畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）冪指函數(shù)的極限求法

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）( 2014屆 ) 題 目： 冪指函數(shù)的極限求法 系 （部）： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)教師： 職稱（學(xué)位）： 講師 完成時(shí)間： 2014 年 4 月 25 日 池州學(xué)院教務(wù)處制學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人所提交的學(xué)位論文，是在指導(dǎo)老師指導(dǎo)下獨(dú)立完成的研究成果.本人在論文寫(xiě)作中參考的其他個(gè)人或集體的研究成果，均在文中以明確方式標(biāo)明.本人依法享有和承擔(dān)由此論文而產(chǎn)生的權(quán)利和責(zé)任.聲明人（簽名）：年 月 日目 錄摘 要1abstract21 引 言32 冪指函數(shù)求極限42.1 直接代值42.2 重要極限62.2.1 第二重要極限公式的推廣

2、62.2.2 不同于第二重要極限公式的型變形推廣62.2.3 應(yīng)用舉例72.3 無(wú)窮小等價(jià)替換82.3.1 知識(shí)預(yù)備82.3.2 等價(jià)無(wú)窮小替換定理82.3.3 舉例應(yīng)用102.4 洛必達(dá)法則103 一些帶參數(shù)的冪指函數(shù)極限求法134 總 結(jié)16主要參考文獻(xiàn)17致謝18摘 要在函數(shù)這一領(lǐng)域，冪指函數(shù)占有極其重要的地位.在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，以及在日常的實(shí)際生活中都會(huì)經(jīng)常遇到它，與此同時(shí)計(jì)算函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，在計(jì)算函數(shù)的極限過(guò)程中，冪指函數(shù)極限又是其中的難點(diǎn).因此，需要更進(jìn)一步的了解和掌握冪指函數(shù)的各種性質(zhì)，這為解決一些實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)了方便.同時(shí)，為了能將函數(shù)的學(xué)習(xí)更好的進(jìn)行下去

3、，也有必要對(duì)冪指函數(shù)作進(jìn)一步的討論.本文針對(duì)冪指函數(shù)的極限問(wèn)題，給出了冪指函數(shù)較為全面明晰的定理和求冪指函數(shù)極限的一些方法，并做了相應(yīng)的推廣，同時(shí)將函數(shù)在某點(diǎn)處的極限應(yīng)用至無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限.此外，本文還討論了不定式型的冪指函數(shù)極限的求法，同時(shí)給出了帶參數(shù)的冪指函數(shù)的極限求法，并作了相應(yīng)的舉例說(shuō)明.關(guān)鍵詞：冪指函數(shù)；重要極限；洛必達(dá)法則；等價(jià)無(wú)窮小；帶參數(shù)的極限abstractin the field of function, power function plays an extremely important role. in the learning process of mathemati

4、cs, as well as in the actual daily life will meet it often limit at the same time, the calculation function is a key point in higher mathematics, in the limit calculation function, exponential function limit is one of the difficult point. therefore, need to further understand and master the various

5、properties of the exponential function, it is to solve some practical problems of convenience. at the same time, in order to be able to function better on learning, there is a need for further discussion of power exponent function. the limit problem of power exponent function, the power exponent fun

6、ction more comprehensive and clear theorem and some methods of power exponential function and the corresponding promotion, will also limit function at a certain point application limit to infinity. in addition, this paper also discussed the power exponent method for function limit, and gives the par

7、ameters of the power function method of solving limit, and the corresponding example.keywords: power exponent function; important limit; hospitals rule; equivalent infinitesimal; limit with parameters1 引 言冪指函數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一,它為大學(xué)生后面的學(xué)習(xí)做好了充分的鋪墊.同時(shí)冪指函數(shù)的求極限運(yùn)算又是每個(gè)學(xué)習(xí)者所要求掌握的內(nèi)容，而且冪指函數(shù)及冪指函數(shù)的求極限的一些知識(shí)在其它的一些教科書(shū)、參

8、考資料和最近幾年的研究生入學(xué)考試中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)；但是在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的教課書(shū)中涉及到的相關(guān)的冪指函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容非常少，只有冪指函數(shù)的定義、求導(dǎo)公式和一些推導(dǎo)，并且課本上相應(yīng)的例題和課后習(xí)題也不多.因此，這就要求我們對(duì)于冪指函數(shù)的一些性質(zhì)，有必要進(jìn)一步的理解與掌握.在冪指函數(shù)求極限的計(jì)算中，通常，我們是利用冪指函數(shù)的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化它的計(jì)算.但對(duì)于一些特殊結(jié)構(gòu)的冪指函數(shù)，使用它的相關(guān)性質(zhì)來(lái)計(jì)算，顯然有些無(wú)能無(wú)力.所以本論文就冪指函數(shù)的極限進(jìn)行了一些研究和舉例應(yīng)用，希望通過(guò)對(duì)冪指函數(shù)的求極限性質(zhì)的學(xué)習(xí)與理解，以及對(duì)求冪指函數(shù)極限方法的總結(jié)歸納，讓我們可以對(duì)冪指函數(shù)有更加深刻的理解和認(rèn)識(shí)，在以后做題時(shí)能

