平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用(含答案)

1、平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用基礎(chǔ)知識1向量數(shù)量積的定義：(1) 兩個向量的夾角：已知兩個非零向量a、b,作 OA = a、OB = b,則稱作向量a和向量b的夾角，記作a， b，并規(guī)定其范圍是 當(dāng)a， b=時，我們說向量 a和向量b互相垂直，記作 .數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的模與b在a方向上的投影|b|cosB的乘積.(3)向量數(shù)量積的定義： .2向量數(shù)量積的性質(zhì)：如果e是單位向量，則 a e= e a=:a丄b? :a a = |a|或 |a|= : cos =: |a b|_|a|b|.2. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1) 交換律a b=; (2)分配律(a+ b) c=數(shù)乘向量結(jié)合律

2、入(a b)=.3. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式(1) 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a=(ai,a2),b= (bi,b2),貝Uab=;設(shè) a= (ai, a2), b= (bi, b2)，貝U a_L b?;(3)設(shè)向量 a= (ai, a2), b= (bi, b2),則 |a|= , cos = .若 A(xi,yi), B(X2,y2)則aB =(X2-Xi,y2一 yi),AB = iX2)2+(yi -血)？4. 向量的應(yīng)用(1) 向量在平面幾何中的應(yīng)用平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由表現(xiàn)出來，用向量方法解決平面幾何問題的“三

3、步曲”：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將_:通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系和距離、夾角等問題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾 何關(guān)系.(2) 向量在解析幾何中的應(yīng)用設(shè)直線I的傾斜角為：，斜率為k,向量a = (ai, a?)且平行于直線I,則a稱為直線I的，可以根據(jù)向量的知識得到向量 (i, k)與向量a共線，因此(i, k)也是直線I的方向向量.(3) 向量在物理中的應(yīng)用向量在力的分解與合成中的應(yīng)用.由于力是向量，它的分解與合成與向量的相類似，可以用向量來解決.基礎(chǔ)練習(xí)1. (2009全國I, 6)設(shè)a、b、c是單位向量，且 a b= 0,貝U (a- c) (b-

4、c)的最小值為()A . - 2B. .2 2C.- iD. i- .22. 若向量 a = (2,i), b= (3, x)，若(2a- b)丄 b,則 x 的值為()A . 3B. - i 或 3C. - iD . - 3 或 i3. 若非零向量 a、b滿足|a- b|= |b|,則()A . |2b| |a-2b|B . |2b|v |a-2b|C. |2a| |2a- b| D. |2a|v |2a- b|ffff4. 設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，BC2= i6 , |AB+ AC|= |AB- AC|,則|AM|=()A . 8B. 4C. 2D. i5. 設(shè)a= (4

5、,3), a在b上的投影為 穿,b在x軸上的投影為2,且|b| |OA|= |OB|= |OC|, NA+ NB + NC=0, PA PB = PB PC = PC PA,則點 O, N, P 依次是 ABC 是()A .重心、外心、垂心B .重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心練2 在厶OAB中，OA= a, OB = b, OD是AB邊上的高，若 AD =?AB,則實數(shù) 入等于(C.|a b |Da a b).a b|例 3 若a = (cosa, sin a),b= (cos3,sin 且| ka+b|=/3|akb|, k 0, k R(1)試用k表示a b; (

6、2)求實數(shù)k的取值范圍；(3)求a b的最大值、最小值，并求出取得最值時a與b的夾角0的大小.n n練 3已知向量 a= (sin0, 1), b= (1, cosQ),花.(1)若 a丄 b,求 0; (2)求|a + b|的最大值.題型三平面向量的應(yīng)用例4已知 OFQ的面積為S且Of FQ = 1.(1)若|S|= c(c 2), S= 4c,若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點 Q,當(dāng)|OQI取得最小值時，求此橢圓方程.練4 如右圖，在水平桿子 AB上用兩根垂直的繩子吊 10 kg的物體 W,Z ACW = 150 , / BCW= 120。，求A和B處所受力的大小.(忽略繩子重量)平面向

