[整理]333點到直線的距離公式

1、課題 333點到直線的距離和 334兩平行線間的距離 教案編號 課型 新課 授課班級 課時 授課時間2011-4 授課人 教材分析 點到直線的距離是解析幾何的重要內(nèi)容之一，它的應(yīng)用十分廣泛點到直線 的距離是指由點向直線引垂線的垂線段的長.我們知道，求點到點的距離，有 工 具”兩點間的距離公式可用， 冋樣有必要創(chuàng)造出一套 工具”來方便地解決點 到直線的距離問題， 也就是說：已知點P（ xi, yi）和直線l:Ax + By + C = 0, （A , B不全為0）,目標(biāo)是設(shè)法用已知的量 xi, yi, A , B , C把點P到1的距離表示 出來，當(dāng)作公式用教材上公式的推導(dǎo)運用了兩點間的距離公式

2、，具體做法是作 直線m過點P與1垂直，設(shè)垂足為 Po （xo, y。），Po滿足直線m的方程，也滿足 直線l的方程，將P。的坐標(biāo)分別代入直線 m和直線l的方程，通過恒等變形利用 兩點間的距離公式，推出點到直線的距離公式這種方法思路清晰，學(xué)生易于接 受，但恒等變形較抽象，學(xué)生難于掌握，故教學(xué)中應(yīng)注意啟發(fā)學(xué)生怎樣想到這樣 變形.這樣既可以活躍學(xué)生的思維，又可以鍛煉其發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問 題的能力.公式的推導(dǎo)方法還有很多，對學(xué)有余力的冋學(xué)可加以啟發(fā)，展開討論， 以培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力這節(jié)課的重點是理解和掌握點到直線的距離公式，并能 熟練地應(yīng)用公式求點到直線的距離，難點是點到直線的距離公式的推導(dǎo).

3、 學(xué)情分析 這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了 兩點間的距離公式”、兩條直線的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)上引入的， 通過復(fù)習(xí)兩直線垂直、兩直線相交及兩點間的距離公式，學(xué)生容易想到把點到直 線的距離問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題.為了利用兩點間的距離公式，須要求垂 足的坐標(biāo).若利用垂線與已知直線相交解出垂足的坐標(biāo)，想法自然，但求解較繁， 為了簡化解題過程，自然要想其他方法，教材采用了設(shè)而不求，整體代換來解決 問題，簡單明了，但恒等變形較難，因此，通過分析兩點間的距離公式與點到直 線距離的聯(lián)系和區(qū)別，找到恒等變形的思路是解決問題的關(guān)鍵本課通過觀察、 分析掌握兩點間距離公式的特點，總結(jié)應(yīng)用兩點間距離公式的步驟；通過例題和 練習(xí)使學(xué)

4、生掌握并能應(yīng)用兩點間距離公式解決有關(guān)問題；通過探索和研究有關(guān)問 題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 學(xué)法指導(dǎo) 教 學(xué) 目 標(biāo) 知識 與技 能 1.通過探索點到直線距離公式的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生探索與研究問題能力. 過程 與方 法 2.理解和掌握點到直線的距離公式，體會知識發(fā)生、發(fā)展、運用的過程，數(shù)形結(jié) 合、化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的 能力. 情感 態(tài)度 與價 值觀 教學(xué)重點 教學(xué)難點 教學(xué)資源 教學(xué)方法 知識結(jié)構(gòu) 板書計劃 教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 所需時間 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計意圖 教學(xué)反饋 教師活動學(xué)生活動 一、問題情境 1. 某供電局計劃年底解決本地區(qū)一個村莊的用電問題

5、，經(jīng)過測量， 若按部門內(nèi)部設(shè)計好的坐標(biāo)圖(以供電局為原點，正東方向為x軸 的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，長度單位為 km)，則這個村 莊的坐標(biāo)是(15, 20)，它附近只有一條線路通過，其方程為 3x 4y 10= 0問：要完成任務(wù)，至少需要多長的電線？ 這實際上是一個求點到直線的距離問題，那么什么是點到直線的距 離，如何求村莊到線路的距離呢？ 2. 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上，教師收集學(xué)生各種的求法，得常見求 法如下： (1) 設(shè)過點P (15, 20)與1: 3x 4y 10= 0垂直的直線為 m,易 px 4y 10 = 0, 求 m 的方程為 4x + 3y 120 = 0 .由 l4

6、.r+3120 = (* t 102 |y=玖(晉 解得即m與1的交點門； 由兩點間的距離公式，得 d= |=Jfl5半)+20琴F =9kmL 故要完成任務(wù)，至少需要 9km長的電線. 12 (2) 設(shè)直線l: 3x 4y 10= 0與x軸的交點為Q,則Q( , 0).在 512_5_ 直線I上任取一點 M (0,)，易讓向量1 =(,) 與向量n =( 3, 4)垂直. 設(shè)向量與向量n的夾角為0,點P到直線I的距離為d,由向量 的數(shù)量積的定義易知 cos 0 =9( kn (3)設(shè)過點P (15, 20)與1: 3x 4y 10= 0垂直的直線為m,易 求m的方程為 4 (x 15)+ 3

7、 (y 20)= 0. 設(shè)垂足為 Po (X。，y),貝V 4 (x 15)+ 3 (y 20)= 0, 又因為點 Po在 I 上，所以 3xo 4yo 10= 0,即 3xo 4y= 10, 而 3X15 4 J v :1 直線 BC: ，即 bx + ay ab= 0, 點 B (a, 0). 在線段AB上任取一點 D (m, 0), 則一a mCa 二點l)到A(*的距離 點I)到”的趴離心 mb ab HF 血+/ ab fab ub _lab 2ab 7 ? - = = d di+ d2=，即等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距 離之和等于一腰上的高. 四、拓展延伸 1點到直線的距離公式

8、應(yīng)用非常廣泛，你能舉例說明它在解決實際 問題中的應(yīng)用嗎？ 2點到直線的距離公式的推導(dǎo)方法有很多，對學(xué)有余力的同學(xué)可探 索其他推導(dǎo)方法，下面介紹兩種常見的推導(dǎo)方法. (1) 如圖，已知點 Po (xo, yo)，直 線l: Ax + By + C = 0，求點Po到直線 l的距離.不妨設(shè) AM0, BM0,這時I 和x軸、y軸都相交.過點Po作直線I 的垂線，交I于Q.令| PoQ | = d,過 Po作x軸的平行線交I于R (X!, yo), 作y軸的平行線交I于S (xo, y2). 由 Ax 1 + Byo + C = o, Ax o + By2 + C= o 課堂小結(jié) 1.求下列點到直線的距離. (1) 0 (0, 0), li： 3x+ 4y 5= 0. (2) A (1, 0), l2:x+ y = 0. (3) B (1, 2), b： 3x + y= 0. (4) C ( 2, 3),b： y 7 = 0. 2. 求兩條平行直線 2x + 3y 8= 0和2x + 3y+ 18= 0之間的距離. 3. (1)求過點A ( 1, 2)，且與原點的距離為的直線方程. (2) 若點P (x, y)在直線x+ y 4 = 0上，O為原點，求OP的最小值. (3) 若厶ABC的三頂點分別為 A ( 7, 8), B ( 0, 4), C (2