910.491s。即游泳者的v=1.5m/s時成績?yōu)?10.491s，在此

3、種情況下，游泳者所走的路線為從武昌漢陽門至漢陽南岸咀的一條直線。問題2：（1）在問題1的假設(shè)下，當(dāng)游泳者始終以和岸邊垂直的方向游時，可以列出以下方程式 因為=1.89m/s，得出=2.1924m/s。即：當(dāng)游泳者速度2.01924m/s時，他們能到達(dá)終點(diǎn)。 當(dāng)游泳者速度2.01924m/s時，他們將無法到達(dá)終點(diǎn)。有分析可知：人的游泳速度在1.5m/s，不可能達(dá)到2.1924m/s，所以，日如果從一開始路線選擇錯誤，將無法到達(dá)終點(diǎn)。（2）模型中看出影響游泳者到達(dá)終點(diǎn)的因素主要是：水流速度、游泳者的速度v和該速度方向與水流方向的夾角，以及競賽區(qū)域的水平距離s和垂直距離y。在2002年，全程長度較1

4、934年要短的多，因此，若想到達(dá)終點(diǎn)，就必須要求游泳者速度比較快。如圖，合速度os應(yīng)保持在oa直線上，basmno圖2即當(dāng)水流速度為1.89m/s時，根據(jù)力的平行四邊形定則，on=ms當(dāng)msoa時，ms取得最小值。根據(jù)已知，ob=1160m，om=1.89m/s。在1934年時，當(dāng)oa=5000m時，。在2002年時，。顯而易見，在1934年時，只要游泳者的速度大于0.43848m/s，就能到達(dá)對岸，而一般人的游泳速度要比這個速度大的多，因此在此前提下，路線略有變動，也不致被沖到下游，最終能夠到達(dá)終點(diǎn)。而在2002年的這次比賽中，要求比賽者的速度必須大于1.4315m/s，且要求方向準(zhǔn)確，因此

5、友一定的難度，只有部分人員選擇了正確的方向，而大部分人被沖到了下游，所以到達(dá)終點(diǎn)的人數(shù)較少。因此，2002年能游到終點(diǎn)的人數(shù)的百分率比1934年要小的多。（3）由上面分析可知，能夠到達(dá)終點(diǎn)的選手必須滿足如下條件： a.游泳選手的身體素質(zhì)要好，游泳速度在1.4315m/s以上。b.游泳選手的方向感要強(qiáng)，以調(diào)整方向選擇正確的路線。模型：(水速分段變化的模型)問題3的求解根據(jù)水的流速，將游泳路線分為三個階段考慮，在每一階段上速度為一定值，與第一問的情況大致相同，所走路線如圖（3）所示。設(shè)在三段中，所用的時間分別為，且，于是可得以下關(guān)系：目標(biāo)函數(shù)為：。結(jié)合模型通過編程求的最優(yōu)解：即游泳者在個路段中的游

6、泳方向與水流反方向的夾角分別為：各交界點(diǎn)坐標(biāo)分別為：a（94.062112，200），b（802.749845，960）游泳者所走路線的函數(shù)方程為：游泳者的路線在各段中均為直線，如圖（3）所示。競渡共需時間：。問題4的求解 960200o x1000abc 圖3y1160當(dāng)水的流速為連續(xù)分布時，仍將此模型分為三個階段。設(shè)在三個階段的速度分別為，在第一階段和第三階段時，和y呈線性關(guān)系，為了計算時間，取這兩段的平均速度為研究對象，于是可得：所以的分布為：與問題3大致相同，由程序同理可得： 共需時間為：整個游泳過程中，設(shè)t時刻時游泳所處的位置為：由題意可得：解得：在第一、三階段中，我們?nèi)〉檬撬鞯钠?/p>

7、均速度，在此前提下選手的游泳方向和大小不變，也為一定值。在第一階段中，代入上式，積分可得第一階段的路線方程。同理，可求出在可得第三階段的路線方程。在第二階段中，因為水速為一定值，所以游泳者的路線在此段中為一直線。綜上所述，游泳者所走的路線函數(shù)方程為;游泳者所走路線的路徑如圖（4）所示。三、模型的優(yōu)缺點(diǎn)oxy11609602001000圖4從問題出發(fā)，分析了應(yīng)該考慮的各種情況，建立了一般的數(shù)學(xué)模型，較好的解決了實際問題，模型的建立過程中體現(xiàn)了模型由簡到繁的過程，用到的數(shù)學(xué)方法都比較簡單易懂，并且每個模型的數(shù)值都通過計算機(jī)來解得，得到的解與實際情況基本吻合，解的穩(wěn)定性很好。此模型具有廣泛的使用性，