7、量的數(shù)量積及應(yīng)用活頁作業(yè)、選擇題1 已知a,b, a +b,ab均為非零向量，則(a +b)(a b)= 0是|a|=冋的(A .充分不必要條件B 必要不充分條件 C 充要條件D.既不充分也不必要條件2.已知A(1,2)、B(3,4)、C( 2,2)、D( 3,5)，則向量AB在向量CD上的投影為()A呼B.警C晉D.55553.設(shè)向量 a、b、c滿足 a + b+ c= 0，且 a b= 0, |a|= 3, |c|= 4 則 |b|=()B. 1C. 54.如圖，在平面斜坐標(biāo)系 xOy中，/ xOy = 60。，該平面上任一點 P在斜坐標(biāo)系中的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若OP= x& + ye2

8、(其中e1、e2分別為與x軸、y軸方向相同的單位向量)，貝U P點的斜坐標(biāo)為 法正確的是A . ? P(x, y)滿足 |OP|= 1，則 x2 + y2= 1B. ? P(x, y)滿足 x2 + y2= 1,則 |OP|C . ? Po(xo, yo)滿足x0+ y0= 1，使得|OP0|= 1 D .以上說法都不正確(x, y).下列說5. (2009 寧高考)平面向量a與b的夾角為60 a= (2,0), |b|= 1，則|a + 2b|=(A. 3B. 2 3C. 4D . 126. 設(shè)向量 a, b 滿足：|a|= 3, |b|= 4, a b= 0，以 a,b, a b的模為邊長

9、構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為(C. 57.在 ABC中，有如下命題，其中正確的是() AB AC= BC AB + BC + CA = 0 若(AB + AC) (AB AC )=0，則 ABC為等腰三角形AB BC0，則 ABC為銳角三角形()A .B .&已知圓O的半徑為1, PA、PB為該圓的兩條切線，A . 4 + 2 B . 3 + .2C. 4+ 2 2二、填空題9. (2008 西高考)如圖，在正六邊形 ABCDEF中，有下列四個命題:A.AC+ AF = 2BC;c.aC AD = Ad AB ；其中真命題的代號是C .D .A、D . (AD AF)E

10、F = AD(AF EF).(寫出所有真命題的代號)B.AD = 2AB+ 2AF;B為兩切點，那么PA PB的最小值為(D . 3 + 2 210 .已知點H ABC的垂心，且HA HB = 3，則BH HC的值為11.已知向量a和向量b的夾角為30 |a |= 2, |b|=J3，則向量a和向量b的數(shù)量積12 .若等邊厶ABC的邊長為2 3，平面內(nèi)一點 M滿足CM = 6cb+ |Ca，則IMA MB =.三、解答題13.已知OA = (2,5), OB = (3,1), OC = (6,3)，在OC上是否存在點 M，使IMA丄MB，若存在，求出點 M的 坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.n n

11、14.已知a=(sin 0, 1),b=(1,cos0),c= (0,3), - 2伙2(1)若(4a c)/ b,求 0;(2)求|a +b|的取值范圍.15 .如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點 P在單位圓上，/ AOP = 00 0，并規(guī)定其范圍是 當(dāng)a， b=時，我們說向量 a和向量b互相垂直，記作 .(2) 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的模與b在a方向上的投影|b|cosB的乘積.(3) 向量數(shù)量積的定義： .2向量數(shù)量積的性質(zhì)：如果 e是單位向量，則 a e= e a=，a丄b? :a a = |a|或 |a|= : cos =: |a b|_|a|b|.2. 向量數(shù)

12、量積的運(yùn)算律(1)交換律ab=_;(2)分配律(a+ b)c=數(shù)乘向量結(jié)合律入(ab)=.3. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式(1)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即若a= (ai, a2), b= (bi, b2),貝U a b=;設(shè) a= (ai, a?), b= (bi, b?)，貝U a丄b?;設(shè)向量 a= (ai, a2), b= (bi, b2),則 |a|= , cos = .若 A(xi,yi), B(X2,y2)則aB二區(qū) -Xi，y2-yj,ZB(Xi -X2)2(yi -y?)24. 向量的應(yīng)用(1) 向量在平面幾何中的應(yīng)用平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、

