一元二次方程題型分類總結

1、元二次方程題型分類總結知識梳理一、知識結構:元二次方程解與解法 根的判別 韋達定理考點類型一概念（1）定義：I只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程就是一元二次方程。一般表達式:2ax bx c 0(a0)難點：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2” 該項系數(shù)不為“ 0” 未知數(shù)指數(shù)為“ 2” 若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定, 論。則需建立方程或不等式加以討典型例題:例1、下列方程中是關于x的一元二次方程的是12變式:2 axbx時，關于x的方程kx22x2xx21x23是一元二次方程。例2、方程m 2 X冋 3mx 10是關于x的一元二次方程，則m的值針對練習: 1、

2、方程8x27的一次項系數(shù)是，常數(shù)項是 2、若方程m 2 xl叫10是關于x的一元一次方程, 求m的值；寫出關于x的一元一次方程。 3、若方程m 1 x2 jm?x 1是關于x的一元二次方程，則 m的取值范圍是O 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（=n=2=3,n=1=2,m=1=n=1考點類型二方程的解概念:使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數(shù)式的值;典型例題:例1、已知2y2 y 3的值為2,則4y22y1的值為例2、關于x的一元二次方程a 2 x2a240的一個根為0,a的值例3、已知關于x的一元二次方程ax2 bx0的系數(shù)滿

3、足ab，則此方程 必有一根為例4、已知a,b是方程X24x m 0的兩個根，b,c是方程y2 8y 5m0的兩個根，則m的值為針對練習: 1、已知方程x2 kx 100的一根是2,則k為，另一根是 2、已知關于X的方程x2x 1kx 20的一個解與方程 3的解相同。x 1求k的值;方程的另一個解。 3、已知m是方程X2 x10的一個根，則代數(shù)式 m2 m 4、已知 a 是 x2 3x 10的根，則2a2 6a 5、方程 a b x2 bc x c a 0的一個根為（） 6、若 2x 5y 30,則 4X?32y考點類型三解法方法:直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點：降次類型一、直接開

4、方法:x2對于xaxbx n 2等形式均適用直接開方法典型例題:例1、解方程:1 2x280；22 25 16x =0;0；例2、若9 x1 216 x22x的值為針對練習:下列方程無解的是(2 2A.x 3 2x 1 B. x 2C.2x 3 1D.x2類型二、因式分解法：x X1X20 xX1,或 xX2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積,右邊為0”,方程形式：如axbx n 2 ， x2c2x 2 ax a典型例題:例 1、 2x x 3的根為(X152，x2例2、若4x2 3 4x0，則4x+y的值為變式 1: a2 b2 2 a2b20,則 a2b2變式2 :若x y 2 x3

5、0，則x+y的值為變式 3 :若 x2 xy y 14，y2 xy x 28，則x+y的值為o例3、方程X2X 60的解i軍為（)A.X13,X22 B.X13,x2C.X13,X23D.X1例4、解方程：X22靈1 X 2J34 0例5、已知2x23xy2y20,則Xy的值為。Xy變式:已知2x23xy2y20,且 XX0, y 0 ,則y的值為xy2,X22針對練習: 1下列說法中:方程X2pX q 0的二根為x1 ,X2，則x2pxq (X xi)(x X2)x2 6x 8(X 2)(x 4). a2 5ab6b2(a 2)(a 3) x2 y2(xJy)方程（3x1)20可變形為（3x

6、1(7)(3x77) 0正確的有（ 個 2、以 1 77 與 177為根的一元二次方程是（）A.x22x 60B. x2 2x 60C. y22y 602D. y 2y 60 3、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 1,且兩根互為倒數(shù): 寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為 1,且兩根互為相反數(shù)： 則x+y的值為（ 4、若實數(shù)X、y滿足x y 3 x y 20 ,A、 -1 或-25、方程：x2B、-1 或 212的解是_XC、 1 或-2D、1 或 2的值。較大根為r ,方程 6、已知 用X2 xy TOy2 0，且 x 0 , y2 7、方程 1999x 1998 2000x 1

7、02007x22008x 10的較小根為s，貝U s-r的值為類型三、配方法ax2 bx c 0 a 0 x 2a2 b2 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式 的值或極值之類的問題。典型例題:例1、試用配方法說明x2x 3的值恒大于00例2、已知X、y為實數(shù),求代數(shù)式x2 y2 2x 4y 7的最小值。例4、已知x2y2 4x6y 130，x、y為實數(shù)，求xy的值。分解因式：4x2 12x 3針對練習: 1、試用配方法說明10x2 7x 4的值恒小于0o 2、已知x2x2140，則 xx3、若tJ 3x2 12x9，貝U t的最大值為，最小值 4、如果a4ja 2