8、它建立的前提條件對v，三者沒有任何約束，對每一個具體的情況，都可以在模型中求解出來。同時，模型也存在著一些不足。一是競渡階段的劃分是有著人為因素，不同的劃分得到不同結(jié)果；二是在問題（4）中連續(xù)分布上計算結(jié)果有所欠缺，進(jìn)而降低了模型的實用性。四、競渡策略從古至今，策略無論是在人們的日常生活中還是在經(jīng)濟(jì)生活中都占有舉足輕重的地位。好的策略是成功的開始，好的策略來源于對環(huán)境的充分理解，對于一名渡江選手也不例外。一個渡江選手要想獲得最好的成績就是要在最短的時間內(nèi)恰好到達(dá)終點(diǎn)，為此建立了一系列的數(shù)學(xué)模型詳盡的說明了問題并提出了最優(yōu)方案。情況1：如果競渡水域中每點(diǎn)的水速和方向均不變時，參賽者只需使本人的速

9、度與水流的合速度從起點(diǎn)指向終點(diǎn)即可。情況2：競渡水域分為水流速度固定的幾個區(qū)域，在每個區(qū)域中水流速度固定，確定游泳者的游泳方向和大小保持不變，可用微積分以及vb求出最優(yōu)解。情況3：競渡水域的水流速度不一定固定在幾個區(qū)域?？梢杂梦⒃姆椒ò阉騨等分，這時候要求選手在不同的水域選擇不同的速度和方向，但實際難度比較大，所以可以在不同的區(qū)域取水流速度的平均值來近似計算。飲酒駕車據(jù)報載，2003年全國道路交通事故死亡人數(shù)為10.4372萬，其中因飲酒駕車造成的占有相當(dāng)?shù)谋壤?。針對這種嚴(yán)重的道路交通情況，國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年5月31日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗國家標(biāo)準(zhǔn)

10、，新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升為飲酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升為醉酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12點(diǎn)喝了一瓶啤酒，下午6點(diǎn)檢查時符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨2點(diǎn)才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，并討論以下問題：1. 對大李碰到的情況做出解釋；2. 在喝了3瓶啤酒或者

11、半斤低度白酒后多長時間內(nèi)駕車就會違反上述標(biāo)準(zhǔn)，在以下情況下回答：1） 酒是在很短時間內(nèi)喝的；2） 酒是在較長一段時間（比如2小時）內(nèi)喝的。3. 怎樣估計血液中的酒精含量在什么時間最高。4. 根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？ 5. 根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國家標(biāo)準(zhǔn)寫一篇短文，給想喝一點(diǎn)酒的司機(jī)如何駕車提出忠告。參考數(shù)據(jù)1. 人的體液占人的體重的65%至70%，其中血液只占體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。2. 體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數(shù)據(jù)如下：時間(小時)0.250

12、.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時間(小時)678910111213141516酒精含量3835282518151210774摘要根據(jù)藥物動力學(xué)中的原理，建立了房室模型來研究動態(tài)過程。我們建立了兩個房室：吸收室和中央室。對于二室模型我們建立了中央室的酒精含量的微分方程以描述其動態(tài)特征。在模型的基礎(chǔ)上，我們提出了合理的假設(shè)，將問題進(jìn)一步簡化，得到線性方程，解決了題目中所給的問題。關(guān)鍵詞：房室；優(yōu)化；數(shù)學(xué)模型一、 問題的重述（略）二、模型的假設(shè)和說明1、所謂房室是指機(jī)體的一部分，酒精在一個房室內(nèi)呈均勻分布，即酒精在血液中的含量是

13、常數(shù)，而在不同房室之間則按照一定的規(guī)律進(jìn)行酒精的轉(zhuǎn)移。2、將機(jī)體分為吸收室和中央室，吸收室的容積隨飲入酒水的體積而改變，而中央室的容積（即血液體積或酒精分布容積）在過程中保持不變。3、酒精從吸收室向中央室的轉(zhuǎn)移速率，以及向體外的排除速率，與該室的酒精含量（毫克/百毫升）成正比。4、有中央室與體外有酒精交換，即酒精從體外進(jìn)入吸收室，緊接進(jìn)入中央室，最后有從中央室排出體外，與轉(zhuǎn)移和排除的數(shù)量相比，酒精的吸收可以忽略不計。并且不考慮少量酒精在進(jìn)入人體后，馬上隨肺部呼吸或經(jīng)汗腺排出體外的部分。5、酒在短時間內(nèi)喝完，則認(rèn)為酒精瞬時進(jìn)入吸收室；而在很久時間內(nèi)喝完，則認(rèn)為均勻的進(jìn)入吸收室。6、符號說明：酒精