13、相似、長度、夾角等都可以由表現(xiàn)出來，用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將_:通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系和距離、夾角等問題；把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾 何關(guān)系.(2) 向量在解析幾何中的應(yīng)用設(shè)直線I的傾斜角為a，斜率為k,向量a = (ai, a2)且平行于直線I，貝U a稱為直線I的，可以根據(jù)向量的知識得到向量(i, k)與向量a共線，因此(i, k)也是直線I的方向向量.(3) 向量在物理中的應(yīng)用向量在力的分解與合成中的應(yīng)用.由于力是向量，它的分解與合成與向量的相類似，可以用向量來解決.基礎(chǔ)練習(xí)1. (2009全國I, 6

14、)設(shè)a、b、c是單位向量，且 a b= 0,貝U (a- c) (b-c)的最小值為()A . - 2B. .2 2C.- iD. i- .2解析： 不妨設(shè) a = (i,0), b= (0,i), c= (cos 0, sin 0)則易得(a- c) (b- c) = i - -J2sin( 0+故得其最小值為i-. 2.答案： D2. 若向量 a = (2,i), b= (3, x)，若(2a- b)丄 b,則 x 的值為()A . 3B. - i 或 3C. - iD . - 3 或 i答案：B3若非零向量 a、b滿足|a b|= |b|,則()A .|2b|a 2b|B . |2b|v

15、 |a 2b|C.|2a| |2a b|D.|2a|v|2ab|答案：Affff4. 設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，BC2= 16 , |AB+ AC|= |AB AC|,則|AM|=()A . 8B. 4C. 2D. 1ff解析：BC2= 16, |BC|= 4,ffff又|AB + AC|= |AB AC|，兩邊平行整理得：ffAB AC = 0，二 ABC為直角三角形.又M為BC的中點，ff1|AM|= 2|BC|= 2,故選 C.答案： C5. 設(shè)a= (4,3), a在b上的投影為 導(dǎo)，b在x軸上的投影為2,且|b|/ AB與BC的夾角 0= ./ ABC = n-三=3

16、.又 |AB|=|a|= 4, |BC|= |b|= 3,1 13L- Saabc= 2AB|BC|sin/ ABC =4 X 3 X 歹=3 3題型二 向量的夾角、模、垂直問題【例2】(2009寧夏、海南卷)已知點O, N , P在厶ABC所在平面內(nèi)，且|OA|= |OB|= |oC|, NA+ NB + NC =0, Pa pb = pb pc = Pc PA, 則點O, N, P依次是 ABC是()A.重心、外心、垂心B .重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心D .外心、重心、內(nèi)心解析：由|OA|= |OB|= |OC|,可知點O到厶ABC三個頂點的距離相等，所以點O是厶ABC的外心.設(shè)

17、 BC的中點為 M，由NA + NB+ NC= 0,得NA+ 2NM = 0,所以點N是厶ABC的重心.由PA PB = PC PA，得PA (PB PC) = PA Cb = 0，所以PA丄Cb，同理，Pb丄Ac、PC丄AB，所以點p是厶abc的垂心.故選 c. 答案：c練2 在厶OAB中，OA= a, Ob = b, OD是AB邊上的高，若 Ad =?AB,則實數(shù) 入等于()A a (b加Ba (a ?)C a(b a)D a ( a b)A |a b|B. |a b|Cja-b| |a-b|解析： A6= ；AB, OD OA=xOB OA), - OD = (1 2)C)A+ 2OB=

18、 (1；)a+2b,又 v OD 是 AB 邊上的高， OD Ab = 0 即OD (OB OA) = 0, (1 a+ ?b (b a) = 0,整理可得Xb a)2=a (a b),即得=a - a b|a b|2故選B.答案：B例 3 若 a = (cos a , sin a ), b= (cos 3 , sin 3 )且| ka + b|= . 3| a kb| , k0, k R.(1)試用k表示a b; (2)求實數(shù)k的取值范圍；(3)求a b的最大值、最小值，并求出取得最值時a與b的夾角0的大小.解析：(1) T|ka+ b|=3|a kb|,二(ka +b)=3(a kb),

