一級倒立擺的建模與控制分析

1、精品文庫 研究生現(xiàn)代控制理論及其應用課程小論文 級倒立擺的建模與控制分析 學院： 機械工程學院 班級： 機研131 姓名： 尹潤豐 學號： 201321202016 2014年6月2日 歡迎下載 1.問題描述及狀態(tài)空間表達式建立 1.1問題描述 1.2狀態(tài)空間表達式的建立 1.2.1直線一級倒立擺的數(shù)學模型. 1.2.2直線一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程 2應用 MATLAB分析系統(tǒng)性能 2.1 2.2 2.3 直線一級倒立擺閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 系統(tǒng)可控性分析 系統(tǒng)可觀測性分析 3.應用matlab進行綜合設計 3.1狀態(tài)反饋原理 3.2全維狀態(tài)反饋觀測器和simulink仿真 目錄 -1 - .-

2、1 - .-1 - .-6 - -7 - -8 - .-9 - 4.應用Matlab進行系統(tǒng)最優(yōu)控制設計 -.11 - -13 - 5.總結(jié) 精品文庫 1.問題描述及狀態(tài)空間表達式建立 1.1問題描述 倒立擺是機器人技術(shù)、控制理論、計算機控制等多個領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機結(jié) 合，其被控系統(tǒng)本身又是一個絕對不穩(wěn)定、 高階次、多變量、強耦合的非線性系統(tǒng), 可以作為一個典型的控制對象對其進行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一 種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構(gòu)建一個良好的實驗 平臺，以用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案，促進了控制系統(tǒng)新理論、新思 想的發(fā)展。 下對于倒立擺系統(tǒng)

3、，經(jīng)過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，它就是一個典型的 運動的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標系內(nèi)應用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)的動力學方程。 下面采用其中的牛頓一歐拉方法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。 1.2狀態(tài)空間表達式的建立 1.2.1直線一級倒立擺的數(shù)學模型 表Li直線一級倒立擺系統(tǒng)參數(shù) 符號 意義 實際數(shù)值 小車質(zhì)鼠 L096ke m 擺桿質(zhì)S 0.109kg / 小乍靡擦力 0.1 N/111/sec Z 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的氏度 0.25m / 擺桿慣量 0.0022Sks*m*iii 圖1.2是系統(tǒng)中小車的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂 直方向的分量。 歡迎

4、下載 圖1.2系統(tǒng)中小車的受力分析圖 圖1.3是系統(tǒng)中擺桿的受力分析圖。Fs是擺桿受到的水平方向的干擾力，F(xiàn) h是擺桿受 到的垂直方向的干擾力，合力是垂直方向夾角為a的干擾力Fg。 =F - fx- N a的干擾力Fg,可分解為水平方向、垂直方向的干擾 FS垂直干擾力Fh產(chǎn)生的力 (11) Fs = Fg sirr Fh = Fg cos。 (12) Mx 設擺桿受到與垂直方向夾角為 力，所產(chǎn)生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力 矩。 對擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式: d2 N-Fs=mdt7(x+lsi*) (1 3) 即: N = mX + ml8 cos日-ml82 s

5、in0 + Ff sina (1一4) 對圖1.3擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程: d 2 一 P + mg + Fh = m (I 一 I cos 6 ) dt (1一5) 力矩平衡方程如下: 2 一 P + mg + Fg cosa = mlB sinS + ml日 cos0 (16) Fgl sina COS0 +Fgl cosa si nQ + PI si + Nl cosQ + |0 = 0 (1 7) 代入P和N,得到方程： 2Fgl sinaco曲 +2Fgl costs in 日 +(1 +ml2cos2 P +mglsi n 日一ml2 日2si n2 +mX

6、cos =0 (18) 設9二兀+$，（ 是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度） ，代入上式。 假設 1，則可進行近似處理: cos =1,si n* =*, 理j dt丿 = 0,cos2 =1,s in24 =* 由于：I 方程化為: （1一9） 4 2Fg(sin - A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;1;0;3; T=ctrb(A,B); ran k(T) ans = 由于rank (Ic)=4,可見該系統(tǒng)是完全可控的。 2.3系統(tǒng)可觀測性分析 系統(tǒng)的可控性可根據(jù)秩判據(jù)進行可控性判斷。線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充 分必要條件是:

7、 C【 CA rank N =rank ”或門k(CT AtCt (At)2Ct (aYcT) = n 其中n為系數(shù)矩陣A的階次。 matlab程序及運行結(jié)果如下: A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; C=1 0 0 0;0 0 1 0; T0=obsv(A,C); ran k(TO) ans = 由于rank （ TO）=4，故該系統(tǒng)是可觀測的。 3.應用matlab進行綜合設計 3.1狀態(tài)反饋原理 設n維線性定常系統(tǒng): 其中x,u,y分別是n維、P維、q維向量；A B C分別是n*n維，n*p維，n*q維實數(shù)矩 陣。狀態(tài)反饋系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)x的

