畢業(yè)論文函數(shù)最值問題的求解方法

1、 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 函數(shù)最值問題的求解方法 專專 業(yè)：業(yè)： 數(shù)數(shù) 學學 教教 育育 準考證號：準考證號： 070105100111070105100111 姓姓 名：名： 徐徐 妍妍 婕婕 指導教師：指導教師： 翟翟 昌昌 盛盛 完成時間：完成時間： 20132013 年年 1111 月月 2525 日日 函數(shù)最值問題的求解方法 摘 要 函數(shù)最值問題是數(shù)學領(lǐng)域中的重要研究內(nèi)容。它不僅僅只在教學中解決一些數(shù) 學問題，而且經(jīng)常運用于解決實際問題。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟管理和經(jīng)濟核算中，常 常遇到一些解決在滿足一定條件下怎樣使產(chǎn)出最多、效益最高但投入最小等之類的問 題。生活中也時常會見到求

2、用料最省、效率最高、利潤最大等問題。而這些生活和經(jīng) 濟問題一般都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學中的函數(shù)類問題來分析研究，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大 （?。┲档膯栴}，即為函數(shù)的最值探討，這尤其對研究實際問題的人們來說尤為重要。 而函數(shù)最值問題的解法包括一元函數(shù)和多元函數(shù)，同時也有初等與高等解法之分。本 文主要通過從初等解法方面對一元函數(shù)最值問題進行研究，探討各種不同的求解方法， 闡述函數(shù)最值問題研究的重要性，得到求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時應注意的一 些問題. 關(guān)鍵詞 函數(shù) 最值 高等解法 初等解法 微分 目錄 1 1 引言引言.- 4 - 2 2 求函數(shù)最值的幾種解法探討求函數(shù)最值的幾種解法探討.- 5 - 2.

3、1 判別式法.- 5 - 2.2 配方法.- 6 - 2.3 均值不等式法.- 6 - 2.4 換元法.- 7 - 2.5 三角函數(shù)法.- 8 - 2.6 單調(diào)性法.- 9 - 2.7 導數(shù)法.- 9 - 3 3 求解函數(shù)最值時應注意的一些問題求解函數(shù)最值時應注意的一些問題.- 10 - 3.1 注意定義域.- 10 - 3.2 注意值域.- 11 - 3.3 注意參變數(shù)的約束條件.- 12 - 3.4 注意對判別式的運用.- 13 - 3.5 注意均值不等式的運用.- 13 - 4 4 函數(shù)最值在實際問題中的應用函數(shù)最值在實際問題中的應用.- 15 - 4 4 結(jié)論結(jié)論.- 19 - 致謝致

4、謝.- 20 - 參考文獻參考文獻.- 21 - 1 1 引言引言 函數(shù)是中學數(shù)學的主體內(nèi)容，貫穿于整個中學階段，而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重 要組成部分處理函數(shù)最值的過程就是實現(xiàn)未知向已知、新問題向舊問題以及復雜問 題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其思維方式來講，通 常是將待解決的問題通過一次又一次的轉(zhuǎn)化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的 問題，從而獲得原問題的解答 函數(shù)最值問題是一類特殊的數(shù)學問題，它在生產(chǎn)、科學研究和日常生活中有著廣 泛的應用，而且在中學數(shù)學教學中也占據(jù)著比較重要的位置，是近幾年數(shù)學競賽中的 常見題型也是歷年高考重點考查的知識點之一由于其綜合性強，解

5、法靈活，故而解 決這類問題，要掌握各數(shù)學分支知識，并能綜合運用各種所學知識技巧，靈活選擇合 適的解題方法函數(shù)最值的定義： 一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設函數(shù)在處的函數(shù)值是 yf x 0 x 0 f x 如果對于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)x 0 f xf x 0 f x 的最小值，記作； yf x min0 yf x 如果對于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)x 0 f xf x 0 f x 的最大值，記作. yf x max0 yf x 函數(shù)的最值一般有兩種特殊情況： （1）如果函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)， 則是在上的最小 0 ()f x , a b( )f a(

6、)f x , a b 值(最大值)，是在上的最大值(最小值).( )f b( )f x , a b （2）如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極大(小)值，而沒有極小(大)值，則此 0 ()f x( , )a b 極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值. , a b 2 2 求函數(shù)最值的幾種解法探討求函數(shù)最值的幾種解法探討 2.1 判別式法 對于某些特殊形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適當變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在一( )f x 個有實根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實根的充要條件來0 求出的最值.( )f x 例例. . 求函數(shù)的最值. 2 (0)yaxbxc a 解：解：因為，所以，