19、k a + 2kab+ b = 3a 6ka b+3k b ,且|a|= |b|= 1,a b=獸.(2) / |a|= |b|= 1, a b= |a11 b|cos a, b 0 , k2 4k+ 1 w 0, 2 3 w k，當(dāng)且僅當(dāng)k=1 時，(a b)min = ,此時 cos0=.0= 604k4k 22|a| b|2當(dāng)且僅當(dāng) k= 2士，3時，(a b)max = 1, 0= 0n n練 3已知向量 a= (sin0, 1), b= (1, cosQ), ? 0(1)若 a丄 b,求 0; (2)求|a + b|的最大值.兀解析：(1)二4(2)由a= (sin0,1), b=

20、(1,cos 0),得a+ b=(sin0+1,1 + cos0),7t|a + b| = p(sin 0+ 1 J+ (1 + cos 03+ 2 sin 0+ cos 0= ,3 + 2 2sin 0+,當(dāng)sin( 0+ 4)= 1時，|a + b|取得最大值，即當(dāng)0= 4時，|a + b|的最大值為.2 + 1.題型三平面向量的應(yīng)用 例4已知 OFQ的面積為S且OF FQ = 1.(1)若2S 2), S= |c,若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點 Q,當(dāng)|OQ|取得最小值時，求此橢圓方程解析:(1)由已知得丿廠1 f f2|OF| |FQ|sin( n- 0= S,|OF|fQ|cos

21、0= 1.1 tan 0= 2S. 由2S2，故 1tan 0b0)，又設(shè)點 Q 的坐標(biāo)為(X0, y),則 FQ = (X0 c, y).SOFQ = 2|OF| |y0|= ；|y0|= ：c,.|y0|= 2.又 oF FQ = 1,-(c,0) (x0 c,解得X0= c +|OQ = /x2+ y2 =寸(c+當(dāng)c 2時，C+1隨c的增大而增大,因此當(dāng)且僅當(dāng)c= 2時，|O)Q|有最小值，此時Q點坐標(biāo)為(5, I)或(5， |).2594T+ 4bI= 1, a2-b2 = 4,a2 = 10,解得2b = 6.2 2故所求的橢圓方程為器+6=i.|CE |= |cW|cos30 =

22、 10X5 3,|CF|= |CW|cos60 = 10X 2= 5.練4 如右圖，在水平桿子 AB上用兩根垂直的繩子吊10 kg的物體 W,/ ACW = 150 ,/ BCW= 120。，求A和B處所受力的大小.(忽略繩子重量)解析：設(shè)A、B處所受力分別為 人、f2, 10 kg的重力用f表示，則f 1 + f2= f.以重力作用點 f 1、f2的始點，作平行四邊形 CFWE，使CW為對角線，則CF = f2, CE = f 1, CW= f,則/ ECW=180 150= 30, / FCW = 180 120 = 60, / FCE = 90,二四邊形 CEWF 為矩形.本課小結(jié)1.

23、在實數(shù)運(yùn)算中，ab= 0? a = 0或b = 0,而在向量運(yùn)算中，a -b= 0? a = 0或b= 0是錯誤的，應(yīng)該有以下四種情況：(1) a = 0,0; (2) a 0, a= 0; (3) a= 0, b= 0 ; (4) a0,0，但 a丄 b.2.向量數(shù)量積的性質(zhì)|a|=；a a, cos 0= . ., a b= 0? a丄b,因此，用平面向量數(shù)量積可以解決有關(guān)長度、|a |b|角度、垂直的問題.3. 以下是向量數(shù)量積的向量形式和坐標(biāo)形式，應(yīng)恰當(dāng)合理地運(yùn)用.設(shè) a = (X1, y” , b= (x2, y2), 0是 a與 b 的夾角，貝U (1)a b= |a|b|cosB

