2021屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查(4月)數(shù)學(xué)（理）試題

1、2021屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（理）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）A B C D2已知集合，若有3個(gè)真子集，則的取值范圍是（ ）A B C D3九章算術(shù)是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為（ ）A B C D4已知實(shí)

2、數(shù)滿足，則的最大值為（ ）A B2 C4 D5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值分別為6，5，1，則輸出的結(jié)果為（ ）A B C D方程沒有實(shí)數(shù)根6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 7，則的大小關(guān)系是（ ）A B CD8已知二項(xiàng)式，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A B CD499已知以圓的圓心為焦點(diǎn)的拋物線與圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線：上任意一點(diǎn)，與直線垂直，垂足為，則的最大值為（ ）A1 B2 CD810已知滿足，且，對于定義域內(nèi)滿足的任意，當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（ ）A或 B或 C D11設(shè)函數(shù).若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A B

3、C D12如圖所示，正方形的邊長為2，切去陰影部分圍成一個(gè)正四棱錐，則當(dāng)正四棱錐體積最大時(shí)，該正四棱錐外接球的表面積為（ ）A B C D二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13已知向量與的夾角為，且，則.14已知點(diǎn)在直線上，則圓錐曲線：的離心率為. 15在中，若，則的外接圓的面積的最小值為.16已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)滿足，且，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是. 三、解答題 （本大題共6題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18支付寶自助付款可以實(shí)現(xiàn)人像識別身份認(rèn)證和自動(dòng)

4、支付業(yè)務(wù)，于是出現(xiàn)了無人超市.無人超市的出現(xiàn)大大方便了顧客，也為商家節(jié)約了人工成本.某超市對隨機(jī)進(jìn)入無人超市的100名顧客的付款時(shí)間與購物金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示：（時(shí)間單位：秒，付款金額RMB：元）（1）用統(tǒng)計(jì)中的頻率代表一位顧客隨機(jī)進(jìn)店消費(fèi)付款時(shí)間的概率，試求該顧客進(jìn)店購物結(jié)算時(shí)所用時(shí)間的期望；（2）若一位顧客在結(jié)算時(shí)，前面恰有3個(gè)人正在排隊(duì)，求該顧客等候時(shí)間不少于2分鐘的概率.19已知四棱錐中，平面，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若的傾斜角為時(shí)，是等邊三角形.（1）求橢圓的方程； （2）若，求中邊上中線長的取值

5、范圍.21已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，恒有成立，求的取值范圍.請考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），已知與圓交于兩點(diǎn)，且，求的普通方程.23選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的圖象的上方（無公共點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.2019年高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每個(gè)小

6、題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的題號123456789101112選項(xiàng)CBADCDDBABAD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分134 141516三、解答題：本大題共6小題，滿分70分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟17（本小題滿分12分）解：（）當(dāng)時(shí)，即，整理得，所以所以是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，又，所以，所以，此時(shí)符合題意所以當(dāng)時(shí)，上式不成立，所以（）由（）可知，所以18（本小題滿分12分）解：（）設(shè)一位顧客進(jìn)店購物結(jié)算時(shí)間為，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表可知，的可能值為10，20，40，60，所以所以該顧客進(jìn)店購物結(jié)算時(shí)所用時(shí)間的期望為（秒）（）依題意可知，每個(gè)顧客各自

7、的付款時(shí)間是相互獨(dú)立的，若3位顧客付款時(shí)間總計(jì)不少于2分鐘，則3人的付款時(shí)間可能有如下情況：3個(gè)60秒；2個(gè)60秒和另一個(gè)可以是10秒，20秒，40秒中任意一個(gè)；一個(gè)60秒，另外兩個(gè)付款時(shí)間可以是20秒，40秒或40秒，40秒；三40秒所以對應(yīng)的概率為答：該顧客等候時(shí)間不少于2分鐘的概率為19（本小題滿分12分）解：（）證明：過點(diǎn)在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以四邊形為一個(gè)底角是60的等腰梯形，所以，所以為中點(diǎn)，由題知，在中，又，所以，而，所以為的三等分點(diǎn)，連接，所以，又在中，所以，所以，所以，又平面，所以，因?yàn)?，所以平面（）以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以平面的一個(gè)法向

8、量為，又由（）知，所以在中，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以即令，所以，設(shè)二面角的平面角為，且為銳角，所以20（本小題滿分12分）解：（）由已知得：，所以 ，解得橢圓的方程（）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然不成立設(shè)直線，聯(lián)立得則中邊上的中線長為令則得由，得，中邊上中線長的取值范圍是21（本小題滿分12分）解：（）由題意，得（i）當(dāng)時(shí)，在上，在上，（ii）當(dāng)時(shí)，令，解得或若，恒成立；若，在上，；在，若， ，在上，；在（,與上，綜上，當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為 ；當(dāng)時(shí)，極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn) （）設(shè),因?yàn)?，?且函數(shù)在上單調(diào)遞增 （i）當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，若即時(shí)，有函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，符合題意； 若即時(shí)，存在滿足，此時(shí)函數(shù)在 上單調(diào)遞減，不符合題意； （ii）當(dāng)時(shí)，有，存在滿足，此時(shí)在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在 上單調(diào)遞減，不符合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 22（本小題滿分12分）解：（）將代入圓的極坐標(biāo)方程，得，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入圓的直角坐標(biāo)方程中，化簡得，設(shè)兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達(dá)定理知 同號 又， 由可知或或解得，