14、進(jìn)入吸收室的速率； t飲酒所需花費(fèi)的時間； 吸收室中的酒精含量（毫克）； 中央室中的酒精含量（毫克）； 中央室的容積（百毫升）； 飲入酒水中所含的總酒精量（毫克）；吸收室到中央室之間的酒精轉(zhuǎn)換率系數(shù)；酒精從中央室向體外排出的速率系數(shù)； 中央室中的酒精含量（毫克/百毫升）；三、模型的建立酒精無需經(jīng)過消化系統(tǒng)而被腸胃直接吸收。酒進(jìn)入腸胃后，進(jìn)入血管。在隨著血液運(yùn)輸?shù)礁鱾€器官和組織的過程中，不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外。根據(jù)藥物動力學(xué)上的原理，我們建立房室模型以研究上述的動態(tài)過程。所謂房室是指機(jī)體的一部分，酒精在一個房室內(nèi)呈均勻分布，即酒精在血液中的含量是常數(shù)，而在不同房室之間則按照一定的

15、規(guī)律進(jìn)行酒精的轉(zhuǎn)移。根據(jù)本題所研究的對象，我們將其劃分為兩個房室模型，即將腸胃看作是酒精首先被吸收的場所-吸收室；將心、肺、腎、肝臟等分解代謝器官看作一個房室-中央室。如下圖所示：排除吸收室中央室，v給酒精 圖1 酒精轉(zhuǎn)移示意圖根據(jù)前面所述的假設(shè)條件和圖1，可以得出兩個房室，滿足的微分方程：與血液中酒精含量、中央室的容積v之間顯然有關(guān)系式：=/v （3）根據(jù)飲酒所需的時間不同，分兩種情況進(jìn)行分析討論：1） 當(dāng)酒是在很短時間內(nèi)喝的，則有初始條件： =0 ，= ， =0 （4）將（4）代入（1）、（2）可得到如下方程： = =其中：飲入酒水中所含的酒精總量，將（3）代入上式可得到中央室中的酒精含量

16、：其中：2） 當(dāng)酒是較長一段時間（如2個小時）內(nèi)喝的，設(shè)該時間為t，則： ， =0 ，=0 （7）將（7）代入（1）、（2）可得到如下方程：其中：t飲酒所需花費(fèi)的時間將（3）代入上式可得到中央室中的酒精含量：根據(jù)題中所給的參考數(shù)據(jù)，再結(jié)合上述的模型，利用高等數(shù)學(xué)所學(xué)的知識（一階線性齊次與非齊次微分方程的求解，最小二乘法，微積分等知識），及利用microsoft visual basic 6.0編程進(jìn)行模擬，并繪制出圖形。求解出模型中的未知的轉(zhuǎn)換率系數(shù) ， 的值。體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，一定時間后測量他的血液中酒精含量（毫克/百毫升）的參考數(shù)據(jù)：時間（小時）0.250.50

17、.7511.522.533.544.55酒精含量 306875828277686858515041時間（小時）678910111213141516酒精含量3835282518151210774 表1 血液中酒精含量與時間對比表其中：圖2是根據(jù)所給的參考數(shù)據(jù)，利用microsoft excel進(jìn)行繪制的平滑直線，而圖3是根據(jù)參考數(shù)據(jù)，在利用microsoft visual basic 6.0編程模擬進(jìn)行繪制的圖形。由于酒精從吸收室向中央室的轉(zhuǎn)移速率，以及向體外的排除速率，與該室的酒精濃度成正比，從圖3中也可以發(fā)現(xiàn)，因此轉(zhuǎn)移速率與酒精濃度有關(guān)，濃度越大，轉(zhuǎn)移速率也就越大。因此，我們?yōu)榱撕喕Ｐ停瑢?/p>

18、圖線劃分為一區(qū)和二區(qū)兩個區(qū)域，設(shè)每一個區(qū)域中的轉(zhuǎn)移速率均為常數(shù)，根據(jù)圖象以及模型的建立，并考慮分析計算的方便，以t=8時為兩區(qū)的分界線，如圖3所示，這樣我們就將對參考數(shù)據(jù)中的典型數(shù)據(jù)進(jìn)行編程求解，得出轉(zhuǎn)移速率系數(shù)：當(dāng)0t8時，=2.4 ，=0.175 ，a=114，當(dāng)t8時，=2.05 ，=0.197 ，a=120，其中：當(dāng)酒精濃度達(dá)到峰值時，=四、模型的求解針對問題一：對于大李問題，可用在很短時間內(nèi)喝完的模型來解決，當(dāng)大李喝完第一瓶啤酒后，經(jīng)過6小時血液中的酒精濃度為：將t=6及=2.4 ，=0.175 ，a=114 代入方程（6）得=19.946。在飲完第一瓶6個小時后，又喝第二瓶，再經(jīng)過

