天津市第一中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第四次月考 數(shù)學(xué)（含答案）

1、天津市第一中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)全集，集合，則等于（ ）ABCD【答案】B【分析】先計(jì)算，再與集合進(jìn)行 交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：B.2設(shè)，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，解得，由，可知“”是“”的充分不必要條件，選A.3函數(shù)的圖像大致為ABCD【答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)椋耘懦鼳,C,當(dāng)函數(shù)在軸右側(cè)靠近原點(diǎn)的一個(gè)較小區(qū)間時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故選D.【解析】函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)4對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，測(cè)量其凈重(單位：克)，將所得數(shù)據(jù)分為5組：，并整理得到如下頻

2、率分布直方圖，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中產(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為（ ）A90B75C60D45【答案】A【分析】根據(jù)題意樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為0.3，進(jìn)而得樣本容量為120，再計(jì)算樣本中產(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題知：樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為，因?yàn)闃颖局挟a(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，所以樣本容量為，又因?yàn)闃颖局挟a(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以樣本中產(chǎn)品凈重落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為.故選：A5已知函數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（ ）ABCD【答案】D【分析】先分析的奇偶性，然后分析的單調(diào)性，再根據(jù)自變量的大小以及正負(fù)比較出的大小關(guān)系.【詳解

3、】因?yàn)?，所以定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)?，所以為偶函?shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?、均單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值大小關(guān)系的一般步驟：（1）先分析函數(shù)的奇偶性，由以及定義域來(lái)確定；（2）再分析函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)解析式或者單調(diào)性定義進(jìn)行判斷；（3）結(jié)合奇偶性將待比較的函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性即可比較出大小.6球與棱長(zhǎng)為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【分析】采用補(bǔ)形的方法，將正四面體補(bǔ)充為正方體，由此分析出球與正方體的關(guān)系，再根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)求解出球的表面積.【詳解】將正四面

4、體補(bǔ)形為一個(gè)正方體如圖所示（紅色線條表示正四面體），則正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，因?yàn)榍蚺c正四面體的各條棱都相切，所以球與正方體的各個(gè)面都相切，所以所求的球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，又因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以球的半徑，所以球的表面積為：，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于找到正四面體和正方體之間的聯(lián)系，將原本復(fù)雜的正四面體的棱切球問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的正方體的內(nèi)切球問(wèn)題.7已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A且離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（ ）ABCD【答案】D【分析】先求出拋物線的方程，從而得到的值，根據(jù)離心率得到漸近線方程，由漸近線與

5、直線垂直得到的值，從而可得雙曲線的方程.【詳解】因?yàn)榈狡浣裹c(diǎn)的距離為5，故，故，故拋物線的方程為，故.因?yàn)殡x心率為，故，故，根據(jù)拋物線和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)在第一象限，則，則與漸近線垂直，故，故，故，故雙曲線方程為：.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，解題中注意利用這個(gè)結(jié)論.（2）如果直線與直線垂直，那么.8已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）函數(shù)是奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是ABCD【答案】C【分析】

6、先根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用已知條件求解出的值，再根據(jù)圖象的變換求解出的解析式；根據(jù)解析式判斷奇偶性；根據(jù)的值判斷對(duì)稱(chēng)性；采用整體替換的方法判斷單調(diào)性；利用換元法的思想求解出值域.【詳解】因?yàn)?，又的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以向左平移個(gè)單位得到，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)倍得到，為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；，所以是的一條對(duì)稱(chēng)軸，故正確；因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏舷仍龊鬁p，所以在上不是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，此時(shí)；，此時(shí)，所以的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解形如的函數(shù)在指定區(qū)間上的值域或最值的一般步驟如下：（1）先確定這個(gè)整體的范圍；（2）分析在（1

7、）中范圍下的取值情況；（3）根據(jù)取值情況確定出值域或最值，并分析對(duì)應(yīng)的的取值.9已知函數(shù)對(duì)，總有，使成立，則的范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)已知條件先分析得到，然后分析的幾何意義，通過(guò)分析與在橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)豎直距離取最大值的最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的的取值，由此確定出的解析式，同時(shí)求解出，由此的范圍可知.【詳解】由題意可知：，成立，即，又對(duì)，所以，又可看作與在橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離，由，可取，所以的直線方程為，設(shè)與平行且與相切于，所以，所以，所以切線為，當(dāng)與平行且與兩條直線的距離相等時(shí)，即恰好在的中間，此時(shí)與在縱坐標(biāo)的豎直距離中取得最大值中的最小值，此時(shí)，則 ，又因?yàn)椋?，所?/p>

8、，此時(shí)或或，所以的范圍是，故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的幾何意義：當(dāng)與在橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離.二、填空題10已知，i是虛數(shù)單位，若（1i）（1bi）=a，則的值為_(kāi).【答案】2【詳解】試題分析：由，可得，所以，故答案為2【解析】復(fù)數(shù)相等【名師點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如. 其次要熟悉復(fù)數(shù)的相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、共軛復(fù)數(shù)為.11的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)【答案】【詳解】試題分析：由題意得的展開(kāi)式中的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為【解析】二項(xiàng)式定理12設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若