8、線性函數(shù)： u = V - Kx 其中，V為p參考輸入向量，K為p*n維實反饋增益矩陣。 加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3.1所示： 圖3.1系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖 則系統(tǒng)狀態(tài)反饋的動態(tài)方程為： X =（A BK k + Bv,y =Cx 3.2全維狀態(tài)反饋觀測器和 simulink仿真 狀態(tài)反饋的的實現(xiàn)是利用狀態(tài)反饋使系統(tǒng)的閉環(huán)極點位于所希望的極點位置。而狀 態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件是被控系統(tǒng)可控。直線一級倒立擺系統(tǒng)是 可控的。 設系統(tǒng)期望極點為-2爲 爲=匚2 -3 -4+3i -4-3i】，則系統(tǒng)期望特征多 項式為: a（S ）=（S -打）（s -入2 b -3 b -入4

9、） 列寫狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項式: det（SI A + BK ） 令兩個特征多項式各項系數(shù)對應相等，則可解出K陣。由matlab求出狀態(tài)反饋矩陣 K,編程如下: A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0;1;0;3; K=acker（A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i） -5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948 系統(tǒng)加入0.1m/s2的階躍輸入，在構(gòu)成的狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器控制下，MATLA中進行系統(tǒng) 的階躍響應仿真，編程如下： A=0 100 0 0 0 0 29.4 0; B1=0 1 0 3； C=1 0 0 0 0 1

10、0 0 0 0 1 0 0 0 0 1; D1=0 0 0 0; dt=0.005; ieof=801; for i=1:ieof; U(:,i)=0.1; T(i)=i*dt; end; %離散化 op=-2%期望極點 -3 -4+3i -4-3i; K=place(A,B1, op) Ak0=(A-B1*K); Bk0=B1; Ck0=C; Dk0=D1; Iqrop=eig(Ak0); x=0 0 0 0; dt=0.005;% 離散時 dA,dB=c2d(Ak0,Bk0,dt);% 經(jīng)離散化得到離散狀態(tài)方程 Ak1=(A-B1*K); Bk1=B1; Ck1=C; Dk1=D1; sy

11、s=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1); Y,X=lsim(sys,U,T); plot(T,-Y), grid; lege ndCCart,VCart,s in gle,Vs); 圖3.2極點配置為-2 -3 -4+3i -4-3i時的全狀態(tài)反饋仿真圖 橫軸時間單位秒，從圖中可以看出，系統(tǒng)穩(wěn)定。 4.應用Matlab進行系統(tǒng)最優(yōu)控制設計 最優(yōu)控制問題就是尋找一個控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng) 能最優(yōu)地達到預期的目標。對于線性連續(xù)系統(tǒng)，提出二次型目標函數(shù): 其中，R(t)正定，S及Q(t)半正定，且設它們?yōu)閷ΨQ矩陣，t0,tf固定。當tf趨近 無窮時，在y(t)=x(t)情況

12、下，該問題即為無限時間輸出調(diào)節(jié)器問題。此時穩(wěn)態(tài)誤差 項趨于零，在此題目中假設二次型最優(yōu)控制性能指標為: c J = JxTQx+uTRudt 0 其中：Q = |500 0 0 30 0 0 0 L0 50 0 0 10 R=1 Matlab編程如下: A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0; B=0；1；0;3; C=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1; D=0 0 0 0; Q=500 0 0 0;0 30 0 0;0 0 50 0;0 0 0 10; R=1; K, P,e=lqr(A,B,Q,R) -22.3607 -17.4697 70.1041 13.2462 Step 在simulink下進行仿真模型的建立，如圖 4.1 : Scope = Ax+Bu * Y M Cx+Du Stale-Spa & 圖4.1 LQR仿真模型 將K輸入后，進行仿真，結(jié)果如圖4.2 : 閻仝咻,，圧 一- 圖4.2 LQR仿真結(jié)果 由圖可見，在二次型最優(yōu)控制下系統(tǒng)穩(wěn)定性得到明顯改善。 5.總結(jié) 通過對一級倒立擺的分析可知，在開環(huán)情況下，倒立擺的平衡系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 的；通過秩判據(jù)可知，其系統(tǒng)是可控可觀測的；通過狀態(tài)反饋對極點進行配置后, 使極點都位于虛軸左側(cè)，則經(jīng)過極點配