19、8小時后，血液中酒精濃度為：將t=8及=2.05 ，=0.197 ，a=120 代入方程（6）得=22.809 。所以大李在喝完第一瓶6小時后，經(jīng)檢驗符合國家標(biāo)準(zhǔn)，而6小時后喝完第二瓶酒，在經(jīng)過8小時檢驗不符合國家標(biāo)準(zhǔn)。針對問題二：1） 當(dāng)和三瓶啤酒或半斤低度白酒時，由以上模型得：要使駕車時不違反標(biāo)準(zhǔn)，則：20。由vb編程得：當(dāng)t11.224時，不違反標(biāo)準(zhǔn)。2）當(dāng)在很長時間內(nèi)喝完時，由上述模型得： 由vb編程得:當(dāng)t13.54 時，不違反標(biāo)準(zhǔn)。針對問題三：1） 若酒是在很短的時間內(nèi)喝的，則 a. 當(dāng)時， 解得當(dāng) 時，取得最大值，即血液中酒精含量最高。b. 當(dāng)時， 解得當(dāng) 時，取得最大值，即血液

20、中酒精含量最高。2） 若酒是在較長一段時間內(nèi)喝的，則 針對問題四：假設(shè)每隔t小時喝的酒，則在第一個周期t中：第一個周期結(jié)束時，血液中存在酒精內(nèi)殘余量。所以在第2個周期中：方程（3）在（1）的條件下所的解可表示為：同樣，在第2個周期結(jié)束時，血液中同樣留有上個周期殘余的酒精。所以在3個周期中：方程（3）在（2）的條件下所得到的解可表示為：通過數(shù)字歸納得：在第n個周期中方程（3）在上面條件下的解可表示為 （0tt）當(dāng)n時當(dāng)0，且t較大時，若 c(t)20 則應(yīng)有20則每次飲酒量與飲酒時間間隔期應(yīng)有關(guān)系：如果滿足此關(guān)系，即可天天飲酒且符合國家標(biāo)準(zhǔn)，也可以開車。dvd在線租賃一、問題的重述隨著信息時代的

21、到來，網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強(qiáng)大的資源和知名度，面向其會員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如，音像制品的在線租賃就是一種可行的服務(wù)。這項服務(wù)充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的諸多優(yōu)勢，包括傳播范圍廣泛、直達(dá)核心消費(fèi)群、強(qiáng)烈的互動性、感官性強(qiáng)、成本相對低廉等，為顧客提供更為周到的服務(wù)。考慮如下的在線dvd租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會員，訂購dvd租賃服務(wù)。會員對哪些dvd有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單包括多張dvd，這些dvd是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的dvd數(shù)量和會員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個會員每個月租賃

22、次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張dvd。會員看完3張dvd之后，只需要將dvd放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題：1） 網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的dvd，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些dvd的人數(shù)（表1給出了其中5種dvd的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃dvd兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種dvd來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該dvd的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該dvd？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該dvd呢？2） 表2中列出了網(wǎng)站手上20種dvd

23、的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的100位會員的在線訂單（表2表格格式示例如下表2，具體數(shù)據(jù)請從/mcm05/problems2005c.htm下載），如何對這些dvd進(jìn)行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即c0001c0030）分別獲得哪些dvd。3） 繼續(xù)考慮表2，并假設(shè)表2中dvd的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種dvd的購買量，以及如何對這些dvd進(jìn)行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的dvd，并且滿意度最大？表1 對1000個會員調(diào)查的部分結(jié)果dvd名稱dvd1dvd2dvd3dvd4dvd5愿意觀看的

24、人數(shù)200100502510表2 現(xiàn)有dvd張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）dvd編號d001d002d003d004dvd現(xiàn)有數(shù)量812210會員在線訂單c00010020c00021090c00030600c00040000注：d001d020表示20種dvd, c0001c0100表示100個會員，會員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的dvd當(dāng)前不在會員的在線訂單中。二、問題的分析先對問題一進(jìn)行分析：我們可視其為一個離散型隨機(jī)變量模型，更確切的是二點(diǎn)分布問題，我們先將問題具體到一種dvd上，利用數(shù)學(xué)期望求其平均需求量，由此可求

