橢圓中的常見最值

1、橢圓中的常見最值問題1、 橢圓上的點(diǎn)P到二焦點(diǎn)的距離之積IPFJPF2I取得最大值的點(diǎn)是橢圓短軸的端點(diǎn)，取得最小值的點(diǎn)在橢圓長軸的端點(diǎn)。2 2例1、橢圓 Z 1上一點(diǎn)到它的二焦點(diǎn)的距離之積為 m,則m取得的最大值時(shí)，P259點(diǎn)的坐標(biāo)是。 P(0，3)或(0，-3)2 2例2、已知橢圓方程 篤 爲(wèi)1( a b 0,a2 b2 c2)p為橢圓上一點(diǎn)，RE是橢圓 a b的二焦點(diǎn)，求IPF1IIPF2I的取值范圍。分析：IPF1IIPF2I (a ex)(a ex) a2 e2x2，(|x| a)當(dāng) x a時(shí)，|PR |PF2|min=a2 c2 b2，當(dāng) x 0時(shí)，| PR | PF? a2即 b2

2、 IPF1IIPF2I a22、橢圓上到的橢圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到焦點(diǎn)距離之差取得最大值或最小值的點(diǎn)是 這個(gè)定點(diǎn)與焦點(diǎn)連線延長線或反向延長線與橢圓的交點(diǎn)，最大值、最小值分別是定點(diǎn)到該焦點(diǎn) 的距離和其相反數(shù)。2 2例3、已知A(1,1)，F(xiàn)1、F2是橢圓 1的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，貝U95|PA| IPF2I的最大值是 ，此時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo)為 。|PA| IPF2I的最小值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。3、橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離之和取得最小值或最大值的點(diǎn)是另一焦點(diǎn)與定點(diǎn)連線的延長線或反向延長線與橢圓的交點(diǎn)。2 2例4、已知A(1,1)，F(xiàn)1是橢圓 厶 1的左焦點(diǎn)，P為橢圓上

3、一動(dòng)點(diǎn)，則|PA| IPF1 |的 95最小值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。丨PA| |PF1 |的最大值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為。分析：|PA| IPF1 | IPF2 | | PF1 | | AF2 |，當(dāng)P是AF2的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)。|PA| |PF1 | | PF2I | PF1 | | AF2 |，當(dāng)P是AF2的反向延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)。4、 橢圓上的點(diǎn) P到定點(diǎn) A的距離與它到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的距離的-倍的和e| PA| |PF|的最小值(e為橢圓的離心率)，可通過 疋已 e轉(zhuǎn)化為| PA | d ( d為P到相 ed應(yīng)準(zhǔn)線的距離)最小值，取得最小值的點(diǎn)是 A到準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交

4、點(diǎn)。2 2例5、已知定點(diǎn)A( 2,3)，點(diǎn)F為橢圓J 1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在該橢圓上移動(dòng)，求16 12| AM | 2| MF |的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)例6、已知點(diǎn)橢圓2 x252 y91及點(diǎn)A(2,2), B( 3,0) , P(x,y)為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則3|PA| 5|PB|的最小值是。5、以過橢圓中心的弦的端點(diǎn)及橢圓的某一焦點(diǎn)構(gòu)成面積最大的三角形是短軸的端點(diǎn)與 該焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形。2 2例7、過橢圓篤爲(wèi)a b21 ( a b 0, ab2c2 )的中心的直線交橢圓于A, B兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)F2(c,0)，貝U ABF2的最大面積是 。例8、已知F是橢圓9x2 25y2 225的一個(gè)焦點(diǎn)，

5、PQ是過原點(diǎn)的一條弦，求 PQF面積 的最大值。&橢圓上的點(diǎn)與橢圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)與橢 圓二焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。2 2例9、P為橢圓 篤 爲(wèi) 1 ( a b 0,a2 b2 c2 ) 一點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)為R ( c,0) F? (c,0)， a b則 PR F2的最大面積是 。7、橢圓上的點(diǎn)與橢圓長軸的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的面積最大的三角形是短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長軸 兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。例10、已知A是橢圓9x2 25y2 225的長軸一個(gè)端點(diǎn)，PQ是過原點(diǎn)的一條弦，求PQA 面積的最大值。8、橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離最大值、最小值問題可利用兩點(diǎn)間的距離公式 及

