數(shù)列公式匯總[教學(xué)備用]

1、人教版數(shù)學(xué)必修五第二章 數(shù)列 重難點(diǎn)解析第二章 課文目錄21數(shù)列的概念與簡單表示法 22等差數(shù)列 23等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 24等比數(shù)列 25等比數(shù)列前n項(xiàng)和 【重點(diǎn)】1、數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用。2、根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。3、等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用。4、等差數(shù)列n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用，熟練掌握等差數(shù)列的求和公式。5、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的理解與應(yīng)用。6、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)，進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式【難點(diǎn)】1、根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)觀察、歸納數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。2、理解遞推

2、公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系。3、等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。4、靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡單的有關(guān)問題。5、靈活應(yīng)用求和公式解決問題，靈活應(yīng)用定義式及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題。6、靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。一、數(shù)列的概念與簡單表示法 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首

3、項(xiàng)），第2項(xiàng)，第n 項(xiàng)，.數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項(xiàng) 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.注意：并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式，如上述數(shù)列；一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，它的通項(xiàng)公式可以是，也可以是.數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：求數(shù)列中任意一項(xiàng)；檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)5.數(shù)列與函數(shù)

4、的關(guān)系：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集1，2，3，n）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相

5、等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列7數(shù)列的表示方法（1）通項(xiàng)公式法如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。如數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ； 的通項(xiàng)公式為 ； 的通項(xiàng)公式為 ；（2）圖象法啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項(xiàng)數(shù) 為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng) 為縱坐標(biāo)，即以 為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而

6、變化的趨勢（3）遞推公式法如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：4、列表法簡記為 典型例題：例1：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,. 解：(1

7、) 2n1； (2) ； (3) ； (4) 將數(shù)列變形為10, 21, 30, 41, 50, 61, 70, 81, , ；(5) 將數(shù)列變形為12, 23, 34, 45, 56,， 例2：設(shè)數(shù)列滿足寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。 解： 二、等差數(shù)列1等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。 公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；對于數(shù)列,若=d (與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n2，nN，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：【或】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰

8、兩項(xiàng)之間關(guān)系而得若一等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是d，則據(jù)其定義可得：即：即：即：由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)和公差d，便可求得其通項(xiàng)。由上述關(guān)系還可得：即：則：=即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式 d=3有幾種方法可以計(jì)算公差d d= d= d=4結(jié)論：（性質(zhì)）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，即 m+n=p+q (m, n, p, q N ) 但通常 由 推不出m+n=p+q ，典型例題：例1：求等差數(shù)列8，5，2的第20項(xiàng) -401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解： 例3：求等差數(shù)列3，7，11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).例5：100是不是等

9、差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.例6：20是不是等差數(shù)列0，3，7，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，說明理由.例8：在等差數(shù)列中，若+=9, =7, 求 , .三、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1：證明： +： 由此得： 從而我們可以驗(yàn)證高斯十歲時(shí)計(jì)算上述問題的正確性2 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2： 用上述公式要求必須具備三個(gè)條件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必須已知三個(gè)條件： （有時(shí)比較有用）對等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2：可化成式子：，當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式3 由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n2時(shí)，=-，即=.4 對等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問

10、題有兩種方法:（1） 利用:當(dāng)0，d0，前n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值典型例題：例2：等差數(shù)列10，6，2，2，前9項(xiàng)的和多少？解：例3：等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140，其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125，求其第6項(xiàng)解 例6：已知等差數(shù)列an中，S3=21，S6=64，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn例7： 在等差數(shù)列an中，已知a6a9a12a1534，求前20項(xiàng)之和例8：已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20項(xiàng)的和S20的值例9：等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)

11、和分別為Sn和Tn，若 例10： 解答下列各題：(1)已知：等差數(shù)列an中a23，a617，求a9；(2)在19與89中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為1350，求這幾個(gè)數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差數(shù)列an中，an=333n，求Sn的最大值四、等比數(shù)列1等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q) 成等比數(shù)列=q（,q0）2 隱

12、含：任一項(xiàng)“0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件3 q= 1時(shí)，an為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1: 由等比數(shù)列的定義，有：； 3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2: 4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列5等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,它的圖象是分布在曲線（q0）上的一些孤立的點(diǎn)。當(dāng)，q 1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)，時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)，q 1時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列。6等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng). 即G=（a,b同號）如果在a與b中間

13、插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列G=ab（ab0）7等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？由定義得： ，則8判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法9等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q1, 0或0q1, 1, 0,或0q0時(shí), 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí), 是常數(shù)列;當(dāng)q0，則lga1,lga2,lga3成等差注（1）（2）典型例題：例1：求和： .解：等 差 數(shù) 列等 比 數(shù) 列定 義 一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公差一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫公比 遞推關(guān)系 （） （） （） （） （） （）通項(xiàng)