7、)0( 2 acbxaxy 2 ()0axbxcy+-= 而，所以有rx 0440)(4 22 ayacbycab 2 44bacay a bac ya a bac ya 4 4 0 4 4 0 2 max 2 min 時， 時， 所以，當時，；0a a bac y 4 4 2 min 當時，.0a 當或時，（設） 2 2kx ) 12( kx max yab=-+ 0a 例例. . 求函數(shù)的最大值.sin cossincosyxxxx=+ 解：解：因為 sin cossincosyxxxx=+ ) 2 sin(sin2sin 2 1 xxx ) 4 cos( 4 sin22sin 2 1 x

8、x =) 4 cos(22sin 2 1 xx 當時，； 42 22 kxkx max (sin2 )1x= 當時， )( , 4 zkkx 1cos) 44 cos() 4 cos( kkx 即，所以，當時，. 1) 4 cos( max x 4 kx max 1 2 2 y=+ 2.6 單調(diào)性法 當自變量的取值范圍為一區(qū)間時，有時也用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值在確定 函數(shù)在指定區(qū)間上的最值時，首先要考慮函數(shù)在這個區(qū)間上的單調(diào)情況若函數(shù)在整 個區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在區(qū)間端點上取得最值若函數(shù)在整個區(qū)間上不是單調(diào) 的，則把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個小 區(qū)間上

9、的最值，從而可以得到整個區(qū)間上的最值5 例例. . 設函數(shù)是奇函數(shù)，對任意、均有關(guān)系，( )f xxyr()( )( )f xyf xf y 若時，且求在上的最大值和最小值.x0( )0f x (1)2f ( )f x3,3 解：解：先確定在上的單調(diào)性，設任意、且，則( )f x3,3 1 x 2 3,3x 12 xx . . 21 0 xx 所以有 212121 ()()()()()0f xf xf xfxf xx 即. . 21 ()()f xf x 所以，在上是減函數(shù).( )f x3,3 因此，的最大值是;( )f x( 3)(3)(2 1)fff (1)(1)(1)6fff 的最小值是

10、. .( )f x(3)3 (1)6ff 2.7 導數(shù)法 設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，則在上的最大值和( )f xab，()ab，( )f xab， 最小值為在內(nèi)的各極值與，中的最大值與最小值( )f x()ab，( )f a( )f b 要求三次及三次以上的函數(shù)的最值，以及利用其他方法很難求的函數(shù)式的最值， 通常都用該方法導數(shù)法往往就是最簡便的方法，應該引起足夠重視 例例. . 求函數(shù)，的最大值和最小值 32 ( )362f xxxx=-+- 1 , 1x 解：解：求導得.663)( 2 xxxf 令，方程無解.0)( xf 因為，所以函數(shù)在上時增函03) 1(3663)( 22 xxxxf(

11、 )f x 1 , 1x 數(shù). 故 當時，;1x =- min( ) ( 1)12fxf=-=- 當時，.1x = max( ) (1)2fxf= 綜上可知，函數(shù)最值問題內(nèi)涵豐富，解法靈活.沒有通用的方法和固定模式，在 解題時要因題而異，而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、 相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法， 函數(shù)的最值解題方法是靈活多樣性的，除了以上講的，還有很多種方法，如：消元法、 數(shù)形結(jié)合法、復數(shù)法、幾何法、待定系數(shù)法、萬能公式法等等.因此，解題的關(guān)鍵在分 析和思考，因題而異地選擇恰當?shù)慕忸}方法，減少解題時間 3 3 求解函數(shù)

12、最值時應注意的一些問題求解函數(shù)最值時應注意的一些問題 3.1 注意定義域 遇到求最值問題的時候，我們切記在求解的過程當中，要注意觀察定義域的變 化情況， 在最初解題之時，應當先把函數(shù)的定義域確定；在解題過程中，當函數(shù)變形時 注意定義域是否發(fā)生改變，如果又引入新變量也要確定這個變量的取值范圍，以免在 后面的求解過程中出現(xiàn)錯誤；在解題結(jié)束時，必須檢驗所求得的使函數(shù)取得最值的自 變量是否包含在定義域的范圍內(nèi) 例例. . 求函數(shù)的最值. 1 2 x y x - = - 錯解：錯解：將兩邊同時平方并去分母得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因為，所以，化簡