25、出其余各種dvd的平均需求量。我們可以假設(shè)對dvd1進(jìn)行分析計算：使它的平均需求量至少為愿意觀看dvd1的總?cè)藬?shù)的50%，通過計算，我們可求得其結(jié)果。針對問題二，我們可以借助運(yùn)籌學(xué)中的線性規(guī)劃知識來解決此類問題：其中還蘊(yùn)含著特殊的規(guī)劃模型（0-1規(guī)劃）。線性規(guī)劃就是利用線性方程組的相關(guān)理論來解決規(guī)劃問題的一種數(shù)學(xué)方法；由于數(shù)據(jù)的計算量大而復(fù)雜屬于“海量”計算問題，我們利用“matlab”“l(fā)ingo”等程序來求解線性規(guī)劃模型。我們可將問題三看作一個0-1規(guī)劃問題，它也屬于特殊型線性規(guī)劃問題。作為管理人員，應(yīng)該對這些dvd進(jìn)行合理分配（如表xi），才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他們想看的dvd，

26、而且使得滿意度最大。三、符號變量及說明n：dvd的總需求量；：表示為第i種dvd的需求量,i=1,2,3,4,5；表示為隨機(jī)變量：表示40%的會員（每月租賃一次）租賃dvd1的概率；：表示60%的會員（每月租賃一次）租賃dvd1的概率；：表示三個月中第一個月租賃dvd1的隨機(jī)變量：表示三個月中第二個月租賃dvd1的隨機(jī)變量：表示三個月中第三個月租賃dvd1的隨機(jī)變量e(x)：表示租到dvd1的數(shù)學(xué)期望；：表示第i個會員對租賃到第j種dvd的滿意度；：表示三個月中第一個月第一次租到的人數(shù)；：表示三個月中第一個月第二次租到的人數(shù)；：表示三個月中第二個月第一次租到的人數(shù)；：表示三個月中第二個月第二次

27、租到的人數(shù)；：表示三個月中第三個月第一次租到的人數(shù)；：表示三個月中第三個月第二次租到的人數(shù)；f：表示會員在線訂單數(shù)；：表示滿意度系數(shù)；四、問題的假設(shè)（1）假設(shè)每月dvd的需求是均勻的；（2）網(wǎng)站一收到訂單，就立即郵寄給會員，盡可能減少郵寄時間；（3）會員持有dvd的期限不能超過一個月，會員按照一定規(guī)則到期必須歸還，不影響dvd下次的租出（其它任何意外不考慮）；（4）設(shè)dvd1租賃的數(shù)量為，會員租一次得到該盤的概率為；五、模型的建立與求解1、根據(jù)問題一所提供的信息，先將總體具體到一種dvd上，計算該種dvd的數(shù)量。（1）我們先考慮：能保證希望看到dvd1的會員中至少有50%的會員在一個月能夠看到

28、dvd1的至少需求量；由已知可得，60%的會員每月租2次，40%的會員每月租1次，現(xiàn)有10萬人，則有20000*60%=12000人每月租2次，有8000人每月租1次；又有1000人中有200人能租到dvd1，則10萬人中有2萬人能租到dvd1，所以每次每位會員能租到dvd1的概率為，40%的會員借1次的概率分布和60%的會員借2次的概率分布分別如表i，表ii，10表i10表ii因此，解得；，同理可得；所以總的光盤數(shù)為：（2）據(jù)題意得，設(shè)要保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能看到dvd1的至少需求量為，我們假設(shè)會員租借dvd1必須在月末歸還，不影響下個月的租賃。針對此問題，我們可將三個月分開獨(dú)立計

29、算，即每一個月最多可租賃2次月初租出，到月末必須歸還。因此，第一個月第一次可由人租到，第二次可由人租到。同理，第二、三月分兩次分別由、人租到。由題意可得，第一個月一次租到dvd1的概率分布（表iii），第一個月兩次租到dvd1的概率分布，（表iv）第二個月一次租到dvd1的概率分布（表v），第二個月兩次租到dvd1的概率分布（表vi），第三個月一次租到dvd1的概率分布（表vii），第三個月兩次租到dvd1的概率分布（表viii）分別如下：10表iii10表vi10表v10表vi10表vii10表viii則總的期望：即解得，同理可得,。所以總的光盤數(shù)為：2、由表2可知網(wǎng)站現(xiàn)有20種dvd，且會

30、員所需租賃的種類不同，每種dvd的需求也不同；其滿足0-1規(guī)劃問題，設(shè)表示第i個會員對租賃到第j種dvd的滿意度，由于表中的數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，所求f的最小值也即是求最大的滿意度；即：，由此可得到問題二的目標(biāo)函數(shù)：由于每位會員一次只能獲得3張，且現(xiàn)在每種dvd都有一定的數(shù)量，約束條件為：并且由lingo軟件編程得：會員號dvd名稱會員號dvd名稱c001d003d017d020c0016d007d009d017c002d001d006d012c0017d004d007d017c003d006d017d020c0018d007d018d020c004d007d011d012c0019