9、夠快速高效的完成.同時(shí)為以后的學(xué)生的學(xué)習(xí)提供方便，也激發(fā)了他們的興趣.2 冪指函數(shù)求極限形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)1.換句話說(shuō)，它有類似于冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的形狀特點(diǎn)，皆可在其身上體現(xiàn).作為冪函數(shù)，它的冪指數(shù)是確定的，而冪底數(shù)為自變量；同樣的，若為指數(shù)函數(shù)，它的底數(shù)不變，但指數(shù)可變.冪指函數(shù)就是冪底數(shù)和冪指數(shù)同是自變量的函數(shù).這種函數(shù)的推廣，就是廣義的冪指函數(shù).關(guān)于冪指函數(shù)求極限，一般只作了簡(jiǎn)單的介紹，對(duì)高等數(shù)學(xué)教材，沒(méi)有給出系統(tǒng)的一個(gè)總結(jié)；然而，我們?cè)谟?jì)算函數(shù)極限時(shí)總是會(huì)遇到尋求這類函數(shù)的極限.下面就介紹一些求冪指函數(shù)極限的方法.2.1 直接代值利用恒等式，可以看出冪指函數(shù)就是初等函數(shù)，則在它的定

10、義域內(nèi)是連續(xù)的，如果是定義域內(nèi)的點(diǎn)，則有；如果不在其定義域內(nèi)，或者極限過(guò)程為時(shí)，故有：定理1 若存在極限1證明: 因?yàn)楣蚀嬖?，?dāng)時(shí)，在此條件下的，又因?yàn)椋?例1 計(jì)算.解：因?yàn)樵诤瘮?shù)的定義域內(nèi),所以.例2 計(jì)算.解：雖然不在函數(shù)的定義域內(nèi)，但故有：.對(duì)于定理1中的在做題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，這樣一些情形，通過(guò)證明都是成立的.進(jìn)一步考慮，如果，我們也可考慮推廣.例3 已知，計(jì)算.解：因?yàn)?，所?例4 已知，計(jì)算.解：因?yàn)?所以.例5 已知，計(jì)算.解：因?yàn)樗?在有關(guān)冪指函數(shù)極限計(jì)算時(shí)，常常會(huì)遇到形如等的不定式極限，然而，對(duì)于此類極限的計(jì)算就不能利用直接代值了，常用的方法有：2.2 重要極限在高等數(shù)學(xué)

11、求極限的教學(xué)中，第二重要極限是一個(gè)很重要的計(jì)算極限的工具，其有兩個(gè)公式：和，其中可以代表一個(gè)表達(dá)式.觀察這兩個(gè)重要極限的公式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，求冪指型函數(shù)極限型的待定式，即當(dāng)或者時(shí)，冪指函數(shù)的底數(shù)部分趨近于1，而它的指數(shù)部分趨于.因此，我們可以利用第二重要極限的基本形式來(lái)解決大量形如型的冪指函數(shù)極限問(wèn)題2.2.2.1 第二重要極限公式的推廣例如 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)的指數(shù)部分是與前面的系數(shù)乘積.由此我們可以將其推廣到：或者.證明方法如上題求解類似.依據(jù)第二重要極限公式的特點(diǎn)，我們還可以有如下公式：或者.2.2.2 不同于第二重要極限公式的型變形推廣定理2 若，在點(diǎn)（可以是無(wú)窮大）的某一領(lǐng)域（點(diǎn)除外）內(nèi)連續(xù)，

12、并且滿足下面的條件：（1），；（2）；則有.證明: 令，則，因?yàn)椋邳c(diǎn)附近連續(xù)，且，所以，又因?yàn)椋?，故有，?2.2.3 應(yīng)用舉例例6 計(jì)算 4. 解：因?yàn)榍?，所?例7 計(jì)算 .解：因?yàn)?，所?例8 計(jì)算.解：原式可改寫(xiě)為因?yàn)?，所?2.3 無(wú)窮小等價(jià)替換無(wú)窮小等價(jià)替換是計(jì)算函數(shù)極限的一種有效的方法，但大多數(shù)高等數(shù)學(xué)教材中提到：無(wú)窮小的等價(jià)替換只適合于乘法運(yùn)算，實(shí)際上，在一些冪指函數(shù)中也可以通過(guò)使用無(wú)窮小等價(jià)替換定理，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的效果.下面就型，型的不定式進(jìn)行全面探討.2.3.1 知識(shí)預(yù)備引理1.1 設(shè)，（1）如果存在，則有也存在；（2）如果，則有3.引理1.2 設(shè)，都為某變化過(guò)程中的