24、= X1X2+ y1y2； (2)當(dāng) a與 b 同向時， a b= |a|b|=、x1+ y2 - .x2+ y2;當(dāng) a與 b反向時，a b= |a|b|= xj+ y1.x；+ y；特別地，a a= a2=|a|2= x2 + y, |a|= ,x?+ y2.(3)|a b|0，則 ABC為銳角三角形A .B .C .D .解析：在abc中，AbAc = CB,錯誤；若AB BC0 ,則ZB是鈍角， ABC是鈍角三角形，錯誤.答案：C&已知圓O的半徑為1 , PA、PB為該圓的兩條切線,A、B為兩切點，那么PA PB的最小值為（A . 4 + 2 B . 3 + .2C. 4+ 2 ,2

25、D . 3 + 2 . 2解析:如圖，設(shè)/ APO = 0,PA2 2 2 2PB = |PA| cos2 0=|PA| (1 2sin 0)= (|OP| 1)(1 21 2麗?)=|OP|2+3 2 ,2 3,當(dāng)且僅當(dāng) |OP|2= |OP|2 , w w-w*k&s%5 u即|OP|= 4 2時，“=”成立.答案：D 二、填空題9. （2008江西高考）如圖，在正六邊形 ABCDEF中，有下列四個命題:A.aC+ Af = 2BC;其中真命題的代號是b.Ad = 2AB+ 2Af ；c.Ac ad = Adab；d. (Ad af)ef = Ad(aF EF).（寫出所有真命題的代號）解

26、析：ac + Af=Ac + cd = AD = 2BC, a 對.取 ad 的中點 O,則 AD = 2AO = 2AB+ 2Af, B 對.ln-n設(shè) |AB|= 1,則 AC AD = 3 X 2 X cos6 = 3，而 AD AB= 2 X 1X cos = 1, C 錯.又(AD AF)EF = (-2EF AF)EF = - 2EF(AF EF)= AD(AF EF). D 對.真命題的代號是A , B , D.答案：abd10 .已知點H ABC的垂心，且HA HB = - 3，則Bh HC的值為.解析：依題意得 HB (HA HC) = HB CA= 0,因此 HA HB =

27、 HB HC, BH HC = - HB HC = 3.答案：311.已知向量a和向量b的夾角為30 |a|= 2, |b|=U3，則向量a和向量b的數(shù)量積a b=解析：由題意得 a b= |a|b|cos30 = 2xJx”3 = 3.答案：3MB =12 . (2009天津高考)若等邊 ABC的邊長為2,3，平面內(nèi)一點 M滿足CM = |CB + fCA 則MA 解析：由題意有 Ca CB= |CA|CB|cos60 =6, MA MB = (IMC + CA) (MIC + CB) = (3CA-gCB) fCB366=-2CA2- 5CB2+ CA Cb = - 2 X 12 X 12

28、+ X 6 =- 2.故填2.9361893618答案：2三、解答題13. 已知OA = (2,5), OB = (3,1), OC = (6,3)，在OC上是否存在點 M，使MA丄MB，若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解析：設(shè)存在點M，且OM =6C= (6入3為(0入三1), MA = (2 - 6 入 5 -3 加MB = (3 6 人 1 3?). / MA丄MB ,111(2 6 ?(3 6?+ (5 3?(1 3 ?= 0, 即 45? 48?+ 11 = 0，解得? 1 或?三315ff 2211 OM = (2,1)或OM = (y, y).存在M(2,1)或M(22

29、, ”)滿足題意.,.n n14. 已知 a= (sin 0, 1), b= (1, cos0), c= (0,3), 2 .(1)若(4a c) / b,求 0;求|a+ b|的取值范圍.解析：(1)4a c= (4sin 0, 4) (0,3) = (4sin 0, 1),1 / 4a c / b, 4sin 0os 1 = O. sin2 0=- 2n n 0 ( 2 , 2),二 2 0 ( n, n .n 5nn卡2 = 6或6 ,即0= 12或12.(2)a+ b= (sin 0+ 1,1 + cos 0),|a + b|= sin 0+ 1 2+ 1 + cos02=3+ 2 sin 0+ cos0=- ,3 + 2、2si n 0+ ；,由（1）知一4 0+ 4于,ny!2 sin( 0+ 4) (2 , 1. 2 2sin( 0+( 2,2 .2. |a + b| (1,2+ 1.15. （2009珠海質(zhì)檢）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點