6、橢圓方程聯(lián)立化為求函數(shù)最值問題。2 2例11、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓 y1的右焦點(diǎn)，M是OF的中點(diǎn)，P為橢圓上任259意一點(diǎn)，求| MP |的最大值和最小值。i例12、橢圓中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上，e ，已知點(diǎn)P(0,-)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距2 2離是7，求橢圓方程。9、橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上的距離最近和最遠(yuǎn)點(diǎn)是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)。A a ex(| x | a)為x的增函數(shù)， “ a ex(| x | a)為x的減函數(shù)， x a時(shí)，2,2分別取得最大值a c和最小值a c2 2例13、橢圓1上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最大值，最小值。25910、橢圓上的點(diǎn)到定直線的距離最近及最遠(yuǎn)點(diǎn)分別是與定直線平行的橢圓的

7、兩條切線的 切點(diǎn)。例14、已知橢圓X2 8y2 8，在橢圓上求一點(diǎn)P,是P到直線|：X y 4 0的距離最 小，并求最小值。11、橢圓上的點(diǎn)到與它的兩個(gè)焦點(diǎn)連線的最大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。范圍大于等于00，小于它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和二焦點(diǎn)的連線的夾角。分析：| PF1 | IPF2I 2a| PF1 |PF2 | a2222222222| PF1 | | PF2 | 4c 4a 4c 21 PR | PF? | 2a2 2c2 2a2 2c2cos1廠2| PF1 |PF2 |2IPFJPF2IIPF1IIPF2Ia2等號(hào)成立的條件：IPF1 | IPF2 | a，即P點(diǎn)

8、為短軸的端點(diǎn)。 2 2例15、已知橢圓C:篤 爲(wèi)1（a b 0），兩個(gè)焦點(diǎn)為F2,F2，如果C上有一點(diǎn)Q,使 a bF1QF21200，求橢圓的離心率的取值范圍。2 2例16、如圖所示，從橢圓 牛1 （a b 0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓a b的左焦點(diǎn)F1，且它的長軸的端點(diǎn)A短軸的端點(diǎn)B的連線AB平行于0M（1）求橢圓的離心率（2） 設(shè)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，求F1QF2的范圍。（3） 當(dāng)QF2 AB時(shí)，延長QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P，若F1 PQ的面積為20. 3，求此橢 圓方程。12、橢圓上的點(diǎn)與它長軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的最大夾角是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長軸的二端點(diǎn)的連

9、線的夾角。范圍為大于 一，小于它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和長軸的二端點(diǎn)的連線的夾2角。2 2例17、已知橢圓C:篤每1 （a b 0），長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為 A B,如果C上有一點(diǎn)Q, a b使 AQB 1200，求橢圓的離心率的取值范圍。13、 點(diǎn)P在橢圓上，u mx ny （ m, n為常數(shù)）的最大值或最小值分別是直線mx ny u 0與橢圓相切時(shí)U的值。2 2例18、已知點(diǎn)P（x,y）在必 y1上的點(diǎn)，貝U u x y的取值范圍是。1442514、點(diǎn)P在橢圓上，uy m(m,n為常數(shù))的最大值或最小值分別是直線x ny u(x n) m與橢圓相切時(shí)的斜率。例 19、點(diǎn) P(x, y)在橢圓 4(x

10、2)2 y22 2例20、點(diǎn)P(x, y)在橢圓仝1上2594上，則的最大值 ，最小值。xx 6貝y t 的最大值，最小值y 415、 y勺一acosx的最大值或最小值是直線y k(x Xo) yo與橢圓x acos相切y0 bsi nxy bsin時(shí)切線的斜率。例21、求y 3 E的最大值、最小值4 2cosx16、橢圓的平行弦、過定點(diǎn)弦等弦長最值問題及有關(guān)弦長的最值問題：例22、求直線y2kx 1被橢圓4y21所截得弦長的最大值。2例23、PQM,N四點(diǎn)均在橢圓上，橢圓方程為:yx2 1，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸2的焦點(diǎn)，已知PF,FQ共線，MF,FN共線，且Ph?PF2 0，求四邊形PMQN面積的最小值。17、利用方程元的范圍求有關(guān)最值問題：2例24、已知橢圓方程為y2 1，求過點(diǎn)P (0，2)的直線交橢圓于不同兩點(diǎn) A、B，21PAPB，求 的取值范圍。(丄,3)318、其它有關(guān)最值2 2例24、P為橢圓：篤 與1 (a b 0)上一動(dòng)點(diǎn)，若A為長軸的一個(gè)端點(diǎn)，B為短軸a b的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)四邊形OAPB面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。2 2例