31、d006d015d017c005d006d007d017c0020d006d007d020c006d006d012d016c0021d006d013d015c007d007d011d020c0022d003d007d011c008d001d013d014c0023d011d012d013c009d003d007d015c0024d007d011d013c0010d010d012d017c0025d015d017d019c0011d003d010d020c0026d003d006d016c0012d007d011d019c0027d006d007d010c0013d006d017d020c002

32、8d005d007d009c0014d006d016d017c0029d012d013d020c0015d007d017d020c0030d003d017d0203、它同樣也是一個線性規(guī)劃模型問題，我們先求出每種dvd的購買量，再得到每種dvd光盤的95%的數(shù)量得：dvd編號d001d002d003d004d005d006d007d008d009d010需求量的95%50364433364049463949dvd編號d011d012d013d014d015d016d017d018d019d020需求量的95%46394143503941434230由此可得到問題三的目標(biāo)函數(shù)：由于每位會員一次只

33、能獲得3張，且現(xiàn)在每種都有一定的數(shù)量，其約束條件為：并且由軟件可以求得具體結(jié)果。六、模型的評價在人類發(fā)展史上，電子計算機(jī)的產(chǎn)生和發(fā)展已有相當(dāng)長的歷史。但是，以計算機(jī)為載體的互聯(lián)網(wǎng)，不知從何時開始，悄悄地進(jìn)入我們的生活。現(xiàn)代的社會發(fā)展，對于互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)達(dá)到前所未有的高度依賴程度。自從網(wǎng)絡(luò)開始慢慢普及，信息在上網(wǎng)一族之間開始廣泛地傳播，致使供給和需求的信息得到充分交流。人們只要在網(wǎng)上輸入自己想要的商品，搜索一下，大篇的供應(yīng)商資料就會呈現(xiàn)眼前，而供應(yīng)商也可以借著網(wǎng)絡(luò)的資料，查詢哪些消費(fèi)者對于自己的商品有最大的消費(fèi)能力，統(tǒng)計數(shù)據(jù)，以便宜更好地針對性地宣傳。足不出戶，人們就可以在網(wǎng)上達(dá)成交易，大大促進(jìn)了市

34、場的供求兩旺的局面。人們對于信息的需求越來越多的今天，網(wǎng)絡(luò)成了最好的傳播媒體。首先，網(wǎng)絡(luò)的迅速發(fā)展，給不法商人帶來了可鉆的空子。不少的色情、暴力、賭博等不良網(wǎng)站應(yīng)運(yùn)而生。這些不法商人為了牟取暴利，不顧網(wǎng)站的信息對于青少年的思想健康有多大的危害性，不斷在網(wǎng)站上傳播色情暴力信息。其次，網(wǎng)絡(luò)帶來了人與人之間的許多紛爭。因為對于網(wǎng)絡(luò)，政府出臺的政策不夠完善，所以有許多關(guān)于知識產(chǎn)權(quán)的問題在源源不斷地產(chǎn)生。體能測試時間安排摘 要本文對某學(xué)校的學(xué)生體能測試時間安排問題進(jìn)行分析，應(yīng)用解決多因素問題要抓住主要矛盾的思想方法，找出安排體能測試方案的關(guān)鍵是臺階實驗，得到了在滿足完成整個測試所需時間段數(shù)最少（四個時間

35、段）的條件下，使學(xué)生平均等待時間最小的計算方法，并計算出最小平均等待的時間為：6.22分鐘，并且設(shè)計出實現(xiàn)此目標(biāo)的測試方案（第3頁流程圖）和時間安排表（第4頁表三）。按照本文給出的測試方案，當(dāng)臺階測試儀器的數(shù)量增加一倍時，每輪可安排40人進(jìn)行測試，這時跳遠(yuǎn)測試儀器和肺活量測試儀也應(yīng)增加一倍，但身高體重測量儀器卻可以減少一臺，握力測量儀器數(shù)量不變。關(guān)鍵詞 ：時間段，平均等待時間，測試流程一、問題重述某校按照教學(xué)計劃安排各班學(xué)生進(jìn)行體能測試，以了解學(xué)生的身體狀況。測試包括身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力和臺階試驗共5個項目，均由電子儀器自動測量、記錄并保存信息。該校引進(jìn)身高與體重測量儀器3臺，立

