一類SInR傳染病模型的穩(wěn)定性分析

1、一類傳染病模型的穩(wěn)定性分析宋贄，惠淑榮基金項(xiàng)目：沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué)青年教師科研基金資助項(xiàng)目（）作者簡介：宋贄（1982-）,女,沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué)助教,碩士,從事微分方程定性和分支理論的研究。 通訊作者Corresponding author:惠淑榮（1963-）,女,沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué)教授,碩士,從事數(shù)學(xué)分析和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。，陶桂洪（沈陽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 ）摘要：近年來研究發(fā)現(xiàn)，染病者不同個(gè)體病毒水平差異很大，傳染力也不同。如果疾病傳播與傳染力相關(guān)，其差異可以幫助解釋疾病傳播中某些費(fèi)解現(xiàn)象，并且正是由于這種差異，一小部分染病者個(gè)體可能是疾病傳播的主要因素，因此，本文建立一個(gè)傳染病模型來研究傳染力不同對疾

2、病的影響，應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的微分方程理論和非線性動(dòng)力學(xué)的方法，得到了疾病傳播的基本再生數(shù)，并進(jìn)行了模擬仿真。關(guān)鍵詞：傳染病模型；全局穩(wěn)定性；基本再生數(shù)；閾值Stability Analysis for an Epidemic ModelSONG Zhi , HUI Shu-rong* , TAO Gui-hong(College of Science, Shenyang Agricultural University, Shenyang , China)Abstract: Recent studies in infected individuals show that viral levels

3、vary widely between individuals. If infections are correlated with infectiousness, these variations explain puzzling results from infections transmission studies and suggest that a small subset of infected people may be responsible for a disproportionate number of infections, therefore, we use a mod

4、el to study the impact of variations in infectiousness, applying ordinary equation theory and nonlinear dynamics methods, we derive the reproductive number, and carry out numerical simulations.Key words: epidemic model; Global Stability; Reproductive number; ThresholdConventional epidemic models mos

5、tly assume that all susceptibles, infectives are equivalent, without distinction, In fact, this assumption establishes only when time is short, closed environment, for studies on pathogenesis of infectious diseases for a long time, large scale does not apply, more recent research models become more

6、like actual, is divided into two main areas: considered as susceptible of different types of individual health, growth, environment, and so different, possibility of contact with infected patients were infected with the disease is different, you can further immune susceptible divided into n, accordi

7、ng to their degree of susceptibility of different groups of susceptible,denoted,that model1; Similarly, considered infected individuals due to their immune system, such as in vivo characteristics and differences of the environment, ability to spread of disease is different, so infectives can be furt

8、her divided into n sub-groups，denoted that model2-4,文獻(xiàn)2-4主要針對艾滋病建立了傳染病模型，本文在此基礎(chǔ)上，推廣到一般的傳染病，并考慮康復(fù)的病人可再次被感染，得到了無病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的閾值條件，給出了仿真圖。1 傳染病模型假定一個(gè)國家或地區(qū)在某時(shí)刻的總?cè)丝跒?，因疾病的出現(xiàn)總?cè)丝诒环譃槿箢悾阂赘姓哳?，染病者類，恢?fù)者類，染病者由于其免疫系統(tǒng)等體內(nèi)特征和所處環(huán)境的差異被進(jìn)一步分成個(gè)群體，記作每一子群體中的病人均可與易感者接觸但有不同的傳染率和恢復(fù)率，采用雙線性感染力形式，同時(shí)忽略可能的垂直傳染，則傳染病模型可用如下微分方程組描述： (1)其

9、中，輸入率為常數(shù)，且均為易感者，即不考慮垂直免疫，自然死亡率系數(shù)為，類病人的恢復(fù)率系數(shù)為，為染病者進(jìn)入子群體的比例系數(shù)，為恢復(fù)者的免疫失去率。由系統(tǒng)(1)不難看出，總?cè)丝跐M足下面的微分方程：顯然，根據(jù)文5,系統(tǒng)(1)與其極限系統(tǒng)等價(jià)，于是系統(tǒng)(2)簡化為（2）設(shè).顯然，是系統(tǒng)(2)的一個(gè)正向不變集。以下僅在集合內(nèi)考慮系統(tǒng)(2)的軌線性態(tài)，以此對系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。2 結(jié)果與分析2.1模型的平衡點(diǎn)定理1：令當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(2)僅有無病平衡點(diǎn)當(dāng)時(shí)，除無病平衡點(diǎn)外，系統(tǒng)(2)還有地方病平衡點(diǎn)其中.證明 令系統(tǒng)(2)右端為零，不難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(2)存在無病平衡點(diǎn)下面求地方病平衡點(diǎn)，可得： （3） （4

