勾股定理知識點及典型例題

1、勾股定理知識點回顧各位同學(xué)下午好，今天我將帶領(lǐng)大家回顧下勾股定理方面的知識點。一、首先請看黑板,試通過等積法得出啊a, b, c三者的關(guān)系。沒錯，這個過程就是我們勾股定理的證明過程。那么勾股定理具體是怎樣表述的呢？我們拿出例1中的三角形ADE來研究，我們可以總結(jié)出勾股定理的定義。首先勾股定理只在直角三角形中才存在；其次就是三邊存在關(guān)系 勾股定理可以表述為：二、勾股定理的定義：如果 直角三角形 的兩直角邊長分別為 a, b，斜邊長為2 2 2a + b = c.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。說，勾股定理就是直角三角形三邊的一種數(shù)量關(guān)系。其中股；斜邊叫它：a2 + b2= c2。即C

2、,那么簡單的 較短的直角邊弦。既然直角三角形三邊是這樣關(guān)系，那么對于銳角三角形和鈍角三角形又是怎樣的關(guān)系呢？這里大家可以通過特殊三角形來記憶：銳角三角形就通過邊長為 1的等邊三角形來特殊化，顯然 a2+ b2 C2對于鈍角三角形，可以通過底角為30度，腰為2的等腰三角形來記憶，計算可知a2+ b2v C2大家不僅要掌握勾股定理，對于勾股定理的逆定理也是必須掌握的，它是我們判斷直角三角形時一個很好的方法，那我們看看它的逆定理：如果三角形的三邊長 a, b, c有下面關(guān)系：a2+ b2= C2,那么這個三角形是直角三角形。用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是:A、若已知邊長：(1) 確定最大

3、邊(不妨設(shè)為 c )；c為最大邊)；c為最大邊)(2) 若c2= 32+,則 ABC是以/ C為直角的三角形; 若a2+ b2v C2,則此三角形為鈍角三角形(其中 若a2+ b2C2,則此三角形為銳角三角形(其中B、若未知邊長，則直接進行第二步。A ABC 是三角形，且Zr 2例 2 :在 ABC 中，若 a = （ b + c） （ b -c），則90。三、對于勾股定理，還有個很重要的概念：勾股數(shù):滿足a2+ b2= c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)(注意：若a, b, c、為勾股數(shù)，那么 ka, kb, kc同樣也是勾股數(shù)組。)* 附：常見勾股數(shù)：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,1

4、5 ; 5,12,13四、勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊。例3 :在直角三角形中兩直角邊分別為3、2,求斜邊長;例4:在直角三角形中兩邊長分別為3、2,求第三邊。(2) 已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。(3) 用于證明線段平方關(guān)系的問題。例5:如圖所示，在 AABC中，AB=AC=5,卩為BC邊上任意一點.求證：AB AP2=BPpc (先直接因式分解不行，再間接分解)(4)利用勾股定理，作出長為 寸n的線段。 例6 :請在數(shù)軸上表示出 JT3J13(5)解決實際應(yīng)用問題例7、梯子滑動問題：(1) 一架長2.5 m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底果梯子的頂

5、端沿墻下滑0.4 m，那么梯子底端將向左滑動 _080.7 m (如圖)，如 米例8、爬行距離最短問題：如圖，一只螞蟻沿邊長為 a的正方體表面從點 A爬到點B，則它走過的路程最短為（D ）QB(1+72 aC. 3a例9、折疊問題：如圖，在長方形 ABCD中，將人ABC沿AC對折至i AEC位置, （1 ）試說明：AF=FC ；（ 2）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的長有兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AASCE與AD交于點F?；蚪墙沁叀保〥五、例10:如圖，直角 ABC的主要性質(zhì)是：/ C=90。，（用幾何語言表示） 兩銳角之間的關(guān)系：若D為斜邊中點，則斜邊中線 _ 若/

6、B=30 則/ B的對邊和斜邊：三邊之間的關(guān)系： 歸納下當題目提到直角三角形的時候應(yīng)該立刻在腦子里想到（1）角度關(guān)系。（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半(3)在直角三角形中,如果一個銳角等于 30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。(4)在直角三角形中,于 30。如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等勾股定理。練習1.在 A ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12，貝U BC 的長為 (5+9=14)22.已知x-12+x + y-25與z -10z+25互為相反數(shù)，試判斷以x、y、z為三邊的三角形的形狀。J-?4.已知寸a-6+2|b-8|+(c-10)=0,則以a、b、c為邊的三角形是5.直角三角形兩直角邊長為a, b,斜