36、定跳遠(yuǎn)、肺活量測量儀器各1臺，握力和臺階試驗測量儀器各2臺。身高與體重、立定跳遠(yuǎn)、肺活量、握力4個項目每臺儀器每個學(xué)生的平均測試（包括學(xué)生的轉(zhuǎn)換）時間分別為10秒、20秒、20秒、15秒，臺階試驗每臺儀器一次測試5個學(xué)生，需要3分30秒（210秒）。每個學(xué)生測試每個項目前要錄入個人信息，即學(xué)號，平均需時5秒。儀器在每個學(xué)生測量完畢后學(xué)號將自動后移一位，于是如果前后測試的學(xué)生學(xué)號相連，就可以省去錄入時間，而同一班學(xué)生的學(xué)號是相連的。學(xué)校安排每天的測試時間為8：0012：10與13：3016：45兩個時間段。5項測試都在最多容納150個學(xué)生的小型場所進(jìn)行，測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的

37、各班人數(shù)見附表。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試，并且在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間。用數(shù)學(xué)符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學(xué)問題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測試時間的安排計劃，并且說明該計劃怎樣滿足學(xué)校的上述要求和條件。對學(xué)校以后的體能測試就以下方面提出建議，并說明理由：如引進(jìn)各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學(xué)生是否需要分成幾個組進(jìn)行測試等。二、符號說明：第時間段的開始時間（其中 =1、2、3、4）；：第時間段的結(jié)束時間（其中 =1、2、3、4）；：第k個班級的開始時間；：最終

38、的平均等待時間；：第i次測試班級的平均等待時間（i=1，2，56）；：第k個班級的人數(shù)（k=1，2，56）；：第i次測試剩余的人數(shù)（i=1，2，56）；：第i次測試時班級的人數(shù)，；：各班的人數(shù)總和。三、問題分析我們先假設(shè)參加體能測試的學(xué)生學(xué)號相連，且全體2036名學(xué)生只做臺階試驗一項，全部做完臺階實驗所用的時間可由下式計算得到：（2036/10）*210+5/3600=11.88小時=11小時53分而每天做測試的時間是7小時25分（2個時間段），3個時間段為11小時35分（4小時10分+3小時15分+4小時10分=11小時35分）小于11小時53分，因此完成測試至少需要4個時間段。根據(jù)問題提供

39、的數(shù)據(jù)可知，五項測試中花費(fèi)時間最多的一項是臺階測試，做臺階測試，每次最多只能做10人，我們應(yīng)使臺階測試不間斷地進(jìn)行，盡量不要使其留有空余位置，以便節(jié)省測試時間和減少學(xué)生的等待時間，其他測試應(yīng)在臺階測試的同時進(jìn)行，這樣我們要對測試過程進(jìn)行優(yōu)化編排。選取學(xué)號相連的20名學(xué)生（不妨假設(shè)取1-20號）做測試，其中10人（1-5號和11-15號）做臺階測試，另外10人（6-10號和16-20號）進(jìn)行前四項測試。根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)得到1-5號和11-15號學(xué)生做完臺階測試需要210秒，則其余10人前四項的測試必須在210秒內(nèi)完成，所以還需要對這10個人（6-10號和16-20號）的前四項測試安排進(jìn)一步優(yōu)化

40、，使其在210秒內(nèi)完成。又因為立定跳遠(yuǎn)和肺活量各只有一臺，且測試時間都為20秒/人；握力測試器有兩臺，每臺測試時間為15秒/人；身高體重測試儀器三臺，每臺測試時間需要10秒/人?？梢钥闯觯⒍ㄌh(yuǎn)和肺活量的測試時間遠(yuǎn)大于其他兩項，所以將這10名學(xué)生按學(xué)號分成2組：6到10做肺活量測試，其中等待6號做肺活量測試的學(xué)生在此時間內(nèi)可以去做握力測試，當(dāng)6號做完肺活量測試后轉(zhuǎn)做握力測試，7號緊接著做肺活量測試，其他三名學(xué)生按學(xué)號順序依次進(jìn)行；16到20號做立定跳遠(yuǎn)測試，其中等待16號做立定跳遠(yuǎn)測試的學(xué)生在此時間內(nèi)可以去做身高體重測試，當(dāng)16號做完立定跳遠(yuǎn)測試后轉(zhuǎn)做身高體重測試，17號緊接著做立定跳遠(yuǎn)測試