8、2jb 14 ,那么 a 2b 3c 的值a0,且 b2 4ac 0典型例題:例1、選擇適當方法解下列方程: 31 x 26.3x68.2 x 4x 10 3x2 4x 101 3x 11 2x 5例2、在實數(shù)范圍內分解因式:(1) x22j2x 3 ；4x2 8x1. 2x2 4xy 5y2說明：對于二次三項式ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內不能分解, 一般情況要用求根公式，這種方法首先令 ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成2ax bx c = a(x x-, )(x x2).分解結果是否把二次項系數(shù)乘進括號內，取決于能否把括號內的分母化去類型五、“降次思想”的應用求代數(shù)式

9、的值;解二元二次方程組。典型例題:例1、已知x23x20，求代數(shù)式x 13 x21x 1的值。例2、如果x210，那么代數(shù)式x32x2 7的值。例3、已知a是一元二次方程x2 3x例4、用兩種不同的方法解方程組2x2 xy 6,(1)5xy 6y20.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種： 先消元，再降次；先降次, 再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想一一化歸思想， 即把新問題轉化歸結為我們已知的問題.考點類型四根的判別式b2-4ac根的判別式的作用: 定根的個數(shù)； 求待定系數(shù)的值; 應用于其它。典型例題:例1、若關于x的方程x22 Jkx 10有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍

10、例2、關于x的方程m 12mxm 0有實數(shù)根，則m的取值范圍是()A. m 0 且m1B.m例3、已知關于x的方程x2C.m 1D.m 1k 2 x 2k 0(1) 求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根;1,另兩邊長恰好是方程的兩個根，求ABC的周長。(2) 若等腰ABC的一邊長為例4、已知二次三項式9x2(m6)xm 2是一個完全平方式，試求 m的值.例5、m為何值時，方程組mx2y2y6,有兩個不同的實數(shù)解有兩個相同的實數(shù)3.針對練習: 1、當 k時，關于x的二次三項式x2 kx 9是完全平方式。 2、當k取何值時，多項式3x2 4x 2k是一個完全平方式這個完全平方式是什 3、已知方程m

11、x2mx 20有兩個不相等的實數(shù)根,則m的值是 4、k為何值時,方程組y2 kx 2，y2 4x 2y 10.(1) 有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；(2) 有兩組不相等的實數(shù)解；(3) 沒有實數(shù)解.4k 0的根與m均為有 5、當k取何值時，方程x2 4mx 4x 3m2 2m理數(shù)考點類型五方程類問題中的“分類討論”有兩個實數(shù)根，則m為只有一個根，則m為_例2、不解方程，判斷關于x的方程X22 x kk23根的情況。x 2k 0均有實數(shù)根，問這例3、如果關于x的方程X2 kx 20及方程X2 兩方程是否有相同的根若有，請求出這相同的根及 k的值；若沒有，請說明理由?？键c類型六應用解答題“碰面”問

12、題；“復利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：990次，問晚宴共有多少人出席1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個小組共多少人3、北京申奧成功，促進了一批產業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產品投放1市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少 -，第三年比第二年減31少1，該產品第一年收入資金約400萬元，公司計劃三年內不僅要將投入的總資金全部收21回，還要盈利 丄，要實現(xiàn)這一目標，該產品收入的年平均增長率約為多少（結果精確到,3713 3.61)4、某商店經銷一種銷售成

13、本為每千克40元的水產品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售,一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：（1） 當銷售價定為每千克 55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。（2） 商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少5、將一條長20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（1） 要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2,那么這兩段鐵絲的長度分別為多少（2） 兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎若能，求出兩段鐵絲的長度；若不 能，請說明理由。（3）兩個正方形的面積之和最小為多少6、A

14、、B兩地間的路程為36千米.甲從A地，乙從B地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲 再走2小時30分到達B地，乙再走1小時36分到達A地，求兩人的速度.考點類型七 根與系數(shù)的關系bxc 0而言，當滿足a 0、0時才能用韋達定理。XiX2bc-,X1X2-aa應用：整體代入求值。典型例題:例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程 2x2 8x 7 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是()A. 73D.J6例2、已知關于X的方程k2x22k 1 X 1 0有兩個不相等的實數(shù)根X1,X2,求k的取值范圍；是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)若存在，求出(1)(2)不存在，請說明理由。k的值；若例3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程(二次項系數(shù)為 小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和2,小紅因看錯了一次項系數(shù)，而得到解為 知道原來的方程是什么嗎其正確解應該是多少1)時,-9和-1。你例 4、已知 a b, a2 2a 10