10、）將(3)代入(4)，得：由于 因此 令 于是 （5）由(3)可得： （6）將(5)、(6)代入(3),得：. (7)由(7)可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(2)存在地方病平衡點(diǎn)當(dāng)時(shí)，僅有無病平衡點(diǎn)2.2無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性定理2：對于系統(tǒng)(2),當(dāng)時(shí)，無病平衡點(diǎn)在集合內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，是不穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)(2)在點(diǎn)處的Jacobian矩陣為：通過具體計(jì)算得：可見，當(dāng)時(shí)，矩陣至少有一個(gè)具正實(shí)部的特征根，這說明是不穩(wěn)定的。將系統(tǒng)(2)寫成下面的向量形式 （8）其中，而可被寫成：系統(tǒng)(8)在集合內(nèi)有：取Liapunov函數(shù)顯然，是正定的。沿系統(tǒng)(8)的軌線對函數(shù)求導(dǎo)可得：可見，當(dāng)時(shí)，而且當(dāng)且僅

11、當(dāng)時(shí)，即顯然，系統(tǒng)(8)在中的最大不變集是單點(diǎn)集由Lasalle不變集原理6可知，無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。2.3仿真1)對系統(tǒng)(2),選取如下一組參數(shù)值：(假定人的平均年齡70歲)，經(jīng)過計(jì)算，此時(shí)基本再生數(shù)系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的(圖1).Time(years)010203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.91 圖1 漸近穩(wěn)定 Figure 1 asymptotically stable2) 對系統(tǒng)(2),選取如下一組參數(shù)值：(假定人的平均年齡70歲)，經(jīng)過計(jì)算，此時(shí)基本再生數(shù)系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.(圖2).Time(years)01

12、0203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.9 圖2 不穩(wěn)定 Figure 2 unstable3) 當(dāng)存在多個(gè)染病子群體時(shí)，每個(gè)染病子群體對疾病傳播的影響是不同的，比較它們對傳染病的相對影響大小，找到影響傳染病的主要子群體，分析結(jié)果可以用來比較該流行病的敏感性，最終可以幫助指導(dǎo)干預(yù)策略，以減緩疫情。選取的參數(shù)值同2），令 用表示每個(gè)染病子群體的相對影響，各子群體對疾病影響力大小和它們各自假設(shè)的傳染率系數(shù)等因素有直接關(guān)系，從圖3中可以看出，在傳染病傳播初期，初值最小但傳染率最大的子群體導(dǎo)致主要感染，但是，由于子群體的恢復(fù)率比其它子群體大很多，因此，隨著疫情發(fā)展，

13、子群體對疾病的影響力不斷減弱，子群體對疾病的影響力迅速增加，在假設(shè)中，子群體初值最大，恢復(fù)率最小，但是，由于它的傳染率最小，所以它對疾病的影響不是主要的。Time(years)01020304050600.10.150.20.250.30.350.40.450.50.550.6 圖 3 各染病子群體的相對影響 （在傳染病初期，子群體感染人數(shù)最多，但在大約1年以后子群體變成對疾病影響最大的.） Figure 3 The relative impact of the infected groups(The first infected group causes the largest number

14、 of infections early in the epidemic, and after about 1 yr the second infected group becomes the most important in terms of transmission.)3 討論在表達(dá)式中，定義，由于是類病人的平均患病期，是類病人的平均感染率，是染病后成為類病人的概率，于是便是當(dāng)人群全是易感者（流行初期）時(shí)，群體的病人在其平均染病期中所傳染的人數(shù)，從而便是所有病人在其平均染病期內(nèi)對的傳染人數(shù)，所以表示一個(gè)病人在其平均染病期內(nèi)對的傳染人數(shù)，也就是基本再生數(shù)，是疾病是否消亡的閾值，若即一個(gè)病人

15、在平均患病期能傳染的最大人數(shù)小于1，疾病自然逐步消亡；反之，若疾病將始終存在而形成地方病。參考文獻(xiàn)1郭淑利,李學(xué)志. 一類流行病模型的全局穩(wěn)定性J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2008-05,38(10):84-88.2 J.M. Hyman, Jia Li, E.A. Stanley, The differential infectivity and staged progression models for the transmission of HIVJ, Math. Biosci. 155 (1999) 77109.3Zhien Ma, Jianping Liu, Jia Li, Stability analysis for differential infectivity epidemic modelsJ,Nonlinear Analysis: Real World Applications 4 (2003) 841-856.4 J.M. Hyman, Jia Li, An intuitive formulation for