13、得.rx0) 14(4) 14( 2222 yyy14 2 y 所以，故，. 2 1 2 1 y min 1 2 y=- max 1 2 y= 分析：分析：這個答案致錯原因是兩邊平方及去分母，使函數(shù)的定義域擴大了. 正解：正解：將兩邊平方并去分母，得. 1 2 x y x - = - 2222 (41)410y xyxy-+-= 因為，所以，化簡得.rx0) 14(4) 14( 2222 yyy14 2 y 所以，注意到原函數(shù)的定義域是，則有， 2 1 2 1 y1x01 x20 x-0y 所以可知原函數(shù)最小值.最大值由前面分析可知即為. min 0y= 1 2 3.5 注意均值不等式的運用

14、注意當且僅當這些正數(shù)相等時，它們的積(和)才能取大(小)值. 1 例例. . 求函數(shù)的最小值. 2 3 (0)yxx x =+ 錯解：錯解：因為，所以，于是0 x 2 0 x 1 0 x 2 0 x 3 222 21 3 213 xx x xx x x xy 3 3 2= 所以的最小值是.y 3 3 2 分析：分析：上面解法錯誤，是沒有注意到當且僅當時，函數(shù)才能取得最 2 12 x xx =y 小值，但顯然不等于，所以不能取. 1 x 2 x y 3 3 2 對均值不等式中等號成立的條件生搬硬套 2 例例. . 已知，且，求的最小值，并求的最小值時 rzyx, 123 1 xyz +=xyzx

15、yz 的，的值.xyz 錯解：錯解：因為， rzyx, 所以，從而， r zyx 321 0 6 3 321 3 321 1 3 3 3 xyzzyxzyx 1 633 3 xyz ，當且僅當時，上式取等號，又，所以當 3 3 63xyz162xyzxyz= 123 1 xyz += 且僅當時，有最小值 162.6xyz=xyz 分析：分析：上面解法錯誤，是對均值不等式中等號成立的條件沒有理解而直接套用 的結(jié)果，事實上，當時，不等于 162.正確的解法是：在6xyz= 3 6216xyz = ，即中，等號當且僅當，即，162xyz3 321 3 321 zyxzyx 1231 3xyz +=3

16、x = ，時成立，所以當，時，有最小值 162.6y =9z =3x =6y =9z =xyz 連續(xù)進行幾次不等式變形，并且各次不等式中的等號不能同時成立而造成的 3 錯誤 例例. . 已知，且，求的最小值. ryx, 14 1 xy +=xy+ 錯解：錯解：因為，所以，則，所以 ryx, 2 41 2 141 0 yxyx 16xy ，因此的最小值是 8.81622xyyxxy+ 分析：分析：上面解法中，連續(xù)進行了兩次不等變形：與xyyx2 ，且這兩次不等式中的等號不能同時成立，第一個不等式當且僅當 2 41 2 141 yxyx 時等號成立，第二個是當且僅當即，時等號成立，因此xy= 14

17、1 2xy =2x =8y = 不可能等于 8.事實上，題中的依然可以由替換，從而將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的xy+yxxy+x 函數(shù)： 2 3 ( ) 1 xx f x x + = - (1)(4)4 1 xx x -+ = - 4 4 1 x x =+ + - . 4 14 1 x x =-+ - 由題意知，所以運用均值不等式即可求得該函數(shù)最小值,1x 即當時取最小值，求得，符合題意.所以最小值為 9. 4 1 1 x x -= - 3x =6y = 4 函數(shù)最值在實際問題中的應用 例例 1.1. 某工廠要建造一個長方形無蓋儲水池，其容積為 4800，深為，如果 3 m 3 3m 池底每平方米的造價為

18、150 元，池壁每平方米的造價為 120 元,怎樣設計水池能使總造 價最低？最低總造價是多少？ 分析：分析：從題中分析可以得出，水池高度已知，進而問題轉(zhuǎn)化為求池壁的長和寬的 問題，從而確定取什么值使總造價最低.即涉及到兩個變量，因為池壁的長和寬不可能 為負數(shù)，由此我們可以想到利用均值不等式來求解. 解：解：設底面的長為,寬為，水池的總造價為元.xmymz 根據(jù)題意有：，由容積為)(720240000)3232(120 3 4800 150yxyxz 4800，可得，因此，.由均值不等式與不等式的性質(zhì)，可得： 3 m34800 xy =1600 xy = xyyx2720240000)(7202