41、，其他三名學(xué)生按學(xué)號順序依次進(jìn)行，詳情安排見表一，其中表中數(shù)字為學(xué)生的學(xué)號。 表一項目學(xué)號時間體重與身高測試（10秒/人）立定跳遠(yuǎn)測試（20秒/人）肺活量測試（20秒/人）握力測試（15秒/人）臺階測試（210秒/5人）甲乙0(秒)錄入錄入錄入錄入錄入錄入錄入錄入錄入5(秒)171819166791-511-1515(秒)2020(秒)1781025(秒)730(秒)1635(秒)645(秒)18865(秒)19985(秒)2010105(秒)結(jié)束結(jié)束由表中數(shù)據(jù)可知，6-10號完成肺活量和握力兩項測試與16-20號完成身高體重和立定跳遠(yuǎn)兩項測試都各需要105秒，然后6-10號與16-20號交換

42、測試項目，6-10號做立定跳遠(yuǎn)和身高體重測試，16-20號做肺活量和握力測試。從而推出6-10號和16-20號完成前四項測試需210秒，該時間小于完成一次臺階測試所需要的時間（215秒），顯然6-10號和16-20號在215秒內(nèi)可以完成前四項測試，然后6-10號到甲臺階試驗測量儀器進(jìn)行測試，16-20號到乙臺階試驗測量儀器進(jìn)行測試，然后1-5號和11-15號進(jìn)行前四項測試。具體流程如下圖：進(jìn)入測試場20人分兩大組每組10人臺階測試前四項的測試分兩小組每組5人 做完后 交換 握力測試肺活量測試身高體重測試跳遠(yuǎn)測試做完后交換 五項測試結(jié)束 五項測試結(jié)束由前邊的計算可以得出這20人全部做完測試需要約

43、等于7分5秒（425秒），如果一個班40人，那么經(jīng)過適當(dāng)編排則可在14分5秒（425秒+420秒=845秒）內(nèi)完成，對有出現(xiàn)一次不連號的情況應(yīng)加上5秒，即14分10秒。若在某一個時間段中，余下的時間不足以使得一大組完成測試，即測試停止。四、模型假設(shè)1假設(shè)每臺測試儀器每次都正常工作。2假設(shè)以班級為單位進(jìn)場進(jìn)行體能測試。3假設(shè)不同班級的學(xué)生學(xué)號不相連。4假設(shè)每位學(xué)生做完五項測試后才離開，不允許中途離開。5假設(shè)學(xué)生等待時間以進(jìn)場為始點(diǎn)，離場為終點(diǎn)。6. 忽略任意一位學(xué)生在測試各項目時中間的轉(zhuǎn)換時間。7假設(shè)在測試過程中秩序良好，不會出現(xiàn)混亂而耽誤測試時間。五、模型建立與求解我們定義每個班的平均等待時間

44、為：根據(jù)學(xué)校的儀器設(shè)備情況，我們決定以20人的測試為一輪，由于班級人數(shù)不等，不一定恰好出現(xiàn)20的整數(shù)倍，在這種情況下為了減少等待時間，可以17人、18人、19人為一大組進(jìn)行測試。根據(jù)計算，在四個時間段內(nèi)可以全部完成體能測試，問題是如何安排各個班級的進(jìn)場順序使最終平均等待時間最短，即求：=滿足:，即同一班中的所有學(xué)生應(yīng)在同一時段內(nèi)完成所有項的測試，其中為測試方案，a為56個班級的排序，為其完成測試所需要的時間。組別20名一組19名一組18名一組17名一組平均等待的時間（分）21.74我們將17名為一大組到20名為一大組連號的學(xué)生分別做測試，然后經(jīng)過計算得出的平均每人的等待時

45、間如下表：表二對至多出現(xiàn)一次不連號的學(xué)生，我們在上面平均等待時間的基礎(chǔ)上再加上5秒鐘。由于有的時候，有的班級測試會有余下的人數(shù)（小于17），那么這部分自動記入下一個班級的測試人數(shù)，即：，我們的原則是盡量使能夠不再產(chǎn)生新的剩余人數(shù)為前提，這樣能最大限度的減少平均等待時間，于是測試人數(shù)盡可能的在17到20之間，或37到40之間，或57到60之間，且使完成測試人數(shù)的時間不跨越2個時間段。根據(jù)表二的計算數(shù)據(jù)，通過計算，我們將各班級測試時間安排如下表：.表三序號班號入場時間（時：分：秒）班級人數(shù)耗時完成人數(shù)平均等待時間（分鐘）118：00：004114分5秒405.872268：14：053614分10

46、秒375.213318：28：154114分5秒405.874118：42：203714分10秒385.395488：56：304114分5秒405.876389：10：353714分10秒385.39779：24：454214分5秒406.108439：38：503714分10秒395.589499：53：004214分5秒406.10105510：07：05177分10秒192.11115110：14：154214分5秒406.10125610：28：20177分10秒192.1113310：35：304414分5秒406.45143010：49：353314分10秒374.1315411：03：454414分5秒406.4516