13、無(wú)窮小.如果則有.定理3 冪指函數(shù)極限（）存在的充要條件是存在，且有時(shí)，3.2.3.2 等價(jià)無(wú)窮小替換定理（型） 當(dāng)為型時(shí)，為時(shí)，如果，且，由引理1.2可知，再由引理1.1可以得到，.故有.于是可將引理1.1推廣到冪指函數(shù)中有：引理2.1 設(shè)，和，都為某變化過(guò)程中的無(wú)窮小.如果，且，則.引理2.1表明了當(dāng)時(shí)，中，都可等價(jià)無(wú)窮小替換為，.因?yàn)闊o(wú)窮小與自身是等價(jià)的，所以就有了如下的推論：推論2.1 設(shè)，和都為某變化過(guò)程中的無(wú)窮小.如果，且，則.推論2.2 設(shè)和,都為某變化過(guò)程中的無(wú)窮小.如果，且，則.上述的推論2.1和推論2.2表明：或時(shí)，我們可以對(duì)中的部分用等價(jià)無(wú)窮小替換.（型） 冪指函數(shù)極限的

14、型可以表示為，其中為某變化過(guò)程中的無(wú)窮小.由于，其中為型，再由引理2.1可以得到相應(yīng)的平行引理2.2.引理2.2 設(shè)，和,都為某變化過(guò)程中的無(wú)窮小.如果，且，則.（冪指型必定式）設(shè),都為某變化過(guò)程中的無(wú)窮小，用，分別表示冪指型函數(shù)型、型極限.則由上述的引理2.1和引理2.2得到：定理2.2【等價(jià)無(wú)窮小替換定理】 設(shè)，如果上述冪指型不定式型、型中的、全部或者部分替換為等價(jià)無(wú)窮小、后極限存在，則原來(lái)的極限也存在，且它們的極限值相等.2.3.3 舉例應(yīng)用例9 求 型.解：當(dāng)時(shí)，所以；又因?yàn)?所以 .例10 求（型）.解：當(dāng)時(shí)，,所以.2.4 洛必達(dá)法則在高等數(shù)學(xué)求極限的教學(xué)中，應(yīng)用重要極限，主要解決

15、了學(xué)生不容易掌握的冪指函數(shù)型的求極限問(wèn)題，一般是要把冪指函數(shù)變成（為實(shí)數(shù)）.然后利用冪函數(shù)的連續(xù)性可得.但用這種方法求冪指函數(shù)的極限是非常有限的.對(duì)于型的冪指函數(shù)還要靠洛必達(dá)法則（導(dǎo)數(shù)法）.對(duì)于定理1，如果條件，時(shí)失效，這時(shí)變成型不定式，此型確定其值可以利用洛必達(dá)法則：首先，將冪指函數(shù)變成；然后，將變成型，再轉(zhuǎn)換為或型，利用洛必達(dá)法則計(jì)算.例11 已知，求解.解：由題知 ，用洛必塔法則：因?yàn)?所以,.例12 已知：，求解.解：由題意得因?yàn)?且，則所以.有的學(xué)生在學(xué)習(xí)了“洛必達(dá)法則”之后，看到一個(gè)冪指函數(shù)，便只考慮到求函數(shù)極限需要用洛必塔法則來(lái)，經(jīng)常忘記定理的情形，而將簡(jiǎn)單的問(wèn)題變得復(fù)雜化.事實(shí)

16、上，對(duì)于不同類型的不定式極限，洛必達(dá)法則基本都適用，但某些情況下，更為復(fù)雜的，如果它與“重要極限”和“無(wú)窮小等價(jià)替換”綜合使用，可使計(jì)算更容易；對(duì)于型的極限運(yùn)算，也可以更快捷.例13 求 .解：這是型，因?yàn)槎?所以.例14 求.解：這是型.因?yàn)樗?3 一些帶參數(shù)的冪指函數(shù)極限求法這一部分，通過(guò)給出兩個(gè)重要結(jié)論及其簡(jiǎn)單證明，從而獲得了求解冪指函數(shù)的極限，不僅僅是將冪指函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)極限，而且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，能夠有效地避免帶參數(shù)的冪指函數(shù)極限的解體過(guò)程中出現(xiàn)邏輯上的不嚴(yán)密性，充分體現(xiàn)了其優(yōu)越性.定理4 對(duì)于形如的函數(shù)，如果，那么.為了證明這個(gè)結(jié)論,我們將引入如下的兩個(gè)極限公式5.