19、40000 即 .160002720240000z297600= 當，即時，等號成立.所以，將水池的地面設計成邊長為 40的正xy=40 xy=m 方體時總造價最低，最低總造價是 297600 元. 例例 2.2. 某工廠 2003 年的純收入為 500 萬元，因設備老化等原因，工廠的生產(chǎn)能力 將逐年下降.如果不對技術(shù)進行改造,從今年起預計每年將比上一年減少純收入 20 萬元, 所以今年年初該工廠為了進行技術(shù)改造，一次性投入資金 600 萬元，預計在未扣除技 術(shù)改造資金的情況下，第年（第一年從今年算起）的利潤為萬元（為正n 1 500(1) 2n +n 整數(shù)）.設從第一年起的前年，如果該工廠不

20、進行技術(shù)改造的累計純收入為萬元，n n a 進行技術(shù)改造后的累計純收入為萬元（須扣除技術(shù)改造資金） ，則從今年起該工廠至 n b 少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純收入超過不進行技術(shù)改造的累計純收入？ 分析：分析：首先根據(jù)題意寫出、的表達式，可知它們都為數(shù)學上一個簡單的數(shù)列 n a n b 求和問題.繼而對它們作差就建立起一個函數(shù)關(guān)系式，即轉(zhuǎn)化為數(shù)學上的函數(shù)最值問題,再 利用合適的方法進行求解即可. 解：解：依題設有(50020)(50040)+(50020 ) n an=-+-+- 2 49010nn=- . 2 111 500(1)(1)(1) 600 222 n n b =+- 500

21、 500100 2n n=- 則 2 500 (500100)(49010) 2 nn n bannn-=- 2 500 1010100 2n nn=+- . 50 10 (1)10 2n n n=+- 因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以 50 (1)10 2x yx x=+-), 0( 當時，；31 n010 8 50 1210 2 50 ) 1( n nn 當時，.4n010 16 50 2010 2 50 ) 1( n nn 所以，僅當時，.即至少要經(jīng)過 4 年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計4n nn ba 純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤. 例例 3.3. 某公司為資助尚有 26.8 萬元無

22、息貸款尚未償還的化妝品商店，借出 20 萬元 將該店鋪改造成經(jīng)營狀況良好的某體育用品專賣店，并約好用該店賺取的利潤逐步對 債務進行償還(全部債務均不算利息)已知該體育用品的進價為 40 元/件；該店月銷 量(百件)與售價(元/件)之間的關(guān)系可用右圖qp (圖一)的一條折線表示；員工的月工資為 600 元/ 人，該店還需交納的其他費用為 13200 元/月 (1)若售價為 52 元/件時，該店正好收支平p 衡，求該店的員工有多少； (2)若該店只招聘了 40 名員工，則該店最快 可在幾年后把所有債務還清，此時每件體育用品 的價格定為多少元？ 分析：分析：由題中給出的圖可以看出，我們可以把它看做是

23、在閉區(qū)間上的一個分段函 數(shù)問題，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用函數(shù)圖象所表示的幾何意義，借助于幾何圖形的 直觀性來求分段函數(shù)最值問題 解：解：(1)設該店的月利潤為元，有職工名.sm 40(mpqs p q 1 60 24 405881 圖一 又由圖可知： )8158(82 )5840(1402 pp pp q 所以， )815840)(80( )584040)(1402( pmpp pmpp s 由此知，當 時，即，解52p =0s =013200600100)40)(1402(mpp 得，即此時該店有 50 名職工.5

24、0m = (2)若該店只安排 40 名職工，則月利潤 )8158(37200100)40)(80( )5840(37200100)40)(1402( ppp ppp s 當時，求得時，取最大值 7800 元；5840 p55p =s 當時，求得時，取最大值 6900 元8158 p61p =s 綜上，當時，有最大值 7800 元55p =s 設該店最早可在 n 年后還清債務，依題意，有，0200000268000780012n 解得5n 所以，該店最早可在 5 年后還清債務，此時消費品的單價定為 55 元 由此我們可以總結(jié)出實際問題利用函數(shù)求最值的一般步驟： (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，正確選擇自變量和因變量，找準等量關(guān)系， 把實際問題化為數(shù)學問題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步； (2)確定函數(shù)定義域，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，選擇合適的求解方法； (3)求出滿足條件的定義域范圍，結(jié)合實際，確定最值或最值點. 4 4 結(jié)結(jié)論論 本文簡單的介紹了幾種有關(guān)求函數(shù)最值問題的解法，以及在解題時需要注意的一 些問題，告訴我們在解題時要學會分析思考，選擇合適的解法，盡量用簡便的方法快 速地解答