9、，則_【答案】【分析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，利用圓的弦長(zhǎng)公式，求出值【詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，圓心到直線的距離，即，解得：，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于中檔題.13甲箱子里裝有3個(gè)白球2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球2個(gè)黑球，這些球顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，則一次游戲摸出的白球不少于2個(gè)的概率為_(kāi).【答案】【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】一次游戲摸出1個(gè)白球的概率為：，一次游戲摸出0個(gè)白球的概率為：，因此一次游戲摸出0個(gè)白球或1個(gè)白球的概率為：，所以一次游戲摸出

10、的白球不少于2個(gè)的概率為：，故答案為：14已知，且，則的最小值為_(kāi).【答案】【分析】由題意可得，結(jié)合和均值不等式可得的最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】由，且，可得：，結(jié)合可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤15平行四邊形中，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi).【答案】【分析】選取為基底，由已知計(jì)算可得關(guān)系，再設(shè)，可表示為的函數(shù)，從而求得最小值【詳解】設(shè)，則，則，又因?yàn)榈茫瑒t，即得解得，設(shè)則因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題

11、時(shí)選取兩個(gè)向量為基底，用基底表示所求向量是解題的關(guān)鍵三、解答題16的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，.已知.（1）求；（2）若，且的面積為，求及.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）先根據(jù)正弦定理將原式化簡(jiǎn)，由此得到的倍數(shù)關(guān)系，再結(jié)合正弦定理即可得到的值；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)果求解出的值，然后結(jié)合兩角和的正弦公式和二倍角公式求解出的值，再根據(jù)三角形的面積公式求解出的值，結(jié)合余弦定理可求解出的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，而，所以，?（2）由（1）知，則，所以，所以；又的面積為，則，由余弦定理得，解得.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事項(xiàng)：（1）注意隱含條件“”的

12、使用；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化時(shí)，要注意結(jié)合條件判斷將邊轉(zhuǎn)化為角的形式還是將角轉(zhuǎn)化為邊的形式.17如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，是棱PD的中點(diǎn)，且，（I）求證：； （）求二面角的大小；（）若是上一點(diǎn)，且直線與平面成角的正弦值為，求的值【答案】（I）見(jiàn)解析；（） ；（）1【詳解】試題分析：(I)，所以平面PAC；(II)建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一個(gè)法向量，求出二面角；(III)設(shè)，平面MAB的法向量，解得答案試題解析：證明：(I)連結(jié)AC因?yàn)闉樵谥?，所以，所以因?yàn)锳B/CD，所以又因?yàn)榈孛鍭BCD，所以因?yàn)?，所以平面PAC (II)如圖建立

13、空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)镸是棱PD的中點(diǎn)，所以所以， 設(shè)為平面MAB的法向量，所以，即，令，則，所以平面MAB的法向量因?yàn)槠矫鍭BCD，所以是平面ABC的一個(gè)法向量所以因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為(III)因?yàn)镹是棱AB上一點(diǎn)，所以設(shè)，設(shè)直線CN與平面MAB所成角為，因?yàn)槠矫鍹AB的法向量，所以解得，即，所以18橢圓的離心率.（）求橢圓的方程；（）如圖，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，試證明：為定值.【答案】(1) +y2=1 (2)見(jiàn)解析【詳解】（1），由（1)知A(-2，0),B(2，0),D(0，1),則直線AD方程為：

14、；直線BP方程：，聯(lián)立得直線BP和橢圓聯(lián)立方程組解得P點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)镈,N（x,0),P三點(diǎn)共線,所以有：【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，考查直線和橢圓相交問(wèn)題，定值問(wèn)題，考查綜合解答問(wèn)題的能力.19設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，是和的等比中項(xiàng)，的前項(xiàng)和為，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，使為整數(shù)的稱(chēng)為“優(yōu)數(shù)”，求區(qū)間上所有“優(yōu)數(shù)”之和.（3）求.【答案】（1），；（2）2036；（3）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列出式子求出的公差即可得出通項(xiàng)公式；利用可得為等比數(shù)列，即得通項(xiàng)公式；（2）求出，可得滿足為整數(shù)的形成數(shù)列，可得出，求出前10項(xiàng)和即可；（3）可

15、得，則所求即為的前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法即可求出.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，是和的等比中?xiàng)，所以，即，解得，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，故，因?yàn)?，所以，兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.（2），要使為整數(shù)，則應(yīng)滿足（），即滿足為整數(shù)的形成數(shù)列，由題可得，解得，則滿足條件的“優(yōu)數(shù)”之和為；（3）設(shè)，則即為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)為，則，兩式相減得：，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.20已知，（1）求在處的切線方程以及的單調(diào)性；（2）對(duì)，有恒成立，求的最大整數(shù)解；（3）令，若有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且為的唯一的極值點(diǎn)，求證：.【答案】（1）切線方程為；單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）的最大整數(shù)解為（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出，即可得到切線方程，解得到單調(diào)遞增區(qū)間，解得到單調(diào)遞減區(qū)間，需注意在定義域范圍內(nèi)；（2）等價(jià)于，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，即可求出的最大整數(shù)解；（3）由，求出導(dǎo)函數(shù)分析其極值點(diǎn)與單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)