17、證明: 分兩種情況來(lái)討論.(1) 當(dāng)時(shí), ,，從而；(2)當(dāng)時(shí)，由已知條件和知：從而，由定理1及已知條件可知：；故由(1)和(2)可知，結(jié)論成立.需要注意的是：（1）在做題時(shí)，常常會(huì)遇到將定理中的換位，的情況，然而相應(yīng)的結(jié)論任然成立.（2）定理中可以恒等于1，于是此結(jié)果推廣了文獻(xiàn)5的命題2.例15 .解:因?yàn)?，故由定理知：原?.錯(cuò)誤解答：=.錯(cuò)誤解析：當(dāng)時(shí)，表達(dá)式?jīng)]有意義.例16 設(shè)是常數(shù)，求極限.解: 因?yàn)?，原?.錯(cuò)誤解答：.錯(cuò)誤解析：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義.例17 已知在處可導(dǎo)，且為自然數(shù)，求極限.解: 因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，且，則原式=.錯(cuò)誤解答：原式 .錯(cuò)誤解析：當(dāng)是正常數(shù)函數(shù)時(shí)，滿足題設(shè)條件，但

18、是卻沒(méi)有意義.注：從以上的三個(gè)例子中，我們能夠觀察出，利用定理的結(jié)論可以非常容易的的避免在此類帶參數(shù)的冪指極限的解答過(guò)程中邏輯上出現(xiàn)的不嚴(yán)密性，因?yàn)樵诮獯鸬倪^(guò)程中，相關(guān)表達(dá)式的分子分母位置沒(méi)有發(fā)生變化.4 總 結(jié)通過(guò)對(duì)冪指函數(shù)求極限這篇論文的寫(xiě)作，冪指函數(shù)求極限方法的總結(jié)，為解決考試中所遇到的問(wèn)題提供了十分有效的手段.對(duì)冪指函數(shù)求極限方法的推廣，不僅需要對(duì)冪指行數(shù)的形式特點(diǎn)及性質(zhì)熟練的掌握，而且還要靈活的運(yùn)用，善于把知識(shí)之間的聯(lián)系銜接起來(lái)，因此需要我們不斷地分析典型的題目找出內(nèi)在的規(guī)律，總結(jié)出冪指函數(shù)求極限的方法，從而才能在考試中、做題時(shí)熟練的應(yīng)用冪指函數(shù)求極限的方法.總而言之，以上問(wèn)題的形式

19、變化多端，題目不僅有一定的難度性，還有一定的技巧性，只要我們善于思考，總結(jié)，就能找到問(wèn)題的突破口，最終解決問(wèn)題.通過(guò)已經(jīng)學(xué)習(xí)的相關(guān)求極限定理以及求極限的知識(shí)，例如：重要極限，等價(jià)無(wú)窮小替換定理，羅比達(dá)法則等等，將這些求極限方法推廣到了求解冪指函數(shù)不定式中的極限問(wèn)題中；同時(shí)，本文還總結(jié)出了一些帶參數(shù)的冪指函數(shù)的極限求法，并以實(shí)例演練出了該方法的可行性.在寫(xiě)作的過(guò)程中，也給了我一定的啟示：在冪指函數(shù)求極限中給題目定性并找到作題方法是解決問(wèn)題的難點(diǎn)也是關(guān)鍵點(diǎn).要巧妙運(yùn)用這些方法，必須將高等代數(shù)知識(shí)熟練掌握、融會(huì)貫通.這篇論文有一定的局限性，概括不是面面俱到，由于個(gè)人的能力有限，這里提供的只是求冪指函

20、數(shù)極限的幾種方法，不能提供更多的有關(guān)冪指函數(shù)求極限的方法.以后我會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)的知識(shí)，爭(zhēng)取做到更好.在今后的研究中將不斷的研究探討，發(fā)現(xiàn)更多解決冪指函數(shù)求極限的方法，為學(xué)習(xí)者提供更多的幫助.除了中文所涉及的方法外，根據(jù)問(wèn)題不同還有其他的方法，這些方法有待我們進(jìn)一步探討研究.主要參考文獻(xiàn)1同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)m,北京: 高等教育出版社, 2006.2張芳.無(wú)窮小量在型極限中的應(yīng)用.高等數(shù)學(xué)研究,2005,5:25-26.3馮變英.冪指函數(shù)中等價(jià)無(wú)窮小代換的探討j.運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào)，2006,(5).4馮加才.冪指函數(shù)的極限問(wèn)題j.焦作工學(xué)院學(xué)報(bào)，1999,(5).5李進(jìn)，郭軍，鄭美琳.一類特殊的冪指函數(shù)極限求法m.高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008,21（6）：30-31.6盛祥耀.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)m.北京:高等教育出版社,2004.7常州工業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1998,12(4).8逯文超.型冪指函數(shù)極限的一種計(jì)算方法m.河南教育學(xué)