[整理]333點(diǎn)到直線的距離公式

1、課題 333點(diǎn)到直線的距離和 334兩平行線間的距離 教案編號(hào) 課型 新課 授課班級(jí) 課時(shí) 授課時(shí)間2011-4 授課人 教材分析 點(diǎn)到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一，它的應(yīng)用十分廣泛點(diǎn)到直線 的距離是指由點(diǎn)向直線引垂線的垂線段的長.我們知道，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離，有 工 具”兩點(diǎn)間的距離公式可用， 冋樣有必要?jiǎng)?chuàng)造出一套 工具”來方便地解決點(diǎn) 到直線的距離問題， 也就是說：已知點(diǎn)P（ xi, yi）和直線l:Ax + By + C = 0, （A , B不全為0）,目標(biāo)是設(shè)法用已知的量 xi, yi, A , B , C把點(diǎn)P到1的距離表示 出來，當(dāng)作公式用教材上公式的推導(dǎo)運(yùn)用了兩點(diǎn)間的距離公式

2、，具體做法是作 直線m過點(diǎn)P與1垂直，設(shè)垂足為 Po （xo, y。），Po滿足直線m的方程，也滿足 直線l的方程，將P。的坐標(biāo)分別代入直線 m和直線l的方程，通過恒等變形利用 兩點(diǎn)間的距離公式，推出點(diǎn)到直線的距離公式這種方法思路清晰，學(xué)生易于接 受，但恒等變形較抽象，學(xué)生難于掌握，故教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生怎樣想到這樣 變形.這樣既可以活躍學(xué)生的思維，又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問 題的能力.公式的推導(dǎo)方法還有很多，對(duì)學(xué)有余力的冋學(xué)可加以啟發(fā)，展開討論， 以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力這節(jié)課的重點(diǎn)是理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式，并能 熟練地應(yīng)用公式求點(diǎn)到直線的距離，難點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo).

3、 學(xué)情分析 這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了 兩點(diǎn)間的距離公式”、兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的， 通過復(fù)習(xí)兩直線垂直、兩直線相交及兩點(diǎn)間的距離公式，學(xué)生容易想到把點(diǎn)到直 線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題.為了利用兩點(diǎn)間的距離公式，須要求垂 足的坐標(biāo).若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標(biāo)，想法自然，但求解較繁， 為了簡(jiǎn)化解題過程，自然要想其他方法，教材采用了設(shè)而不求，整體代換來解決 問題，簡(jiǎn)單明了，但恒等變形較難，因此，通過分析兩點(diǎn)間的距離公式與點(diǎn)到直 線距離的聯(lián)系和區(qū)別，找到恒等變形的思路是解決問題的關(guān)鍵本課通過觀察、 分析掌握兩點(diǎn)間距離公式的特點(diǎn)，總結(jié)應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式的步驟；通過例題和 練習(xí)使學(xué)

4、生掌握并能應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式解決有關(guān)問題；通過探索和研究有關(guān)問 題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 學(xué)法指導(dǎo) 教 學(xué) 目 標(biāo) 知識(shí) 與技 能 1.通過探索點(diǎn)到直線距離公式的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生探索與研究問題能力. 過程 與方 法 2.理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式，體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程，數(shù)形結(jié) 合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的 能力. 情感 態(tài)度 與價(jià) 值觀 教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)資源 教學(xué)方法 知識(shí)結(jié)構(gòu) 板書計(jì)劃 教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 所需時(shí)間 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計(jì)意圖 教學(xué)反饋 教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng) 一、問題情境 1. 某供電局計(jì)劃年底解決本地區(qū)一個(gè)村莊的用電問題

5、，經(jīng)過測(cè)量， 若按部門內(nèi)部設(shè)計(jì)好的坐標(biāo)圖(以供電局為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸 的正半軸，正北方向?yàn)閥軸的正半軸，長度單位為 km)，則這個(gè)村 莊的坐標(biāo)是(15, 20)，它附近只有一條線路通過，其方程為 3x 4y 10= 0問：要完成任務(wù)，至少需要多長的電線？ 這實(shí)際上是一個(gè)求點(diǎn)到直線的距離問題，那么什么是點(diǎn)到直線的距 離，如何求村莊到線路的距離呢？ 2. 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上，教師收集學(xué)生各種的求法，得常見求 法如下： (1) 設(shè)過點(diǎn)P (15, 20)與1: 3x 4y 10= 0垂直的直線為 m,易 px 4y 10 = 0, 求 m 的方程為 4x + 3y 120 = 0 .由 l4

6、.r+3120 = (* t 102 |y=玖(晉 解得即m與1的交點(diǎn)門； 由兩點(diǎn)間的距離公式，得 d= |=Jfl5半)+20琴F =9kmL 故要完成任務(wù)，至少需要 9km長的電線. 12 (2) 設(shè)直線l: 3x 4y 10= 0與x軸的交點(diǎn)為Q,則Q( , 0).在 512_5_ 直線I上任取一點(diǎn) M (0,)，易讓向量1 =(,) 與向量n =( 3, 4)垂直. 設(shè)向量與向量n的夾角為0,點(diǎn)P到直線I的距離為d,由向量 的數(shù)量積的定義易知 cos 0 =9( kn (3)設(shè)過點(diǎn)P (15, 20)與1: 3x 4y 10= 0垂直的直線為m,易 求m的方程為 4 (x 15)+ 3

7、 (y 20)= 0. 設(shè)垂足為 Po (X。，y),貝V 4 (x 15)+ 3 (y 20)= 0, 又因?yàn)辄c(diǎn) Po在 I 上，所以 3xo 4yo 10= 0,即 3xo 4y= 10, 而 3X15 4 J v :1 直線 BC: ，即 bx + ay ab= 0, 點(diǎn) B (a, 0). 在線段AB上任取一點(diǎn) D (m, 0), 則一a mCa 二點(diǎn)l)到A(*的距離 點(diǎn)I)到”的趴離心 mb ab HF 血+/ ab fab ub _lab 2ab 7 ? - = = d di+ d2=，即等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距 離之和等于一腰上的高. 四、拓展延伸 1點(diǎn)到直線的距離公式

8、應(yīng)用非常廣泛，你能舉例說明它在解決實(shí)際 問題中的應(yīng)用嗎？ 2點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多，對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)可探 索其他推導(dǎo)方法，下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法. (1) 如圖，已知點(diǎn) Po (xo, yo)，直 線l: Ax + By + C = 0，求點(diǎn)Po到直線 l的距離.不妨設(shè) AM0, BM0,這時(shí)I 和x軸、y軸都相交.過點(diǎn)Po作直線I 的垂線，交I于Q.令| PoQ | = d,過 Po作x軸的平行線交I于R (X!, yo), 作y軸的平行線交I于S (xo, y2). 由 Ax 1 + Byo + C = o, Ax o + By2 + C= o 課堂小結(jié) 1.求下列點(diǎn)到直線的距離. (1) 0 (0, 0), li： 3x+ 4y 5= 0. (2) A (1, 0), l2:x+ y = 0. (3) B (1, 2), b： 3x + y= 0. (4) C ( 2, 3),b： y 7 = 0. 2. 求兩條平行直線 2x + 3y 8= 0和2x + 3y+ 18= 0之間的距離. 3. (1)求過點(diǎn)A ( 1, 2)，且與原點(diǎn)的距離為的直線方程. (2) 若點(diǎn)P (x, y)在直線x+ y 4 = 0上，O為原點(diǎn)，求OP的最小值. (3) 若厶ABC的三頂點(diǎn)分別為 A ( 7, 8), B ( 0, 4), C (2